趙金榮

摘 要： 數(shù)學(xué)本身是人類抽象思維的產(chǎn)物，它的抽象性決定了數(shù)學(xué)本身就是一種文化，是人類璀璨文明的重要組成部分。文章從導(dǎo)數(shù)概念的歷史文化背景引入，展現(xiàn)了從具體到抽象、歸納概括的數(shù)學(xué)方法，從兩個(gè)方面展示了在引入數(shù)學(xué)概念的同時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)文化教育的一些感觸。數(shù)學(xué)文化的特性是傳統(tǒng)性、滲透性、哲學(xué)性、美學(xué)性和自我完善性等的統(tǒng)一，在數(shù)學(xué)概念教授的同時(shí)，加入數(shù)學(xué)文化教育，既能幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，又能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)的整體素質(zhì)。

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù)；瞬時(shí)速度；極限

歐拉曾經(jīng)說過： “今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察發(fā)現(xiàn)的，并且早在用嚴(yán)格確認(rèn)其真實(shí)性之前就被發(fā)現(xiàn)了?！币虼耍^察人們認(rèn)識(shí)世界的一個(gè)重要途徑，要了解和熟悉周圍環(huán)境首先靠觀察，要探索和發(fā)現(xiàn)大自然的奧秘，同樣也需要通過觀察進(jìn)行。而數(shù)學(xué)知識(shí)正是人類通過觀察周圍的世界，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，用抽象的數(shù)學(xué)概念表示出來，然后再用于指導(dǎo)生產(chǎn)和科學(xué)研究。微積分學(xué)的重要概念之一就是導(dǎo)數(shù)與微分，這些概念經(jīng)過幾個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)巨匠的雕琢，已經(jīng)成長為數(shù)學(xué)界一棵枝繁葉茂的參天大樹。但是，隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容的不斷發(fā)展，這些先進(jìn)的思想也逐漸滲透進(jìn)入了經(jīng)典微積分的精髓之中，從而給微積分的研究注入了勃勃生機(jī)。在給學(xué)生講解微積分的重要概念之一-導(dǎo)數(shù)時(shí)，使用恰當(dāng)?shù)囊敕绞接兄趲椭鷮W(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解，從而接受，然后使用導(dǎo)數(shù)解決問題.

在這篇文章中，會(huì)就如何引入和講解導(dǎo)數(shù)的概念以及如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行一些探索。在引入導(dǎo)數(shù)概念之前，先從給學(xué)生介紹促使微積分產(chǎn)生的四大類問題入手，也就是，求做變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題；求曲線的切線問題，求函數(shù)的最值問題和求曲線的長度等問題。這些問題的產(chǎn)生是社會(huì)的發(fā)展給數(shù)學(xué)提出的需要急需解決的問題。為了解決這些問題，十七世紀(jì)的很多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)、物理學(xué)家等做了大量研究，提出了許多很有有用的理論。在這些大家們研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，在十七世紀(jì)下半葉，英國偉大的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓，德國的政治家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別獨(dú)立地從不同的角度創(chuàng)立了微積分，使得問題得以解決。牛頓的微積分偏重于運(yùn)動(dòng)學(xué)，萊布尼茨則偏重于幾何。盡管數(shù)學(xué)界因?yàn)檎l首先創(chuàng)建微積分爭論了近百年，但我們一般會(huì)認(rèn)為是這兩位大家各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分。接下來就需要使用典型的問題重現(xiàn)引入導(dǎo)數(shù)的概念。使用的引例一般會(huì)根據(jù)學(xué)生所學(xué)專業(yè)的不同略有改變，不過使用頻率最大的是作變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題和如何求得曲線切線的問題。

