滕艷輝，王鵬云，劉婭婭

(1.咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 咸陽(yáng)　712000;2.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安　710100)

在天文歷法方面,南宋在北宋的基礎(chǔ)上取得了一定的發(fā)展。那么,南宋時(shí)期的歷法推算方法和推算精度相比過(guò)去有著怎樣的提升或變化呢?本文將對(duì)南宋歷法中的交食推步和計(jì)算精度問(wèn)題展開(kāi)討論。

1　南宋歷法中的交食計(jì)算方法

南宋自1135年至1279年共行用11部歷法。其中《紀(jì)元?dú)v》是北宋制定的歷法,《本天》、《淳祐》和《會(huì)天》三歷目前已經(jīng)失傳,這樣,《宋史》在南宋部分只記載了其余7部歷法的內(nèi)容。《宋史·律歷志》將《統(tǒng)元》、《乾道》、《淳熙》和《會(huì)元》四歷記載在一起,將《統(tǒng)天》、《開(kāi)禧》和《會(huì)天》三歷記載在一起。然而,正史僅是記載了這些歷法的常數(shù)、表格和推算的步驟名稱,對(duì)推算步驟的具體術(shù)文則略去不記,僅是在每一部分的結(jié)尾注明“法同前歷,此不載”[1]。這樣,我們現(xiàn)在是不知道這些歷法的推算算法的。

1.1　南宋歷法中交食算法的推算術(shù)文

一般認(rèn)為,南宋的歷法多是根據(jù)北宋歷法修訂而來(lái)。雖然正史未載其術(shù)文,但根據(jù)“法同前歷,此不載”,可知這些歷法的推算方法與前面某部歷法是一樣的。它們僅是基本天文常數(shù)存在差異,修史者為避免重復(fù),略去不記。問(wèn)題是,這里的“前歷”指的是哪部歷法呢?一些學(xué)者認(rèn)為“前歷”當(dāng)指北宋最后一部歷法《紀(jì)元?dú)v》,因這在時(shí)間上是貼合實(shí)際的[2-4]。

然而,就交食計(jì)算而言,當(dāng)我們?cè)敳椤督y(tǒng)元?dú)v》等4部歷法的推算步驟時(shí),發(fā)現(xiàn)它們的某些步驟與《紀(jì)元?dú)v》不一致?！督y(tǒng)元?dú)v》在“求入交常日”后有“求朔望加時(shí)入交定日”而《紀(jì)元?dú)v》則無(wú)此項(xiàng);《紀(jì)元?dú)v》在求氣、刻差之后有“求朔入交定日”和“求望入交定日”而《統(tǒng)元?dú)v》則無(wú)。根據(jù)《紀(jì)元?dú)v》算法,“入交定日”一定是在視差修正之后求得,因此,兩者的“入交定日”所指有異[5]。在比較《統(tǒng)天歷》等3部歷法的推算步驟時(shí),我們發(fā)現(xiàn)它們?cè)谝暡钚拚坝小扒笕虢粩?shù)、常、望定日”,而在視差修正后只有求“朔入交定日”,它們的步驟與《紀(jì)元?dú)v》的相近。由于交食計(jì)算要用到每日的太陽(yáng)視赤緯,我們查看南宋歷法晷影漏刻部分的常數(shù)和推算過(guò)程時(shí),發(fā)現(xiàn)《統(tǒng)元》四歷是利用消息定數(shù)來(lái)計(jì)算,這與《崇天歷》的過(guò)程相同;而《統(tǒng)天》三歷直接根據(jù)每日午中的限度去計(jì)算,這與《紀(jì)元?dú)v》的相同[6]。

