姬安召，王玉風，崔建斌

(1.隴東學院能源工程學院，甘肅慶陽 745000；2.隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅慶陽 745000)

由于碳酸鹽巖受沉積環(huán)境與成巖后生作用等不同程度的影響，儲層的孔隙復(fù)雜，裂縫形態(tài)多樣，形成多級別、多開度的裂縫與溶蝕縫，該特征導(dǎo)致碳酸鹽巖巖性油氣藏的滲流規(guī)律具有復(fù)雜性[1，2]。目前，許多學者對縫洞型碳酸鹽巖儲層的滲流規(guī)律進行了研究。賈永祿等[3]建立了基巖、溶蝕孔洞、微裂縫和大裂縫的四孔單滲模型，并采用Laplace變換和Stehfest數(shù)值反演方法進行了求解，但只考慮了微裂縫、基巖和溶蝕孔洞向大裂縫竄流，井筒供液只有大裂縫提供，沒有考慮介質(zhì)間流體的流動。程時清、顧岱鴻、張利軍、常學軍等[4-7]建立了基巖、溶洞和裂縫三重介質(zhì)的數(shù)學模型，并用Laplace變換等數(shù)學方法進行了模型的求解，通過數(shù)值反演的方法繪制了三重介質(zhì)試井曲線，并對曲線的特征進行了分析。趙玉龍等[8]對三重介質(zhì)油藏非牛頓流體的冪律流規(guī)律做了研究。任俊杰等[9]研究斜井三重介質(zhì)井底壓力動態(tài)特征，當井斜角大于60°時，早起垂向徑向流的壓力導(dǎo)數(shù)曲線為一條水平線，井斜角小于60°時，與直井的壓力動態(tài)特征一致。楊堅等[10]對斜井三重介質(zhì)油藏的單井壓力動態(tài)特征進行了研究，分別考慮了無限大邊界，封閉邊界和定壓邊界的情況。張冬麗等[11-13]研究了縫洞型碳酸鹽巖油藏油水兩相滲流三重介質(zhì)的數(shù)值試井方法。總結(jié)前人研究成果，本文主要針對大裂縫、微裂縫和溶蝕孔洞發(fā)育的復(fù)雜儲層碳酸鹽巖油藏，建立以大裂縫和微裂縫向井筒供液的雙滲四重介質(zhì)數(shù)學模型，并對采用Laplace變換及含有特征參數(shù)的微分方程通解分析的方法進行模型求解，然后采用Stehfest數(shù)值反演進行典型曲線的繪制，并對影響典型曲線特征的因素進行分析。

1 四孔雙滲物理模型

儲層由溶蝕孔洞、大裂縫、微裂縫和基巖組成，儲層中的大裂縫和微裂縫為流體的流動提供了滲流通道，溶蝕孔洞和基巖提供了主要的儲存空間。該模型描述了大裂縫和微裂縫共同向井筒供液，溶蝕孔洞和微裂縫的流體向大裂縫發(fā)生竄流，同時基巖的流體也向溶蝕孔洞發(fā)生竄流，具體物理模型(見圖1)。

為了簡化大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞和基巖滲流的數(shù)學模型，基本假設(shè)為：油井以定產(chǎn)量生產(chǎn)；儲層流體和儲層巖石微可壓縮，并且為單相流體；儲層流體在這四種介質(zhì)中的流動符合達西滲流規(guī)律；考慮井筒儲集效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響；忽略重力和毛管力的影響；地層的啟動壓力很小，忽略不計；每一種介質(zhì)的滲透率、孔隙度和壓縮系數(shù)相互獨立；流體只通過大裂縫和微裂縫流向井筒，溶蝕孔洞和基巖作源。

圖1 四孔雙滲模型示意圖

2 四孔雙滲數(shù)學模型建立與求解

2.1 模型的無因次滲流微分方程

基于以上物理模型，根據(jù)儲層流體的運動方程、質(zhì)量守恒方程和狀態(tài)方程，建立法定單位下的無因次大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞與基巖連通情況下的滲流數(shù)學模型。

無因次大裂縫滲流微分方程：

無因次微裂縫滲流微分方程：

無因次溶蝕孔洞滲流微分方程：

無因次基巖滲流微分方程：

為了簡化模型的求解，無因次參數(shù)定義如下：無因次半徑的定義：

無因次時間的定義：

無因次壓力的定義：

式中：下標 j=F，f，v，m；F-大裂縫；f-微裂縫；v-溶蝕孔洞；m-基巖。

無因次井儲系數(shù)的定義：

不同介質(zhì)的彈性儲容比的定義：

不同介質(zhì)之間的竄流系數(shù)：

式中：下標 k=fF，vF，vf，mv；分別表示微裂縫向大裂縫竄流、溶蝕孔洞向大裂縫竄流、溶蝕孔洞向微裂縫竄流和基巖向溶蝕孔洞竄流，其對應(yīng)的下標i=f，v，v，m。

