周筆鋒 羅毅平

實際生活中許多物理系統(tǒng)都具有時空特性,例如熱擴散、流體換熱器、化學工程、旋轉(zhuǎn)梁、可變幾何形狀靜電微致動器、集成和消防神經(jīng)元等[1?7],其行為必須依賴于時間和空間位置,這些系統(tǒng)的時空過程被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)(Distributed parameter systems,DPSs).為了更好地研究此類系統(tǒng),根據(jù)能量守恒定律,通常構(gòu)建擬線性拋物型偏微分方程(Quasi-linear parabolic partial differential equation)或擬線性拋物型偏微分–積分方程(Quasilinear partial differential-integral equations).構(gòu)建擬線性拋物型偏微分方程研究分布參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性一直是國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的重點研究課題[8?15].

文獻[8]針對擬線性拋物型偏微分方程設(shè)計控制器,利用Lyapunov穩(wěn)定性定理結(jié)合線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)計算方法,得出了分布參數(shù)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定控制器存在的充分條件.文獻[9]針對一類同時具有變時滯和連續(xù)分布時滯的分布參數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問題進行了研究,通過選擇適當?shù)腖yapunov-Krasovskii函數(shù),采用LMI方法,得到了變時滯閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一個充分條件.文獻[10]針對具有時滯性的拋物型偏微分方程,利用滑?？刂?Sliding mode control,SMC),研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻[11]針對一類具有耦合性質(zhì)的時滯分布參數(shù)系統(tǒng),構(gòu)建擬線性拋物型偏微分方程并結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性定理,研究了系統(tǒng)節(jié)點的同步問題.文獻[12]針對工藝參數(shù)未知的化學分布參數(shù)系統(tǒng),構(gòu)建半線性偏微分方程,利用Lyapunov穩(wěn)定性定理,研究了其自適應(yīng)輸出反饋控制問題.文獻[13]基于邊界觀測和邊界控制,針對擴散拋物型偏微分方程,運用自適應(yīng)控制方案,研究了系統(tǒng)的同步穩(wěn)定性.

分布參數(shù)系統(tǒng)分布式控制是針對分布參數(shù)系統(tǒng)中的狀態(tài)變量設(shè)計控制器,達到控制的目的.這種方法的好處在于控制器設(shè)計簡單,但實際應(yīng)用中有一定難度.考慮現(xiàn)實生活中存在另一類控制方法,例如工廠的工業(yè)廢水處理,工業(yè)廢水中污染物的種類較多,較常見的有酸堿污染物,對于工業(yè)廢水,在進入河道之前需進行一系列處理.對于工業(yè)廢水中的酸堿污染物,比較常用的方法是用相對應(yīng)的化學物質(zhì)進行中和.例如對于酸性污水需用堿性物質(zhì)來中和,首先,溶液中酸性離子的分布可以看成一個分布參數(shù)系統(tǒng),因為其濃度不是均勻分布的;其次,在中和過程中,滲入工業(yè)廢水中的堿性離子的擴散也可以看作是一個分布參數(shù)系統(tǒng),對于不同的時間,不同的位置,堿性離子的密度不盡相同,若添加了過量的堿性物質(zhì),污水又將呈現(xiàn)堿性,污染環(huán)境;若堿性物質(zhì)的量過少,則存在部分酸性離子不能中和,同樣對環(huán)境存在危害.基于此,若將堿性物質(zhì)在工業(yè)廢水中的擴散現(xiàn)象構(gòu)建成一個合適的分布參數(shù)系統(tǒng),用偏微分方程描述,在構(gòu)建的系統(tǒng)中同時考慮酸性離子對堿性物質(zhì)的影響,將堿性物質(zhì)作為控制酸性離子的控制器,這種控制方法稱為中和控制.

在實際系統(tǒng)中,時滯現(xiàn)象普遍存在[9?11,16?18],在系統(tǒng)的信息傳遞和信號檢測過程中通常具有滯后現(xiàn)象.因此,從時滯分布參數(shù)系統(tǒng)出發(fā),設(shè)計中和控制器,研究時滯分布參數(shù)系統(tǒng)的中和控制就顯得尤為重要.基于此,本文針對具有變時滯特性的分布參數(shù)系統(tǒng),設(shè)計中和控制器,討論此類系統(tǒng)的穩(wěn)定問題.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI處理方法,得出了具有時滯特性分布參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定中和控制器存在的充分條件.最后結(jié)合所給條件,給出一個數(shù)值仿真說明其有效性.