《宋史·律歷志》記載“《統(tǒng)元?dú)v》頒行雖久,有司不善用之,暗用《紀(jì)元》法推步,而以《統(tǒng)元》為名。乾道二年,日官以《紀(jì)元?dú)v》推三年丁亥歲十一月甲子朔,將頒行,裴伯壽詣禮部陳《統(tǒng)元?dú)v》法當(dāng)進(jìn)作乙丑朔,于是依《統(tǒng)元?dú)v》法正之?！?文獻(xiàn)[1],2870頁(yè))那么,《統(tǒng)元》和《紀(jì)元》的常數(shù)及計(jì)算的復(fù)雜性差不多,如果兩者的方法一致,有司為什么還要暗用《紀(jì)元》呢。

以上這些,都說(shuō)明,《統(tǒng)元?dú)v》等4部歷法與《紀(jì)元?dú)v》的算法是不同的,而《統(tǒng)天歷》等3部歷法與《紀(jì)元?dú)v》可能相同。北宋影響最大,且算法最成熟的是《崇天歷》和《紀(jì)元?dú)v》?！冻缣鞖v》前后行用40多年,其后《觀天歷》的交食算法也完全與它相同。比較《統(tǒng)元?dú)v》,我們發(fā)現(xiàn)其交食推算步驟也與《崇天歷》一致。這樣,我們猜測(cè)《統(tǒng)元?dú)v》記載中的“前歷”應(yīng)該是《崇天歷》*宋初三歷無(wú)論行文描述還是推算過(guò)程都不成熟,加之時(shí)間相隔太久,南宋的歷家們不可能依其為模板;雖然周琮自認(rèn)為《明天歷》的推步和數(shù)據(jù)都很優(yōu)秀,但其精度卻沒(méi)有想象的高,而其后的《觀天歷》大部分算法是延用《崇天歷》的算法;《奉元?dú)v》和《占天歷》南宋時(shí)已經(jīng)失傳,《觀天歷》與《崇天歷》幾乎相同。這樣,南宋歷法可能采用的算法只有《崇天歷》和《紀(jì)元?dú)v》的。。

1.2　《宋史》中交食推算結(jié)果的分析

為了進(jìn)一步證實(shí)猜測(cè),我們將南宋歷法的常數(shù)分別代入《崇天歷》和《紀(jì)元?dú)v》的交食算法中，分析它們推算結(jié)果的異同。《宋史》記載，在歷法改革或評(píng)議時(shí),歷算家為了說(shuō)明某部歷法的優(yōu)劣,有用其推算交食的情況。如果這些結(jié)果與我們使用《崇天歷》算法所得結(jié)果相一致,則可以進(jìn)一步證明這部歷法使用了《崇天歷》的交食推算方法,對(duì)于《紀(jì)元?dú)v》,情況一樣。下面,我們將對(duì)每一條記錄進(jìn)行分析。

a. 《統(tǒng)元?dú)v》編制時(shí),《宋史》記載“紹興五年,日官言,正月朔旦日食九分半,虧在辰正。常州布衣陳得一言:當(dāng)食八分半,虧在巳初。其言卒驗(yàn)”(文獻(xiàn)[1],2869頁(yè))。陳得一當(dāng)是用他所編制的《統(tǒng)元?dú)v》推算這次日食,初虧在巳初,按現(xiàn)在時(shí)間大約上午9∶00至9∶14。我們將《統(tǒng)元?dú)v》的常數(shù)代入《崇天歷》重新計(jì)算的結(jié)果是食分8.50分,初虧時(shí)刻是9∶01;而代入《紀(jì)元?dú)v》的結(jié)果是食分8.87分,初虧時(shí)刻是8∶45[7-9]*因古代日月食的過(guò)程計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜,限于篇幅,本文不可能將計(jì)算過(guò)程和中間結(jié)果列出,相關(guān)計(jì)算可參考文獻(xiàn)[7-9]。。史料結(jié)果顯然與用《崇天歷》推算的結(jié)果一致,而與《紀(jì)元?dú)v》的有一定差異。

