陸　藝，于麗梅，郭　斌

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

評(píng)價(jià)工業(yè)機(jī)器人性能的兩個(gè)重要指標(biāo)包括重復(fù)精度和絕對(duì)定位精度.目前，工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)精度很高，能夠滿(mǎn)足大部分場(chǎng)合的工程要求.而工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度偏低[1-2]，這限制了工業(yè)機(jī)器人更為廣泛的應(yīng)用.工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)是影響絕對(duì)定位精度的主要因素，因此獲得準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)是十分必要的.標(biāo)定技術(shù)是獲得準(zhǔn)確運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的重要途徑之一.目前大部分企業(yè)采用開(kāi)環(huán)標(biāo)定法標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人[3-5]，該方法需要利用額外的精密儀器測(cè)量工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際位姿，成本高且需專(zhuān)業(yè)人員操作，測(cè)量方法也較為繁瑣.所以近年來(lái)，研究者紛紛開(kāi)始對(duì)測(cè)量方法進(jìn)行研究探索，對(duì)原有的測(cè)量方法進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，提出了閉環(huán)標(biāo)定法，又稱(chēng)自標(biāo)定，不需要額外的測(cè)量?jī)x器，成本較低且操作簡(jiǎn)單.因此提出了一種基于幾何約束的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)閉環(huán)標(biāo)定方法，并用Matlab對(duì)該方法進(jìn)行仿真.此方法將激光器安裝在工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器上，激光線(xiàn)瞄準(zhǔn)遠(yuǎn)距離觀(guān)測(cè)平面上一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D.根據(jù)正方形的幾何特性建立以運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差為未知量的方程組，采用最小二乘法辨識(shí)出運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差[6-8]，從而得到準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù).此方法操作簡(jiǎn)單，成本低，正方形的邊長(zhǎng)易測(cè)量，精度能滿(mǎn)足工程要求.

1　運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1　運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定的基礎(chǔ)，目前，D-H模型是應(yīng)用最廣的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[9-10]，但當(dāng)工業(yè)機(jī)器人存在兩個(gè)互相平行的相鄰關(guān)節(jié)時(shí)，D-H模型存在奇異性問(wèn)題.為解決這一問(wèn)題，提出了D-H模型與MDH模型相結(jié)合的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，即在平行或近似平行的關(guān)節(jié)間采用MDH模型[11-12]，在不平行的關(guān)節(jié)間仍采用D-H模型.則模型包括的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)有：連桿長(zhǎng)度ai、連桿扭角αi、偏置di、關(guān)節(jié)角θi、轉(zhuǎn)角參數(shù)βi.

以研華LNC S6000型六軸串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人作為待標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人.根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立原則，工業(yè)機(jī)器人坐標(biāo)系關(guān)系如圖1.

根據(jù)圖1所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)可確定工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的名義值如表1.

圖1　工業(yè)機(jī)器人坐標(biāo)系關(guān)系圖Figure 1　Industrial robot coordinate diagram

序號(hào)ai/mmdi/mmαi/(°)θi/(°)βi/(°)1753459090+θ1-2270-090+θ2039009090+θ3-40295-90　0+θ4-500900+θ5-60102090+θ6-

“-”代表不包含此參數(shù).

根據(jù)坐標(biāo)變換步驟及原理可得D-H變換矩陣通式為

(1)

式(1)中：C代表cos,S代表sin，i=1,3,4,5,6.

由于二、三關(guān)節(jié)平行，所以采用MDH模型建模，則變換矩陣為

(2)

式(2)中：C代表cos,S代表sin.

采用D-H模型與MDH模型相結(jié)合的建模方法，則工業(yè)機(jī)器人的位姿矩陣為

(3)

式(3)中：n(nx,ny,nz)、o(ox,oy,oz)、a(ax,ay,az)表示機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系的姿態(tài)向量，p(px,py,pz)為機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置向量.

1.2　運(yùn)動(dòng)學(xué)模型仿真

為驗(yàn)證工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性，利用Matlab中的對(duì)所建運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行仿真[13-15]如圖2.

