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(青島大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院,山東 青島 266071)

0 概述

圖像分割指在復(fù)雜圖像中分割出目標(biāo)圖像,其在圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域有著重要的研究?jī)r(jià)值[1]。具有拓?fù)渥赃m應(yīng)能力的水平集方法能夠有效應(yīng)對(duì)多相分割問題的復(fù)雜性[2],是解決圖像分割問題的主流方法。變分水平集方法是變分方法和水平集方法的結(jié)合,因?yàn)槠渚哂屑啥喾N信息和可處理拓?fù)渥兓膬?yōu)點(diǎn),所以近年來(lái)被廣泛地應(yīng)用于多相圖像分割的研究領(lǐng)域[3]。

Vese和Chan結(jié)合簡(jiǎn)化的Mumford-Shah[4]模型和水平集方法[3],建立了用于劃分2個(gè)區(qū)域的兩相Chan-Vese模型[5],并將其擴(kuò)展為用于解決分段常值和分段光滑的多相圖像分割問題的通用模型。但是,該模型只給出進(jìn)行區(qū)域分割的一般策略,并沒有給出進(jìn)行區(qū)域分割的通用公式,如果分割區(qū)域很多,就會(huì)使能量泛函和相關(guān)水平集函數(shù)演化方程變得很復(fù)雜。

針對(duì)上述問題,文獻(xiàn)[6-7]提出采用n個(gè)函數(shù)標(biāo)記n個(gè)區(qū)域的Potts模型。為解決函數(shù)間的“重疊”和“真空"問題,該模型對(duì)相關(guān)條件進(jìn)行約束[8-9]。文獻(xiàn)[10-11]提出2種應(yīng)用于分段常值的多相圖像分割模型,其中,一種運(yùn)用n個(gè)將標(biāo)記函數(shù)取值為1或-1的水平集函數(shù),另一種運(yùn)用標(biāo)記函數(shù)取值為離散常值的一個(gè)水平集函數(shù),再通過Lagrange多項(xiàng)式差值獲得可以劃分多個(gè)不同區(qū)域的基函數(shù),得到以分段常值為基礎(chǔ)的變分水平集圖像分割模型,該模型也包含對(duì)相關(guān)條件的約束[3]。文獻(xiàn)[7,12]提出采用n個(gè)水平集函數(shù)表達(dá)2n個(gè)區(qū)域的標(biāo)記函數(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)不同區(qū)域的劃分。文獻(xiàn)[13]則采用一個(gè)水平集函數(shù)標(biāo)記n(m+1)個(gè)區(qū)域的多相圖像分割模型。但是,以上區(qū)域分割策略都需要求解多個(gè)函數(shù)的極值問題,計(jì)算過程比較復(fù)雜。

本文采用一個(gè)連續(xù)變化的水平集函數(shù)[14],基于區(qū)域競(jìng)爭(zhēng)策略[15-16]提出m層水平集分割線劃分n個(gè)區(qū)域的方法進(jìn)行區(qū)域特征函數(shù)表達(dá),從而構(gòu)建多相圖像分割的變分模型。

1 相關(guān)研究

本文引入Heaviside函數(shù)為水平集標(biāo)記函數(shù)。并且用Hε(φ)近似Heaviside函數(shù)H(φ),即當(dāng)ε→0時(shí),得到Hε(φ)→H(φ)。由此,根據(jù)文獻(xiàn)[4-5]有以下結(jié)論:

(1)

(2)

基于多相圖像分割的區(qū)域表達(dá)策略,令Ω∈IRn(n=2,3)表示有界開集,f(x):Ω→IR表示在圖像區(qū)域Ω內(nèi)的圖像強(qiáng)度。運(yùn)用一個(gè)分層的水平集函數(shù)表達(dá)n個(gè)區(qū)域的多相圖像分割的變分水平集模型[15],其傳統(tǒng)表達(dá)式可以表示為:

(3)

根據(jù)式(3),可以把分段區(qū)域求均值的標(biāo)記函數(shù)分為3個(gè)部分表達(dá)。本文提出區(qū)域標(biāo)記函數(shù)的統(tǒng)一化表達(dá)式,從而獲得多相圖像分割的變分模型,其主要思想是使用一個(gè)連續(xù)函數(shù)的多層水平線來(lái)劃分圖像多個(gè)不同區(qū)域。本文以圖1把閉合區(qū)域Ω分成5個(gè)區(qū)域的過程為例。

圖1 閉合區(qū)間劃分示例

(8)

(10)

(11)

(12)

