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        基于奇異值分解的壓縮感知觀測(cè)矩陣優(yōu)化算法

        2018-04-12 07:17:13周,崔
        計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2018年2期
        關(guān)鍵詞:對(duì)角重構(gòu)閾值

        李 周,崔 琛

        (國(guó)防科技大學(xué) 電子對(duì)抗學(xué)院,合肥 230037)(*通信作者電子郵箱17756587331@163.com)

        0 引言

        壓縮感知(Compressive Sensing, CS)[1-3]在采樣率遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣率的條件下獲取信號(hào)的離散樣本,然后通過(guò)非線(xiàn)性?xún)?yōu)化算法重構(gòu)出原始信號(hào)。重構(gòu)信號(hào)所需的采樣率并不取決于信號(hào)的帶寬,而與信號(hào)的稀疏度密切相關(guān),因此CS有效降低了信號(hào)獲取、存儲(chǔ)及傳輸?shù)拇鷥r(jià),引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。

        信號(hào)的稀疏表示、觀測(cè)矩陣的構(gòu)造、重構(gòu)算法是CS理論中三個(gè)主要研究方向,其中觀測(cè)矩陣是影響壓縮感知性能的關(guān)鍵因素之一[4]。觀測(cè)矩陣構(gòu)造的目的是如何采樣得到觀測(cè)值,并能從觀測(cè)值中重構(gòu)出原始信號(hào)。文獻(xiàn)[5-7]對(duì)精確重構(gòu)所需觀測(cè)矩陣的約束條件進(jìn)行了研究:文獻(xiàn)[5]提出了零空間性質(zhì)(Null Space Property, NSP),但在存在噪聲的情況下NSP并不能保證信號(hào)的精確重構(gòu);文獻(xiàn)[6]提出了有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property, RIP),但判斷觀測(cè)矩陣是否符合RIP需要計(jì)算觀測(cè)矩陣n列中任意組合的K列,即需要計(jì)算觀測(cè)矩陣各列的組合,實(shí)際用于觀測(cè)矩陣的分析非常困難;文獻(xiàn)[7]提出了相關(guān)性的概念,其含義是觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的相關(guān)程度,通過(guò)降低相關(guān)性可以減少CS的重構(gòu)誤差和精確重構(gòu)原始信號(hào)所需的觀測(cè)數(shù)。

        文獻(xiàn)[7]通過(guò)線(xiàn)性收縮Gram矩陣中絕對(duì)值大于限定閾值的非對(duì)角元來(lái)降低相關(guān)性,取得了較好的實(shí)驗(yàn)效果。但是,該算法在收縮Gram矩陣時(shí)會(huì)改變矩陣的秩[8-9];同時(shí)在求解觀測(cè)矩陣時(shí)需要求解稀疏基的逆矩陣,但由于稀疏基可能奇異,此時(shí)需要利用稀疏基的Moore-Penrose廣義偽逆來(lái)求解新的觀測(cè)矩陣,造成了算法中計(jì)算量大且精度受限的問(wèn)題[4,8]。文獻(xiàn)[9]延續(xù)了文獻(xiàn)[7]之前的思路,不同之處在于增加了一個(gè)保留前一次矩陣優(yōu)化信息的操作,其目的在于使每一次矩陣更新的變化量減少,該算法繼承了文獻(xiàn)[7]的缺點(diǎn),同時(shí)需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)手動(dòng)設(shè)置一個(gè)權(quán)重系數(shù),用來(lái)衡量本次矩陣優(yōu)化結(jié)果與前一次矩陣優(yōu)化結(jié)果之間的比重。

        文獻(xiàn)[10]提出將Gram矩陣非對(duì)角元素的平方和作為整體互相關(guān)系數(shù),用來(lái)表示觀測(cè)矩陣的整體性能;在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[11]引入了α緊框架的概念,平均化Gram矩陣的非零特征值,減小了整體相關(guān)系數(shù)。但在由Gram矩陣求解觀測(cè)矩陣時(shí),文獻(xiàn)[10-11]仍采用了求稀疏基Moore-Penrose廣義偽逆矩陣的做法,同樣造成了算法中計(jì)算量大且精度受限的問(wèn)題。

        針對(duì)現(xiàn)有算法從優(yōu)化后的Gram矩陣求解觀測(cè)矩陣時(shí)出現(xiàn)的相關(guān)系數(shù)較大與需要求廣義偽逆矩陣的問(wèn)題,本文借鑒了K-SVD(K-Singular Value Decomposition)算法中逐行更新優(yōu)化目標(biāo)矩陣的思想,在利用現(xiàn)有算法得到優(yōu)化后的Gram矩陣的基礎(chǔ)上,提出了一種基于奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)的觀測(cè)矩陣優(yōu)化算法:該算法通過(guò)求解等價(jià)變換后的目標(biāo)函數(shù)對(duì)觀測(cè)矩陣行向量的導(dǎo)數(shù)得到目標(biāo)函數(shù)取極值時(shí)行向量的值,并通過(guò)對(duì)誤差矩陣進(jìn)行奇異值分解在上述行向量的值中選出使得目標(biāo)函數(shù)取最值時(shí)行向量的解析式,之后在每輪迭代中對(duì)觀測(cè)矩陣的每一行分別使用上述的行向量解析式進(jìn)行優(yōu)化。