圖2　運(yùn)動(dòng)學(xué)模型仿真Figure 2　Simulation of kinematics model

隨機(jī)取一系列關(guān)節(jié)角向量，將仿真得出的工業(yè)機(jī)器人位姿坐標(biāo)與實(shí)際機(jī)器人控制器中的位姿進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表2.

根據(jù)表2可知，仿真位姿與實(shí)際機(jī)器人的位姿基本一致，驗(yàn)證了所建運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性.

表2　工業(yè)機(jī)器人位姿對(duì)比

2　工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法

2.1　標(biāo)定原理

采用基于幾何約束的虛擬閉環(huán)標(biāo)定法標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù).如圖3，將激光器安裝在工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器上，使激光線(xiàn)的方向盡量與末端執(zhí)行器的Z6軸重合，取觀(guān)測(cè)平面與工業(yè)機(jī)器人基座坐標(biāo)系的X0O0Z0平面平行，距離為R.工業(yè)機(jī)器人帶動(dòng)激光器依次瞄準(zhǔn)觀(guān)測(cè)平面上一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D，并在每個(gè)頂點(diǎn)處保持足夠的位姿.根據(jù)誤差放大原理，當(dāng)工業(yè)機(jī)器人帶動(dòng)激光器瞄準(zhǔn)遠(yuǎn)距離觀(guān)測(cè)平面上一點(diǎn)時(shí)，可得到較為精確的關(guān)節(jié)角值.根據(jù)“正方形四條邊邊長(zhǎng)相等”以及“正方形對(duì)角線(xiàn)互相垂直”定理，可列出以運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差為未知數(shù)的方程.只要在每個(gè)頂點(diǎn)處保持足夠多的位形即可建立足夠多的標(biāo)定方程，通過(guò)最小二乘法即可將運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差辨識(shí)出來(lái).

圖3　基于幾何約束的虛擬閉環(huán)標(biāo)定法Figure 3　Virtual closed-loop calibration methodbased on geometric constraint

2.2　標(biāo)定方程的建立

工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差導(dǎo)致了末端執(zhí)行器的位姿存在偏差，從而導(dǎo)致了激光點(diǎn)理論坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)間的偏差.如圖4，當(dāng)激光瞄準(zhǔn)n(Xn,Zn)點(diǎn)時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的存在，激光投影點(diǎn)的理論點(diǎn)m(Xm,Zm)與實(shí)際點(diǎn)n不重合，利用該偏差來(lái)建立標(biāo)定方程.

圖4　激光投影點(diǎn)理論點(diǎn)與實(shí)際點(diǎn)位置Figure 4　Theory and actuallocation of laser projection point

由于激光線(xiàn)與Z6軸理論上是重合的，所以激光線(xiàn)的方向向量為式(3)中的a(ax,ay,az)向量，末端執(zhí)行器中心點(diǎn)p(px,py,pz)同時(shí)也是激光線(xiàn)上一點(diǎn)，則激光線(xiàn)在基座坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0下的空間方程為

(4)

式(4)中：(x,y,z)代表激光線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo).

由于激光線(xiàn)是投影在觀(guān)測(cè)平面的，所以激光點(diǎn)坐標(biāo)的y值皆為R，由此可得出激光在觀(guān)測(cè)平面上投影點(diǎn)的二維理論坐標(biāo)(Xm,Zm)：

(5)

由于激光投影點(diǎn)理論值與實(shí)際值之間的偏差主要是由運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差導(dǎo)致的，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差包括

(6)

式(6)中：Δai為連桿長(zhǎng)度誤差、Δαi為連桿扭角誤差、Δdi為偏置誤差、Δθi為關(guān)節(jié)角誤差、Δβ2為轉(zhuǎn)角參數(shù)誤差.

則激光投影實(shí)際點(diǎn)的坐標(biāo)n(Xn,Zn)為

n=m+JΔx.

(7)

式(7)中：J代表激光投影點(diǎn)理論坐標(biāo)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)所求的雅克比矩陣.