1 問題描述

考慮下列具有時滯特性的分布參數(shù)系統(tǒng)

將系統(tǒng)變?yōu)榫仃囆问?即為

其中,(x,t)∈?×R+,Da>0,τ為時滯,A0=為常數(shù)矩陣,? ={x,|x|0(mes?表示?的測度),U(x,t)=(u1(x,t),···,un(x,t))∈Rn為控制輸入,狀態(tài)變量為Laplace擴散–吸收算子,系統(tǒng)初始邊界條件為

或

其中,n為Θ的單位外法向量,ψ(x,t)為適當光滑的函數(shù).

為使系統(tǒng)(1)達到穩(wěn)定,設(shè)計如下中和控制器

將控制系統(tǒng)(6)變?yōu)榫仃囆问?即為

或

其中,n為Θ的單位外法向量,?(x,t)為適當光滑的函數(shù).

引理1(Schur complements)[19].對于給定的對稱矩陣,以下三個條件是等價的:

引理2[20].設(shè)?∈Rn是邊界Θ內(nèi)的光滑有界區(qū)域,n為Θ的單位外法向量,G??為一光滑子域,若,則

2 主要結(jié)論

本文的目標是設(shè)計控制器使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài).將設(shè)計的中和控制器(7)作用于系統(tǒng)(2),得到如下閉環(huán)系統(tǒng).

其中,

定理1.在給定參數(shù)條件下,若存在矩陣Y,W,S1n,S2n∈Rn×n為正定對稱矩陣,矩陣M,D,X1,X2,X3,X4∈Rn×n滿足以下矩陣不等式

其中

則構(gòu)建的中和控制器使系統(tǒng)鎮(zhèn)定.

證明.構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

所以若存在不等式

成立,則

由矩陣不等式(16)求解控制器時,控制器參數(shù)K,Bc,Bc1,Bc2包含在矩陣H和矩陣G中不能被求出,所以接下來的目的是求解控制器參數(shù).

首先,將矩陣P,S分區(qū),定義:

其中,Y,W是正定對稱矩陣,D,M∈Rn×n是可逆矩陣,且PP?1=I

定義兩個矩陣

有

由式(18)～(22),根據(jù)Schur補定理及所給條件可得定理成立.□

推論1.對于系統(tǒng)(1),若取時滯τ=0,則系統(tǒng)變?yōu)?/p>

則可構(gòu)造控制器為

在給定參數(shù)條件下,若存在矩陣Y,W∈Rn×n為正定對稱矩陣,矩陣M,D,X1,X2,X3∈Rn×n滿足以下矩陣不等式

其中

則構(gòu)建的中和控制器使系統(tǒng)鎮(zhèn)定.

證明.構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

后續(xù)參考定理1的證明.□

注1.本文針對一類具有時空特性的分布參數(shù)系統(tǒng)提出了中和控制方法.這類系統(tǒng)的控制許多學者進行了研究,主要是用分布式控制設(shè)計控制器,例如文獻[8?11]等.我們采用完全不同的設(shè)計思想,在相應(yīng)的時空上設(shè)計控制器,控制器形如式(6)和式(7),利用設(shè)計的分布參數(shù)系統(tǒng)控制目標分布參數(shù)系統(tǒng),控制過程為設(shè)計的分布參數(shù)系統(tǒng)自行運動的過程.當知道控制系統(tǒng)的模型時,這種控制方法在實際應(yīng)用中容易實現(xiàn),此控制方法最大優(yōu)點在于不用對狀態(tài)點進行直接控制.

3 數(shù)值仿真

為了說明問題,考慮如下分布參數(shù)系統(tǒng)及控制系統(tǒng)

對分布參數(shù)系統(tǒng),m=1,n=2,系統(tǒng)參數(shù)Da;取時滯τ=1,應(yīng)用定理1提出的方法,Dc=1.8,通過MATLAB軟件中的LMI工具箱,可以得到控制系統(tǒng)參數(shù).

給定系統(tǒng)的初始條件

圖1和圖2是系統(tǒng)狀態(tài)和控制系統(tǒng)的狀態(tài)圖.從圖1和圖2可以看出,系統(tǒng)在控制器的作用下,經(jīng)過一段時間后可達到穩(wěn)定狀態(tài).

4 結(jié)束語

本文首先給出中和控制器設(shè)計思路,針對具有時滯特性的分布參數(shù)系統(tǒng),設(shè)計中和控制器,討論此類系統(tǒng)的穩(wěn)定問題.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI處理方法,得出了具有時滯特性分布參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定中和控制器存在的充分條件.最后結(jié)合所給條件,給出一個數(shù)值仿真說明其有效性.

圖1 分布參數(shù)系統(tǒng)W(x,t)狀態(tài)圖Fig.1 The state of distributed parameter systemsW(x,t)

圖2 控制系統(tǒng)χ(x,t)狀態(tài)圖Fig.2 The state of controllerχ(x,t)