其中,i=1,2,…,m+1。

因此,本文提出多相圖像分割模型的能量泛函可以表示為:

(13)

其中,ui=(u1,u2,…,um+1)表示不同區(qū)域Ωi內(nèi)的分段常值,其估計(jì)式如式(14)所示。

(14)

當(dāng)ui被估計(jì)后,多相圖像分割模型的能量泛函可以表示為:

(15)

由于邊緣項(xiàng)函數(shù)可以等價(jià)表示為:

(16)

因此本文采用的多相圖像分割模型的能量泛函可以等價(jià)表示為式(17)。

(17)

2 多相圖像分割的變分方法

2.1 利用一個(gè)水平集函數(shù)標(biāo)記的多相分割模型

本文在變分公式中使用曲線演化的方法對(duì)多相分段常值圖像進(jìn)行分割,需要解決在用變分方法進(jìn)行圖像分割時(shí)求解極值的問題。本文建立的模型是對(duì)文獻(xiàn)[16]中引入方法的進(jìn)一步擴(kuò)展。下文通過對(duì)區(qū)域標(biāo)記函數(shù)規(guī)律的總結(jié)給出標(biāo)記函數(shù)的表達(dá)方式:

(18)

(19)

本文采用的多相圖像分割模型,用一個(gè)連續(xù)函數(shù)的多層水平集函數(shù)隱含地表示分割邊界的集合,從而通過一個(gè)水平集函數(shù)表達(dá)多層水平集的方法,完成多區(qū)域圖像的分割。因?yàn)樵撃Ｐ椭簧婕耙粋€(gè)水平集函數(shù)的求解問題,所以大幅減小了計(jì)算量。

本文采用交替方向乘子算法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)加速算法對(duì)該多相圖像的變分[17]分割模型進(jìn)行求解。傳統(tǒng)的梯度降算法計(jì)算效率比較低,而直接對(duì)偶算法也需要對(duì)對(duì)偶變量用梯度降算法進(jìn)行求解,Split Bregman算法則需要引用許多輔助變量、懲罰參數(shù)以及Bregman迭代參數(shù)。針對(duì)上述算法的缺點(diǎn),本文采用ADMM多相圖像算法對(duì)分割模型進(jìn)行計(jì)算,從而提高計(jì)算效率,增強(qiáng)算法穩(wěn)定性。

2.2 多相分割模型的ADMM算法

當(dāng)ui的值被計(jì)算估計(jì)后,基于一個(gè)標(biāo)記函數(shù)的多相圖像分割模型可以被表達(dá)為式(17)。為提高多相圖像分割模型[14,18]的計(jì)算效率,針對(duì)基于一個(gè)標(biāo)記函數(shù)的多相圖像分割模型,本文采用ADMM算法,從而可以得到多相圖像分割模型的能量泛函為:

s.t.|w|=1

(20)

其中,λ表示為拉格朗日乘子,用來(lái)保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性,μ(μ>0)表示懲罰參數(shù)。不同于懲罰函數(shù)法需要運(yùn)用懲罰參數(shù)來(lái)使約束條件得到滿足,ADMM加速算法能夠使μ不用取很大值的條件來(lái)保證約束條件w=φ成立。首先,分別對(duì)關(guān)于φ和w的能量泛函公式取極小值,再求關(guān)于λ的能量泛函公式的極大值[19]。因此,在鞍點(diǎn)處求得的極值的問題滿足由交替優(yōu)化方法得到的關(guān)于φ的歐拉拉格朗日方程為:

(21)

為保證標(biāo)記函數(shù)的穩(wěn)定性,對(duì)函數(shù)φ(x)加一個(gè)約束項(xiàng)為:

φk+1=max(0,min(φk+1,m+1))

(22)

則關(guān)于wk+1的廣義軟閾值公式如式(23)所示。

(23)

對(duì)于wk+1,考慮式(20)的約束條件,對(duì)其采用以下的方法進(jìn)行投影:

(24)

然后更新λk+1得:

λk+1=λk+c(wk+1-φk+1)

(25)

本文采用增廣拉格朗日投影算法進(jìn)行求解,步驟描述如下:

