王永祥

摘 要 建立了一類沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為使用龐加萊映射法進(jìn)行了研究。并在三維空間中發(fā)現(xiàn)了混沌運(yùn)動(dòng)存在關(guān)于相位角 =0的虛擬平面空間對(duì)稱的兩部分混沌形態(tài)結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)激振頻率發(fā)生變化時(shí)，其 >0的部分不復(fù)存在，僅保留 <0的部分。

關(guān)鍵詞 沖擊振動(dòng) 龐加萊映射 混沌運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：TH113.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

許多工程實(shí)際問(wèn)題涉及到?jīng)_擊振動(dòng)。近幾十年來(lái)，沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的分岔與混沌研究取得了驕人的成績(jī)。羅冠煒和謝建華分析了雙質(zhì)體沖擊振動(dòng)成型機(jī)的亞諧分岔與Hopf分岔。羅冠煒和張艷龍研究了沖擊振動(dòng)成型機(jī)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，分析了相關(guān)范式映射的局部分岔特征。

本文建立了一類三自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型。推到了系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的解析解，使用四階龍格庫(kù)塔法和龐加萊映射法，數(shù)值模擬了系統(tǒng)隨激振頻率變化而由周期一運(yùn)動(dòng)向混沌運(yùn)動(dòng)演化的過(guò)程。

1力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1是一類三自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，質(zhì)量為M1、M2和M3的振子分別由剛度為K1、K2和K3的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1、C2和C3的線性阻尼器相聯(lián)接，3個(gè)振子只作垂直的運(yùn)動(dòng)，并分別受到簡(jiǎn)諧激振力Pisin（ T+ ） （i=1，2，3）的作用（P2和P3可以等于零，此時(shí)振子M2和M3不受力）。以3個(gè)質(zhì)量塊的靜平衡位置為各自的坐標(biāo)原點(diǎn)建立動(dòng)力學(xué)方程。以X1、X2和X3為M1、M2和M3的位移，向上為正方向，當(dāng)質(zhì)量塊M1和M3的位移之差等于等于間隙△時(shí)，M1和M3將發(fā)生相互碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運(yùn)動(dòng)，然后再次碰撞。假設(shè)模型中的阻尼滿足：（K1/K2/K3=C1/C2/C3），碰撞過(guò)程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定。

2系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及混沌演化

選擇該沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的一組參數(shù)： m2=2.5， m3=5， k2=3.2， k3=8， =0.02，f10=1，f20=0，f30=0， =1。其振子M1的龐加萊映射圖隨 的的變化過(guò)程如圖2-1、圖2-2所示。

3結(jié)論

（1）當(dāng) =3.96時(shí)，系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期一運(yùn)動(dòng)，每次碰撞時(shí)，M1的無(wú)量綱位移，x1=0.895，無(wú)量綱速度v1=1.99，碰撞M1時(shí)所受簡(jiǎn)諧力的相位角 =2.0576;

（2）隨 的增大，當(dāng) =3.98時(shí)，系統(tǒng)做q=1/1的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng);當(dāng) =4.027時(shí)，系統(tǒng)做多周期運(yùn)動(dòng);

（3）當(dāng) =4.0376時(shí)，系統(tǒng)處在結(jié)構(gòu)離散的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng) =4.0378時(shí)，離散的混沌結(jié)構(gòu)連接在一起，形成連續(xù)的混沌結(jié)構(gòu);

（4）隨著 的不斷增大，振子M1的混沌結(jié)構(gòu)圖發(fā)生了很大的變化，其中當(dāng) =4.15時(shí)，形成了“蛇”型混沌結(jié)構(gòu);

（5）當(dāng) =4.2時(shí)，振子M1的龐加萊映射圖中產(chǎn)生了兩個(gè)全等的三維混沌結(jié)構(gòu)圖，上下兩部分關(guān)于 =0的虛擬平面對(duì)稱;

（6）當(dāng) =4.3時(shí)，三維混沌結(jié)構(gòu)圖中 >0的上面部分消失，僅保留 <0的下面部分。

參考文獻(xiàn)

[1] 羅冠煒，謝建華.強(qiáng)共振情況下沖擊成型機(jī)的亞諧與Hopf分岔[J].力學(xué)學(xué)報(bào)， 2003，35（05）： 92-98.

[2] 羅冠煒，張艷龍.沖擊振動(dòng)成型機(jī)周期運(yùn)動(dòng)的Hopf-flip余維二分岔與混沌[J].工程力學(xué)，2007， 24（09）： 140-147.