b. 在《乾道歷》制定中,史載“(孝榮)又定去年(乾道三年)二月望夜二更五點(diǎn)月食九分以上,出地復(fù)滿。臣嘗言于宰相,是月之食當(dāng)食既出地,《紀(jì)元?dú)v》亦食既出地,生光在戌初三刻,復(fù)滿在戌正三刻。是夕,月出地時(shí)有微云,至昏時(shí)見(jiàn)月已食既,至戌初三刻果生光,即食既出地可知;復(fù)滿在戌正三刻,時(shí)二更二點(diǎn):臣所言卒驗(yàn)。孝榮言見(jiàn)行歷交食先天六刻,今所定月食復(fù)滿,乃后天四刻,新歷謬誤為甚?！?(文獻(xiàn)[1],2879頁(yè))劉孝榮應(yīng)當(dāng)使用他所制定的《乾道歷》推算,月食食分9分以上,復(fù)滿時(shí)刻比真實(shí)晚了4刻(大約1小時(shí)),實(shí)際月食復(fù)滿在戌正三刻(大約20∶43),《乾道歷》計(jì)算結(jié)果大約是21∶43。我們回推的結(jié)果是:使用《崇天歷》算法復(fù)滿21∶39,使用《紀(jì)元?dú)v》算法復(fù)滿是20∶05。由此可見(jiàn),《乾道歷》應(yīng)該使用了《崇天歷》的月食算法。

c. 史載《乾道歷》推算日食“……而太史局丞、同判太史局荊大聲言《乾道歷》加時(shí)系不及進(jìn)限四十二分,定今年(乾道九年)五月朔日食虧初在午時(shí)一刻。今測(cè)驗(yàn)日食虧初在午時(shí)五刻半,《乾道歷》加時(shí)弱四百五十分……”(文獻(xiàn)[1],2882頁(yè))以《乾道歷》推算乾道九年的日食虧初時(shí)刻午時(shí)一刻,約11∶14分。用《崇天歷》算法推算得11∶12分,《紀(jì)元?dú)v》推算得11∶08,兩者都很接近,但以《崇天歷》算法更接近史載記錄值。

d. 關(guān)于《乾道歷》,還有“且定是年(乾道四年)四月戊辰朔日食一分,日官言食二分,伯壽并非之,既而精明不食。”(文獻(xiàn)[1],2871頁(yè))以《乾道歷》推算乾道三年的日食是一分,用《崇天歷》算法推算得2.67分,《紀(jì)元?dú)v》法算得3.48分,雖然都與記錄不很吻合,但《崇天歷》推算的更接近些。

e. 淳熙歷的推算,史載“以《淳熙歷》推之,九月望夜,月食大分五、小分二十六,帶入漸進(jìn)大分三、小分四十七;虧初在東北,卯初三刻,系攢點(diǎn)九刻后;食甚在正北,卯正三刻后;復(fù)滿在西北,辰正初刻后,并在晝?！?文獻(xiàn)[1],2886頁(yè))表明使用《淳熙歷》推算淳熙十二年九月的月食,最大食分5.26分,日出帶食分?jǐn)?shù)是3.47分,初虧時(shí)刻是5∶43,食甚時(shí)刻在6∶43以后,復(fù)滿在8∶00以后。我們復(fù)原的結(jié)果是食分5.25分,日出帶食分?jǐn)?shù)4.79分,這個(gè)值略大;用《崇天歷》算法推算得,初虧時(shí)刻是5∶30,食甚是6∶35,復(fù)滿是7∶39,《紀(jì)元?dú)v》法算得初虧時(shí)刻是5∶14,食甚是6∶23,復(fù)滿是7∶31,雖然都與記錄不很吻合,但《崇天歷》推算的更接近些。

f. 史載“五年,降算造成永祥一官,以元算日食未初三刻,今未正四刻,元算虧八分,今止六分故也?！?文獻(xiàn)[1],2896頁(yè))記載使用《開(kāi)禧歷》推算淳祐五年日食食分8分,食甚未初三刻,約13∶43分。我們使用《紀(jì)元?dú)v》算法推得食分7.94分,食甚13∶59,與史載記錄基本吻合;使用《崇天歷》算法推算食分9.35分,食甚14∶01,食甚差不多,而食分差了很多。