1)初始化φ0為水平集函數(shù),w0=λ0=0,k=0。

2)估計(jì)ui,并計(jì)算Qi(ui),i=1,2,…,q。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本文實(shí)驗(yàn)的平臺(tái)是PC機(jī):Intel(R) Core (TM) i5 Duo CPU @3.30 GHz 3.30 GHz,內(nèi)存4 GB,編程運(yùn)行環(huán)境:Matlab R2010b。針對(duì)本文多相圖像分割模型,采用GDM、DDM、SBM和ADMM算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本文選擇其中部分圖像進(jìn)行展示。圖2是實(shí)驗(yàn)的原始圖像。圖3給出了圖2(b)中幾何圖像區(qū)域分割的結(jié)果,其中:圖3(a)為采用GDM算法的區(qū)域分割結(jié)果;圖3(b)為采用DDM算法的區(qū)域分割結(jié)果;圖3(c)為采用SBM算法的區(qū)域分割結(jié)果;圖3(d)為采用ADMM算法的區(qū)域分割結(jié)果。可以看出,與其他3種算法相比,ADMM加速算法可以更好地保持幾何圖像的分割邊緣,從而得到更準(zhǔn)確的分割結(jié)果。圖4為對(duì)圖2中原始圖像采用4種算法進(jìn)行圖像分割,得到以不同顏色輪廓線劃分不同區(qū)域的結(jié)果。從彩色圖像的分割結(jié)果中可以看出,ADMM算法與其他3種算法分割效果類似。

圖2 原始圖像

圖3 幾何圖像基于不同算法的區(qū)域分割結(jié)果

圖4 彩色圖像基于不同算法的分割結(jié)果

本文從4幅原始圖像中選擇圖2(a)和圖2(d)2幅圖像分別加上參數(shù)ran分別為0、5、10、15的隨機(jī)噪聲,然后選擇傳統(tǒng)GDM算法和ADMM加速算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。圖5～圖8分別為GDM算法和本文算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,從中可以看出噪聲的改變以及2種算法不同的處理效果。圖5、圖6為遙感圖像加入不同噪聲時(shí)2種算法的分割結(jié)果。通過對(duì)比可以看出,在灰度圖像的分割過程中,ADMM算法比GDM算法具有更強(qiáng)的魯棒性。圖7、圖8為建筑圖像加入不同噪聲時(shí)2種算法的分割結(jié)果。

圖5 采用GDM算法分割加入不同噪聲灰度圖像的分割結(jié)果及其曲面網(wǎng)格圖

圖6 采用ADMM算法分割加入不同噪聲灰度圖像的分割結(jié)果及其曲面網(wǎng)格圖

圖7 采用GDM算法分割加入不同噪聲彩色圖像的分割結(jié)果及其曲面網(wǎng)格圖

圖8 采用ADMM分割加入不同噪聲彩色圖像的分割結(jié)果及其曲面網(wǎng)格圖

通過對(duì)比可以看出,在彩色圖像的分割過程中,ADMM算法比GDM算法也具有更強(qiáng)的魯棒性。通過以上實(shí)驗(yàn)可以看出,ADMM算法與傳統(tǒng)的算法相比,可以得到更好的分割結(jié)果。并且,本文的ADMM算法與傳統(tǒng)的GDM算法相比,具有更強(qiáng)的魯棒性。本文在采用紅、綠、藍(lán)3種不同顏色曲線表示在不同區(qū)域的分割線來(lái)劃分出多個(gè)區(qū)域。

對(duì)原始4幅圖像分別采用傳統(tǒng)GDM、SBM、DDM和ADMM算法分割,比較能量泛函達(dá)收斂時(shí)所需要的迭代總次數(shù)以及迭代總時(shí)間,結(jié)果如表1所示。從中可以看出,無(wú)論從每步迭代時(shí)間、迭代總時(shí)間,還是收斂次數(shù),本文ADMM算法的性能均較好,這很大程度上取決于ADMM快速算法簡(jiǎn)單的差分格式。

表1 不同分割方法迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用基于一個(gè)函數(shù)的多層水平集標(biāo)記方法對(duì)圖像多個(gè)區(qū)域進(jìn)行標(biāo)記,并采用增廣拉格朗日算法ADMM實(shí)現(xiàn)多區(qū)域圖像的分割,從而簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟,提高了多相圖像分割的計(jì)算效率,同時(shí)保證了多相分割方法的魯棒性。此外,水平集方法非常靈活,在分割過程中可引入不同類型的信息(邊界、區(qū)域、形狀),由于灰度和彩色圖像中都包含豐富的不可預(yù)測(cè)的復(fù)雜信息,因此本文方法可有效解決圖像分割問題。下一步工作是把基于一個(gè)標(biāo)記函數(shù)的分割模型應(yīng)用于3D或曲面上的多區(qū)域圖像分割,并將其推廣為多區(qū)域圖像運(yùn)動(dòng)分割的變分模型。

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