滲透率比值的定義：

式中：r-井距儲層中任意位置的距離，m；kj-四種介質(zhì)的滲透率，μm2；μ-儲層流體的黏度，mPa·s；pj-四種介質(zhì)儲層流體的壓力，MPa；αk-形狀系數(shù)，m-2；φj-四種介質(zhì)的孔隙度，無量綱；Ctj-四種介質(zhì)的綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；t-時間，h。

無因次初始條件為：

無因次井底定產(chǎn)條件為：

無因次表皮效應(yīng)的內(nèi)邊界條件為：

無因次無限大外邊界條件為：

無因次封閉外邊界條件為：

無因次定壓外邊界條件為：

式中：rDe-無因次外邊界半徑。

為了求解(1)～(11)式定解微分方程，對(1)～(11)式的無因次時間tD變量進行Laplace變換，在Laplace空間的變量用z表示，壓力用pˉ表示。

2.2 微分方程特征參數(shù)求解

對溶蝕孔洞和基巖滲流微分方程(3)和(4)式進行Laplace變換，同時考慮(5)式的初始條件，經(jīng)過Laplace變換可化簡為代數(shù)方程，在代數(shù)方程中，用大裂縫和微裂縫的Laplace空間無因次壓力分別表示基巖和溶蝕孔洞的壓力。將這兩個方程代入大裂縫和微裂縫Laplace空間的滲流微分方程中，通過整理可得：

根據(jù)文獻[8]，在無限大外邊界的條件下方程(12)和(13)式的通解為：

式中：K0(σrD)-修正的零5第二類Bessel函數(shù)；σ-特征參數(shù)；A2、B2-滿足內(nèi)邊界的待求參數(shù)。

將(14)和(15)式分別代入到(12)和(13)式，可得到關(guān)于A2和B2的線性方程組。由實際問題可知，A2和B2是存在的，則齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式的值為0。通過整理可得關(guān)于特征參數(shù)σ的方程為：

通過(16)式可知特征參數(shù)σ有兩個實數(shù)解σ1和σ2，根據(jù)線性微分方程解的疊加原理，這兩個特征參數(shù)共同構(gòu)成了微分方程的解，則微分方程的通解(14)和(15)式又可表示為：

式中：A1、B1、A2和B2為滿足內(nèi)邊界的待求參數(shù)。

將(17)和(18)式代入到(12)和(13)式，結(jié)合修正Bessel函數(shù) K0(x)的導(dǎo)數(shù)，可得關(guān)于 A1、B1、A2和 B2四個未知參數(shù)的兩個方程組。這兩個方程組中含有修正Bessel函數(shù) K0(σ1rD)和 K0(σ2rD)，由于 σ1和 σ2是互異的，則K0(σ1rD)與K0(σ2rD)是線性無關(guān)的，要是方程組有解，則K0(σ1rD)與K0(σ2rD)的系數(shù)之和必須為0，通過整理可得 A1、B1、A2和 B2四個未知參數(shù)關(guān)系[14]。則Laplace空間微裂縫滲流微分方程的通解為：

2.3 無限大地層模型的解

根據(jù)(17)和(19)式可知，要得出微分方程的特解，則需要兩個條件即可。對于無限大地層而言，外邊界條件在方程通解給出的過程中已經(jīng)使用，現(xiàn)在將(17)和(19)式代入到內(nèi)邊界定產(chǎn)條件(6)式和表皮效應(yīng)條件(7)和(8)式，通過整理可得：

式中：

通過(20)式的求解，可得滿足內(nèi)邊界條件的參數(shù)A1和A2。根據(jù)獲得Laplace空間的解析解，采用Stehfest數(shù)值反演方法可得實空間的井底壓力。