我們將各條記錄重新計(jì)算的結(jié)果、史料記載的結(jié)果及它們之間的對(duì)比情況列于表1中。

以上的分析我們不難得到,《統(tǒng)元》四歷的交食推算應(yīng)該使用了《崇天歷》的計(jì)算方法,而《開(kāi)禧歷》則使用了《紀(jì)元?dú)v》的方法。當(dāng)我們考察《宋史·天文志》時(shí),特別留意那些“當(dāng)食不食”或“陰云不見(jiàn)”的情形,因?yàn)檫@很有可能是用歷法推算了某日有交食,但當(dāng)時(shí)并沒(méi)有發(fā)生日食。如果當(dāng)天正好有陰雨,無(wú)論真實(shí)情況是否發(fā)生交食,都會(huì)記錄“陰云不見(jiàn)”字樣?！端问贰ぬ煳闹尽份d有這樣的日食記錄二十余次,根據(jù)歷法行用年代,我們分別依照《紀(jì)元?dú)v》和《崇天歷》的算法進(jìn)行推算,結(jié)果除去一次記錄外,兩者的推算并沒(méi)有差異。但唯一的不同是嘉定四年十一月(1211年12月7日)的那次日食,《天文志》載“日當(dāng)食,太史言不見(jiàn)虧分”[10]。當(dāng)時(shí)行用《開(kāi)禧歷》,使用《紀(jì)元?dú)v》算法推算當(dāng)食1.36分,而《崇天歷》算法則不能推算出日食。這也是《開(kāi)禧歷》使用了《紀(jì)元?dú)v》算法的又一個(gè)佐證。

2　南宋歷法的交食計(jì)算精度

已經(jīng)知道了南宋現(xiàn)存的七部歷法的交食計(jì)算過(guò)程,接下來(lái),我們考察各部歷法的交食計(jì)算精度。為了計(jì)算方便,我們將這些歷法的交食算法編寫(xiě)成計(jì)算機(jī)程序,利用程序快速計(jì)算某年月的交食情況。本文的所有計(jì)算結(jié)果都是依Visual Basic 9.0語(yǔ)言所編寫(xiě)的程序計(jì)算的。我們選擇以某部歷法行用初年為準(zhǔn),向前和向后各推100年,計(jì)算這200年間的所有可見(jiàn)日食,得到每次日食的食甚時(shí)刻和食分大小。將所得結(jié)果與現(xiàn)代天文學(xué)所計(jì)算的當(dāng)時(shí)真實(shí)日食結(jié)果做比較,并選取比較結(jié)果差值的絕對(duì)值平均值、最大值等幾個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)南宋歷法日食精度*中國(guó)古代歷法中,月食的食甚和食分計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單,但中國(guó)古代月食計(jì)算中不區(qū)分半影月食,這使得在與現(xiàn)代結(jié)果的比較上存在困難,本文暫不討論月食的精度。。由于食甚結(jié)果受經(jīng)度影響,食分結(jié)果與緯度有關(guān),為了使計(jì)算結(jié)果更為客觀,現(xiàn)代結(jié)果的選取上,《統(tǒng)元》等4歷選擇宋岳臺(tái)(開(kāi)封)的可見(jiàn)日食,《統(tǒng)天》等3歷選擇宋臨安(杭州)的可見(jiàn)日食*《統(tǒng)元》等4歷常數(shù)來(lái)源于《紀(jì)元?dú)v》在岳臺(tái)的觀測(cè)數(shù)據(jù),《統(tǒng)天》等3歷重新在臨安測(cè)得了常數(shù)。。我們將比較的精度結(jié)果列于表2中。

表1　《宋史》中所載歷法推算記錄與復(fù)原計(jì)算結(jié)果比較表Tab.1　Comparison of Recovered Results and Calendar Records in Song History