根據(jù)激光投影點(diǎn)實(shí)際值與理論值的偏差可知，當(dāng)激光線(xiàn)分別瞄準(zhǔn)觀(guān)測(cè)平面上的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D時(shí)，在每個(gè)頂點(diǎn)處位形不變的條件下，同樣存在著與每個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的激光投影點(diǎn)理論值A(chǔ)i、Bi、Ci、Di，坐標(biāo)分別記為PAi，PBi，PCi，PDi.則A、B、C、D的坐標(biāo)PA，PB，PC，PD分別為

(8)

參照?qǐng)D3，根據(jù)正方形的幾何性質(zhì)可得：

(9)

根據(jù)式(9)，由于運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差Δx很小，因此忽略其二次項(xiàng)得到標(biāo)定方程：

(10)

只要在每個(gè)頂點(diǎn)處確保足夠的位形以建立不少于運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差數(shù)量的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即可通過(guò)最小二乘法求解出運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差.

3　仿真分析

3.1　標(biāo)定方法仿真實(shí)驗(yàn)

首先預(yù)設(shè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，預(yù)設(shè)值如表3.

表3　運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差預(yù)設(shè)值

以運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)預(yù)設(shè)值修正工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)作為仿真機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù).采用Matlab對(duì)上述標(biāo)定方法進(jìn)行仿真，如圖5.

仿真實(shí)驗(yàn)具體的步驟如下：

1) 控制工業(yè)機(jī)器人依次將激光瞄準(zhǔn)四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D，并記錄激光點(diǎn)位于每個(gè)頂點(diǎn)處的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)角.

2)計(jì)算激光點(diǎn)的理論坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的雅克比矩陣以建立標(biāo)定方程.

3)重復(fù)步驟(1)和步驟(2)，直到獲得足夠的標(biāo)定方程.

4)用最小二乘法辨識(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，從而得到準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù).

3.2　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

按以上實(shí)驗(yàn)步驟進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求解標(biāo)定方程組，得到運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差如表4.

表4　標(biāo)定后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差

根據(jù)表3和表4可知標(biāo)定前后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差之間相差10-2個(gè)數(shù)量級(jí)，根據(jù)記錄的關(guān)節(jié)角及標(biāo)定前后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)求出標(biāo)定前后正方形的理論邊長(zhǎng)值與實(shí)際邊長(zhǎng)L間的長(zhǎng)度偏差如圖6.

圖6　標(biāo)定前后長(zhǎng)度偏差對(duì)比Figure 6　Comparison of length deviationsbefore and after calibration

根據(jù)圖6，長(zhǎng)度偏差的標(biāo)準(zhǔn)差從標(biāo)定前的2.258 6mm減少到0.499 8mm，絕對(duì)定位精度提高了77.87%，驗(yàn)證了此標(biāo)定方法的可行性.

4　結(jié)　語(yǔ)

針對(duì)工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定中存在的價(jià)格昂貴、操作困難等問(wèn)題，提出了基于幾何約束的閉環(huán)標(biāo)定方法來(lái)標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù).首先利用Matlab對(duì)所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行仿真，驗(yàn)證其正確性.其次，利用Matlab對(duì)該方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，通過(guò)仿真結(jié)果可知，工業(yè)機(jī)器人的定位精度提高了77.87%，說(shuō)明此方法是有效的，從而為后續(xù)相關(guān)標(biāo)定方法的實(shí)施提供理論基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]齊飛,平雪良,劉潔,等.關(guān)于工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定方法的研究[J].機(jī)床與液壓,2015,43(21):32-36.

QI F, PING X L, LIU J, et al. Research of calibration method on industrial robot[J].MachineTool&Hydraulics, 2015,43(21):32-36.

[2]夏天,孫翰英,范嘉楨,等.虛擬封閉運(yùn)動(dòng)鏈法提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定精度[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究,2009,25(2):57-59.

XIA T, SUN H Y, FAN J Z, et al. Research of industrial robot calibration based on virtual closed kinematic chain[J].MachineDesign&Research, 2009,25(2):57-59.

[3]楊麗紅,秦緒祥,蔡錦達(dá),等.工業(yè)機(jī)器人定位精度標(biāo)定技術(shù)的研究[J].控制工程,2013,20(4)：785-788.