2.4 封閉邊界與定壓邊界模型的解

對于封閉邊界和定壓邊界求解過程與上述思路相同，只是受邊界條件的影響，方程的通解形式不同。限于篇幅有限，這里只給出本文求解的結(jié)果。

井底壓力的表達式為：

式中：特征參數(shù)σ1和σ2由(16)式確定，方程系數(shù)A1、A2、A3和 A4由下列方程組確定：

對于封閉邊界而言，其系數(shù)為：

對于定壓邊界而言，只有系數(shù)a11、a12、a13和a14不同，其他同封閉邊界：

3 壓力動態(tài)分析

3.1 流動5段的劃分

雙滲四重介質(zhì)油藏試井曲線劃分為5個5段(見圖2)：AB段是早期的井儲5段，曲線的特征為45°線，井儲結(jié)束后，井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)峰值，之后向下傾斜，這個特征是表皮效應(yīng)的響應(yīng)特征；BE段出現(xiàn)了3個“凹子”是流體在介質(zhì)間竄流的結(jié)果，BC段是微裂縫和溶蝕孔洞向大裂縫的竄流5段，CD段是溶蝕孔洞向微裂縫的竄流5段，DE段是基巖向溶蝕孔洞的竄流5段；EF段是邊界的響應(yīng)特征，對于井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線而言，在無限大邊界中表現(xiàn)為水平的0.5線，在封閉邊界中表現(xiàn)為上傾的45°線，在定壓邊界中導(dǎo)數(shù)曲線下降很快。圖2中的無因次井儲系數(shù)CD為1.0，表皮系數(shù)S為5.0，滲透率比κ為0.95，基巖彈性儲容比ωm為0.7，溶蝕孔洞彈性儲容比ωv為0.2，微裂縫彈性儲容比ωf為0.08，大裂縫彈性儲容比ωF為2×10-3，微裂縫向大裂縫竄流系數(shù)λfF為1×10-4，溶蝕孔洞向大裂縫竄流系數(shù)λvF為1×10-6，溶蝕孔洞向微裂縫竄流系數(shù)λvf為8×10-7，基巖向溶蝕孔洞竄流系數(shù) λmv為 1×10-8，封閉邊界和定壓邊界的無因次半徑rDe為2×10-4。

圖2 不同邊界井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線

3.2 彈性儲容比(ω)

圖3 彈性儲容比對壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響

圖4 竄流系數(shù)對壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響

彈性儲容比是用來描述大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞和基巖的彈性儲容能力相對大小的物理量。彈性儲容比主要影響試井曲線“凹子”的深度和寬度。當大裂縫彈性儲容比ωF逐漸增大時(見圖3)，第1個“凹子”就逐漸變淺且變窄，同時對第2個“凹子”也變淺且變窄，但影響較小，對第3個“凹子”基本沒有影響。圖3中的參數(shù)取值與圖2中參數(shù)取值一致。

圖5 滲透率比對壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響

3.3 竄流系數(shù)(λ)

在雙滲四重介質(zhì)油藏中，大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞與基巖之間存在著流體交換，竄流系數(shù)就是用來描述四種介質(zhì)間流體交換的物理量，它反映介質(zhì)間竄流的能力。竄流系數(shù)的大小決定壓力導(dǎo)數(shù)曲線的過渡段“凹子”出現(xiàn)的時間，同時竄流系數(shù)也能影響到“凹子”的深度及寬度。當微裂縫向大裂縫竄流系數(shù)逐漸減小時，“凹子”出現(xiàn)的時間越晚，并且“凹子”越寬越深(見圖4)。圖4中的溶蝕孔洞向大裂縫竄流系數(shù)λvF為1×10-6，當微裂縫向大裂縫竄流系數(shù)與λvF相等時，這表明微裂縫與溶蝕孔洞向大裂縫竄流的能力是一樣的，壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)出三種介質(zhì)的性質(zhì)，即在圖4中出現(xiàn)了兩個“凹子”。

3.4 滲透率比(κ)

滲透率比主要影響壓力導(dǎo)數(shù)曲線的第1個“凹子”的深度(見圖5)，滲透率比與大裂縫彈性儲容比都是決定第1個“凹子”的深度，但滲透率比越大，第1個“凹子”越深。若滲透率比等于0.5，表明大裂縫和微裂縫的滲流能力是一致的，二者可以看作是一種介質(zhì)，這時就可以簡化為三重介質(zhì)，則壓力導(dǎo)數(shù)曲線由原來的三個“凹子”變?yōu)閮蓚€“凹子”。

4 結(jié)論

(1)對含有特征參數(shù)的滲流微分方程通解與微分方程的構(gòu)成條件進行分析，求解出雙滲四重介質(zhì)模型的解析解。

(2)雙滲四重介質(zhì)試井中壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)了三個“凹子”，這對雙滲四重介質(zhì)油藏試井分析的研究與應(yīng)用具有一定的借鑒意義。

(3)壓力導(dǎo)數(shù)曲線上“凹子”的數(shù)量與大小主要由介質(zhì)間竄流系數(shù)，介質(zhì)的彈性儲容比以及滲透率比共同來決定，這些參數(shù)的取值對壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響較為敏感，只有當各個參數(shù)選取都十分恰當時，才能表現(xiàn)出每個5段的滲流特征。

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