附注1:①“歷推值”表示某部歷法用計(jì)算機(jī)程序計(jì)算的結(jié)果值；“記錄值”指《宋史》中記載的歷法推算記錄換算成的現(xiàn)代時(shí)間表示，其中一刻按14.4分鐘計(jì)算；“現(xiàn)代值”指現(xiàn)代天文學(xué)回推的當(dāng)時(shí)真時(shí)的天象結(jié)果值；②“統(tǒng)元?dú)vC”的歷推值指按照《統(tǒng)元?dú)v》的天文常數(shù)和《崇天歷》的算法推算得到的結(jié)果，“統(tǒng)元?dú)vJ”的歷推值指按照《統(tǒng)元?dú)v》的天文常數(shù)和《紀(jì)元?dú)v》的算法推算得到的結(jié)果；其他歷法與此同；③“食分”的歷法推算結(jié)果按古代的傳統(tǒng)取作以10分為限(月全食以15為準(zhǔn))，現(xiàn)代值是現(xiàn)代計(jì)算的食分乘以10所得的結(jié)果。

比較結(jié)果表明,南宋歷法推算日食的客觀精度平均值是食甚0.5759小時(shí),大約35分鐘,食分1.54分。按照周琮給出的“校日月交食,若一分二刻以下為親,二分四刻以下為近,三分五刻以上為遠(yuǎn)”(文獻(xiàn)[1],2688頁(yè))的交食標(biāo)準(zhǔn),南宋交食計(jì)算整體上滿足當(dāng)時(shí)的要求。當(dāng)然,這個(gè)結(jié)果是依照歷法計(jì)算出來(lái)的可以對(duì)比的數(shù)據(jù)得到的,也就是只有當(dāng)客觀上有交食發(fā)生而歷法也能計(jì)算出來(lái)的情況下得到的。然而,有些結(jié)果是歷法計(jì)算出來(lái)有日食而實(shí)際上并未發(fā)生或是在觀測(cè)地點(diǎn)并不可見(jiàn),我們稱為“當(dāng)食不食”;還有些是真實(shí)發(fā)生了日食,歷法卻計(jì)算不出來(lái),我們稱“不當(dāng)食而食”。顯然,能否確定有無(wú)交食發(fā)生才是歷法交食計(jì)算優(yōu)劣的首要標(biāo)準(zhǔn),這直接關(guān)系到是否要進(jìn)行有關(guān)祭祀等活動(dòng)的安排。無(wú)論食分大小,只要有交食,都是極其重要的事情[11]。七部歷法平均可比較的次數(shù)是65次,而“當(dāng)食不食”就有28次,還有4次“不當(dāng)食而食”,這樣的結(jié)果意味著,歷法將有三分之一的推算都不準(zhǔn)確。此外,食甚誤差大于1小時(shí)的個(gè)數(shù)10次,食分誤差大于2分的16次，此時(shí)依照周琮的標(biāo)準(zhǔn)看,南宋歷法的推算可能有一半都是不合標(biāo)準(zhǔn)的。

表2　宋代歷法日食計(jì)算精度比較表Tab.2　Comparison of Computational Accuracy of Solar Eclipse in Song History

注:表中“日食個(gè)數(shù)”是指歷法能推算出并且真實(shí)存在的日食,是可以比較的日食?！笆成蹙怠焙汀笆成踝钪怠钡膯挝皇切r(shí),“食分均值”和“食分最值”的單位是分。

這些失誤推算中,“當(dāng)食不食”的占絕大多數(shù),而“不當(dāng)食而食”的基本都是食分小于2的小食分日食,這可能是由于中國(guó)傳統(tǒng)歷法所使用的必偏食限略大。在當(dāng)時(shí)的統(tǒng)治者和造歷者看來(lái),“當(dāng)食不食”提前準(zhǔn)備總比突然出現(xiàn)日食而事先并沒(méi)有計(jì)算出來(lái)更能接受些[12-13]。這也可能是《天文志》中有很多記錄是“當(dāng)食不食”,而未記載有“不當(dāng)食而食”的原因吧。