YANG L H, QIN X X, CAI J D, et al. Research on industrial robot's positioning accuracy calibration[J].ControlEngineeringofChina, 2013,20(4):785-788.

[4]楊小磊,叢明,劉冬,等.六自由度工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,43(增刊1):41-44.

YANG X L, CONG M, LIU D, et al. Method of kinematic calibration for the 6-DOF industrial robot[J].JournalofHuazhongUniversityofScience&Technology, 2015,43(Suppl 1):41-44.

[5]王學(xué)影,巖君芳,葉樹(shù)亮,等.關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)研究[J].中國(guó)計(jì)量大學(xué)學(xué)報(bào),2010,21(1):12-15.

WANG X Y, YAN J F, YE S L, et al. Research on the key technology of articulated arm flexible CMMs[J].JournalofChinaUniversityofMetrology,2010,21(1):12-15.

[6]劉永欽,沈艷霞,紀(jì)志成.改進(jìn)型最小二乘法在PMSM參數(shù)辨識(shí)中的應(yīng)用[J].微特電機(jī),2008,36(11):19-22.

LIU Y Q, SHEN Y X, JI Z C. Application of an improved least square algorithm in PMSM identification[J].Small&SpecialElectricalMachines, 2008,36(11):19-22.

[7]史賢俊,廖劍,馬長(zhǎng)李,等.基于MATLAB的廣義最小二乘參數(shù)辨識(shí)與仿真[J].計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程,2009,37(8):173-175.

SHI X J,LIAO J,MA C L, et al. GLS parameter identification and simulation based on Matlab[J].Computer&DigitalEngineering,2009,37(8):173-175.

[8]王少軍,劉琦,仲雪潔,等.一種解線(xiàn)性最小二乘問(wèn)題的FPGA計(jì)算方法[J].儀器儀表學(xué)報(bào),2012,33(3):701-707.

WANG S J, LIU Q,ZHONG X J, et al. FPGA implementation for solving linear least square problem[J].ChineseJournalofScientificInstrument, 2012,33(3):701-707.

[9]DENAVIT J, HARTENBERG R S. A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices[J].Trans.oftheAsme.journalofAppliedMechanics,1955,22:215-221.

[10]LIU Z, ZHAO Z, XIE Y, et al. Kinematic calibration and compensation for a robot with structural deformation[J].Robot,2015,37(3):376-384.

[11]HAYATI S A. Robot arm geometric link parameter estimation[C]//Proceedingsofthe22ndIEEEConferenceonDecisionandControl. New York:IEEE,1983:1477-1483.

[12]戚禎祥,葉超強(qiáng),吳建華,等.基于MDH模型的工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定算法與實(shí)驗(yàn)研究[J].制造業(yè)自動(dòng)化,2015,37(2):15-18.

QI Z X,YE C Q, WU J H, et al. Research on thealgorithm and experiment of robot calibration based on MDH model[J].ManufacturingAutomation, 2015,37(2):15-18.

[13]王智興,樊文欣,張保成,等.基于Matlab的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真[J].機(jī)電工程,2012,29(1):33-37.

WANG Z X, FAN W X, ZHANG B C,et al.Kinematical analysis and simulation of industrial robot based on Matlab [J].JournalofMechanical&ElectricalEngineering, 2012,29(1)：33-37.

[14]扶宇陽(yáng),葛阿萍.基于MATLAB的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真研究[J].機(jī)械工程與自動(dòng)化,2013(3):40-42.

FU Y Y, GE A P. Kinematics simulation study based on MATLAB on industrial robot[J].MechanicalEngineering&Automation, 2013(3):40-42.

[15]于天宇,李達(dá),宋寶玉.基于MATLAB-Robotics工具箱的工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃及仿真研究[J].機(jī)械工程師,2011(7):81-83.

YU T Y, LI D, SONG B Y. Research on trajectory planning and simulation of industrial robots based on MATLAB-Robotics Toolbox[J].MechanicalEngineer,2011(7):81-83.