一、導(dǎo)數(shù)概念的引例之一 從分折物理學(xué)上大家熟知的瞬時(shí)速度計(jì)算方法人手，講清導(dǎo)數(shù)的定義。以自由落體運(yùn)動(dòng)為例，使用物理給出的在忽略空氣阻力的情況下，自由落體物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求得物體下落2秒時(shí)的速度。在忽略空氣阻力的情況下，自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示為h=1/2gt2。要得到當(dāng)t=2秒時(shí)物體的瞬時(shí)速度，在引入導(dǎo)數(shù)之前，很難做到，但是我們可以求得一個(gè)小的時(shí)間段內(nèi)物體的平均速度近似代替，也就是 v=△s/△t=[1/2g（2+△t）2-1/2g（2）2]/△t?？梢钥吹剑?dāng)取得時(shí)間間隔△t越小，得到的平均速度v就越接近2秒時(shí)的速度。所以，根據(jù)極限的定義，可以規(guī)定：當(dāng)△t→0時(shí)，平均速度v的極限就t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度，記作 v=lim△t→0 v= lim△t→0（△s/△t）= lim△t→0 （[1/2g（2+△t）2-1/2g（2）2]/△t）.在這個(gè)分析過程中，我們得到了一個(gè)特殊的極限lim△t→0 （△s/△t）。

二、導(dǎo)數(shù)概念引例之二—求曲線y=f（x）上一點(diǎn)（x0，f（x0））的切線方程。我們知道要得到直線的方程，僅知道直線上的一個(gè)點(diǎn)是不夠的，還需要知道直線的斜率，才能夠使用直線的點(diǎn)斜式方程得到切線的方程。要得到曲線上點(diǎn)（x0，f（x0））的切線的斜率，直接方法不存在，但可以得到一個(gè)近似值，也就是過（x0，f（x0））點(diǎn)以及這條曲線上（x0，f（x0））點(diǎn)附近另一個(gè)點(diǎn)（x0+△x，f（x0+△x））的割線的斜率△y/△x。要使得這個(gè)近似值的精確度不斷增加，可以使得△x不斷減小，也就是使得（x0+△x，f（x0+△x））不斷沿著曲線向（x0，f（x0））不斷接近。所以，可以推測出，當(dāng)△x→0時(shí)，△y/△x與切線的斜率k限接近，所以把k定義為△y/△x當(dāng)△x→0時(shí)的極限值。

兩個(gè)引例得到了具有共同特征的極限：函數(shù)的增量與自變量增量的比值當(dāng)自變量增量趨向零時(shí)的極限。這樣的極限在很多情況下存在，具有廣泛的代表性。這類極限，由于有著廣泛的代表性和實(shí)際意義，所以給這個(gè)極限一個(gè)名字 —導(dǎo)數(shù)，由此，得到導(dǎo)數(shù)的定義。得到了定義后，可以在使用大家熟悉的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求取反過來加以證明。由此，完成了從具體到抽象，又從抽象到具體的循環(huán)。這個(gè)過程不但利于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念，同時(shí)又讓學(xué)生在這些引例的推導(dǎo)過程中體會(huì)了微積分創(chuàng)始人的思維過程，同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生的抽象邏輯思維能力，以及使用導(dǎo)數(shù)解決具體問題的分析能力。在這個(gè)過程中，還滲透了數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)其實(shí)并不晦澀難懂，每個(gè)數(shù)學(xué)理論的給出都有其實(shí)際意義。

意大利物理學(xué)家伽利略曾經(jīng)說過：數(shù)學(xué)是上帝用來描述宇宙的文字。作為基礎(chǔ)學(xué)科的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)在科學(xué)研究中的工具作用，大家都有目共睹。由此，數(shù)學(xué)課的教學(xué)在教育中的地位是其他學(xué)科所不能比擬的。但是在數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授過程中，其文化價(jià)值，很難通過文學(xué)、藝術(shù)的形式展示給出來，所以，歷來，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是高等數(shù)學(xué)都以抽象、晦澀難懂的形象出現(xiàn)，從而讓人望而生畏。這種做法違背了數(shù)學(xué)的教育目的。所以，在數(shù)學(xué)概念的教授過程中，有意識(shí)地把抽象的內(nèi)容與文化進(jìn)行融合，把抽象內(nèi)容的學(xué)習(xí)變得有趣，接地氣，從而消除學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的畏難情緒，應(yīng)該被數(shù)學(xué)教育者關(guān)注?！?/p>

參考文獻(xiàn)

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