就具體每一步歷法而言,推算失誤比例最大的是《統(tǒng)元?dú)v》,36次,最好的是《成天歷》,27次,但相差不是很大。而推算精度方面,食甚誤差最大的《會(huì)元?dú)v》超過(guò)0.8小時(shí),最小的《開(kāi)禧歷》僅有0.4小時(shí),差距明顯;食分誤差最大的《統(tǒng)元?dú)v》超過(guò)2分,最小的《淳熙歷》僅有1.3分。各部歷法的精度變化趨勢(shì)如圖1所示。無(wú)論食分還是食甚,《統(tǒng)天》等三歷的推算明顯好于《統(tǒng)元》等四歷,尤其是《開(kāi)禧歷》,在8項(xiàng)指標(biāo)中有6項(xiàng)都是所有歷法中最好的,幾乎達(dá)到了《紀(jì)元?dú)v》的日食推算水平。雖然《統(tǒng)天歷》之后的歷法使用了更為精確的基本天文常數(shù),但《統(tǒng)天》等歷法使用了較《崇天歷》更優(yōu)秀的《紀(jì)元?dú)v》交食算法,對(duì)計(jì)算精度的提高起到了更重要的作用。

圖1　南宋歷法日食計(jì)算精度圖Fig.1　Computational Accuracy of Solar Eclipse in Calendars of Southern Song Dynasty

《崇天歷》已經(jīng)給出了日食食甚算法的完整模型,幾乎被后來(lái)的所有歷法所采用。但是《崇天歷》的食分和食限算法還有一定缺陷,由于其日食的判斷采用“內(nèi)外道”法,使得某些日食推算不準(zhǔn)。而《紀(jì)元?dú)v》采用“入交定日”來(lái)判斷交食,食分算法更為合理[14]。這樣,食分計(jì)算上《崇天歷》算法的效果不如《紀(jì)元?dú)v》好就是很容易解釋的了。《崇天歷》的時(shí)差算法直接以定朔時(shí)刻的時(shí)角而不是視食甚時(shí)刻的時(shí)角入算,使得其食甚時(shí)刻的計(jì)算精度仍是不如《紀(jì)元?dú)v》的算法優(yōu)越[15]。由此看來(lái),《紀(jì)元?dú)v》算法下的歷法就要比《崇天歷》的能更好的滿足當(dāng)時(shí)人們的需要[11]。

3　結(jié)　語(yǔ)

中國(guó)傳統(tǒng)歷法完整或接近完整地保存至今的不足30部,對(duì)那些殘缺的歷法進(jìn)行修補(bǔ)和修復(fù)就是很有價(jià)值的了。南宋的這七部歷法保存有大量常數(shù)和表格,保存少量或沒(méi)有術(shù)文。相對(duì)那些僅記載若干常數(shù)或是僅出現(xiàn)了名字的歷法,它們的修補(bǔ)是比較容易實(shí)現(xiàn)的。我們通過(guò)文獻(xiàn)對(duì)比,分析《紀(jì)元?dú)v》、《崇天歷》以及這七部歷法的交食算法術(shù)文,發(fā)現(xiàn)《統(tǒng)元》四歷與《崇天歷》的相似之處和《統(tǒng)天》三歷與《紀(jì)元?dú)v》的相似之處。我們根據(jù)史載的歷法推算結(jié)果,通過(guò)六條史載記錄的回推計(jì)算,證明了《統(tǒng)元》等四歷使用了《崇天歷》的交食推算方法,而《統(tǒng)天》等三歷使用了《紀(jì)元?dú)v》的交食推算方法。當(dāng)然,發(fā)掘史料中的文字性證據(jù)可以更好地為我們的結(jié)論提供佐證,這將是今后的一個(gè)工作方向。

我們將《統(tǒng)元》四歷按照《崇天歷》的算法編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序,而將《統(tǒng)天》三歷按照《紀(jì)元?dú)v》的算法編寫(xiě)程序,計(jì)算出來(lái)各部歷法行用前后各100年間的所有可見(jiàn)日食,并與真實(shí)的天象作比較,得到這些歷法的推算精度。得到的結(jié)果是,南宋歷法推算日食食甚的平均誤差0.5759小時(shí),食分誤差1.54分。然而,這些歷法,尤其是《統(tǒng)元》四歷,經(jīng)常出現(xiàn)推算失誤,有將近一半的推算達(dá)不到當(dāng)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn),又以無(wú)可見(jiàn)日食而歷法卻推出日食的情況居多。以《紀(jì)元?dú)v》算法為基礎(chǔ)的《統(tǒng)天》三歷的推算水平明顯高于以《崇天歷》算法為基礎(chǔ)的《統(tǒng)元》四歷。

南宋前期,歷法改革頻繁,歷法的討論和爭(zhēng)議也很多,到了后期,這種現(xiàn)象緩和了很多,如《開(kāi)禧歷》就行用了長(zhǎng)達(dá)45年之久,這些也可能和歷法的精度有密切聯(lián)系?！冻缣鞖v》算法精度確實(shí)不如《紀(jì)元?dú)v》算法,南宋前期的歷法家也懂得《紀(jì)元?dú)v》的推算過(guò)程,但陳得一和劉孝榮他們?yōu)槭裁催€是使用了《崇天歷》的算法?使用《紀(jì)元?dú)v》算法的《開(kāi)禧歷》推算水平是南宋最優(yōu)的,但它還是達(dá)不到《紀(jì)元?dú)v》的精度,這又是為什么呢?這些問(wèn)題也是值得思考和討論的。

參考文獻(xiàn)：

[1]脫脫,帖睦爾達(dá)世,賀惟一,等. 宋史·律歷志[M]∥歷代天文等志匯編(8) . 北京:中華書(shū)局,1976:2931,2998.

[2]唐泉. 日食與視差[M]. 北京:科學(xué)出版社,2011:253.

[3]唐泉. 中國(guó)古代日食食分算法[J]. 自然科學(xué)史研究,2005,24(1):29-44.

[4]曲安京,唐泉. 中國(guó)古代的月食時(shí)差算法[J]. 自然科學(xué)史研究,2008,27(3):301-308.

[5]曲安京. 中國(guó)數(shù)理天文學(xué)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2008:394-396.

[6]曲安京,王輝,袁敏. “消息定數(shù)”探析[J]. 自然科學(xué)史研究,2001,20(4):302-311.

[7]滕艷輝, 唐泉. 《紀(jì)元?dú)v》日食算法及精度分析[J]. 自然科學(xué)史研究,2013,32(2):140-155.

[8]滕艷輝, 王鵬云. 《紀(jì)元?dú)v》定朔算法模型及分析[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008,38(5):855-858.

[9]薄樹(shù)人. 《紀(jì)元?dú)v》解[M]∥薄樹(shù)人文集. 合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2003.

[10] 脫脫,帖睦爾達(dá)世,賀惟一等. 宋史·天文志[M]∥歷代天文等志匯編(3). 北京:中華書(shū)局,1976:931.

[11] 滕艷輝. 宋代朔潤(rùn)與交食研究[D]. 西安:西北大學(xué),2012:168.

[12] 陳美東, 中國(guó)古代的月食食限及食分計(jì)算法[J]. 自然科學(xué)史研究,1991,10(4): 297-314.

[13] 曲安京. 中國(guó)古代日食食限與食分算法[J]. 中國(guó)科技史雜志,2008,29(4):347-357.

[14] 滕艷輝. 宋代的日食食限算法[J]. 科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究,2014,31(5):78-83.

[15] 曲安京,唐泉.中國(guó)古代的日食時(shí)差算法[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,23(4):416-421.