        1 觀測(cè)矩陣相關(guān)性和相應(yīng)算法

        1.1 觀測(cè)矩陣相關(guān)性

        假定離散信號(hào)r∈Rl×h,若r中最多含有K個(gè)非零值且K≤h,那么r就稱(chēng)作K-稀疏的。將K-稀疏的信號(hào)集合記為:

        ΛK={r:‖r‖0≤K}

        (1)

        若r本身為非稀疏的,但可以經(jīng)過(guò)一個(gè)稀疏基Ψ作如下變換:

        r=Ψs

        (2)

        如果變換后的s符合‖s‖0≤K≤h,即r可以用已知的稀疏基中少量的元素線(xiàn)性表示,那么r也被稱(chēng)作K-稀疏的。

        CS理論的測(cè)量過(guò)程[1]可以表示為:

        y=Φr=ΦΨs=Xs

        (3)

        其中:r為原始信號(hào),Ψ∈Rn×h為稀疏基,s為變換后的稀疏信號(hào),Φ∈Rm×n為觀測(cè)矩陣,XΦΨ稱(chēng)為感知矩陣。

        對(duì)于任意兩個(gè)不同的稀疏信號(hào)r1,r2∈ΛK,必須滿(mǎn)足Xr1≠Xr2,否則僅僅根據(jù)觀測(cè)值無(wú)法區(qū)分r1,r2,因此感知矩陣需要滿(mǎn)足一定的條件:對(duì)于任意K-稀疏的信號(hào),只要其稀疏度K滿(mǎn)足下式,信號(hào)即可準(zhǔn)確地恢復(fù)出來(lái)[12]。

        (4)

        其中μ(X)指X任意兩列xi和xj之間的內(nèi)積絕對(duì)值的最大值[7],計(jì)算公式如下:

        (5)

        然而μ(X)僅表示觀測(cè)矩陣與稀疏基之間列向量最大的相關(guān)性,是一種局部的相關(guān)性,因?yàn)樵赬只有某兩列的相關(guān)性比較大而其余各列之間相關(guān)性比較小的情況下,就會(huì)出現(xiàn)相關(guān)系數(shù)μ(X)很大而感知矩陣X的性能并不差的情況。

        因此文獻(xiàn)[7]提出了表示總體相關(guān)性的t-平均相關(guān)性μt-av,定義為X所有列向量?jī)蓛芍g的內(nèi)積絕對(duì)值中大于限定閾值t的部分的平均值,或者是X所有列向量?jī)蓛芍g的內(nèi)積絕對(duì)值中最大的t%部分的均值,其定義式如下:

        (6)

        其中:gij為Gram矩陣G=XTX中的元素,gij為矩陣X的第i列xi與第j列xj的內(nèi)積,Nav為Hav中的元素?cái)?shù),即Gram矩陣非對(duì)角元|gij|大于t的數(shù)目或者所有|gij|中最大的t%部分的元素?cái)?shù)目。僅闡述μt-av為X任意兩列內(nèi)積絕對(duì)值大于t的平均值時(shí)Hav的定義:

        Hav={(i,j):gij>t,i≠j}

        (7)

        1.2 觀測(cè)矩陣優(yōu)化的相關(guān)算法及問(wèn)題分析

        為降低X任意兩列的相關(guān)性,即減少Gram矩陣非對(duì)角元素的值,文獻(xiàn)[7]采用如下閾值函數(shù)對(duì)Gram矩陣G中絕對(duì)值大于限定閾值的非對(duì)角元進(jìn)行線(xiàn)性收縮:

        (8)

        其中:t為閾值,γ為收縮因子。

        (9)

        其中:A=ΦΨ。在Ψ逆矩陣存在時(shí),Φ=AΨ-1;但在稀疏基Ψ可能奇異導(dǎo)致其逆矩陣不存在時(shí),需要利用稀疏基的Moore-Penrose廣義偽逆來(lái)求解觀測(cè)矩陣Φ=AΨ+,從而帶來(lái)計(jì)算量與精度的問(wèn)題[4,8]。

        文獻(xiàn)[6]的閾值函數(shù)只能使局部比較大的非對(duì)角元素減小。為整體減小Gram矩陣中的非對(duì)角元素,文獻(xiàn)[11]通過(guò)平均化Gram矩陣的非零特征值,使得矩陣非零特征值的平方和減小,降低了整體相關(guān)系數(shù)。但在由Gram矩陣求解觀測(cè)矩陣時(shí),仍然需要求解稀疏基的廣義逆矩陣,故存在著與文獻(xiàn)[7]相同的問(wèn)題[4,8]。

        1.3 問(wèn)題的解決思路

        在現(xiàn)有算法優(yōu)化Gram矩陣后,本文借鑒了文獻(xiàn)[13]提出的K-SVD算法中逐行優(yōu)化目標(biāo)矩陣的思想從優(yōu)化后的Gram矩陣求解觀測(cè)矩陣。

        K-SVD是一種通過(guò)逐行優(yōu)化字典矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示的方法,具體目標(biāo)為:

        (10)

        其中:Y為要表示的信號(hào),D為所求的字典,X為稀疏矩陣。X與Y按列對(duì)應(yīng),表示D中的元素以xi為系數(shù)線(xiàn)性組合就可得到Y(jié),而K-SVD的目的是在X和Y已知的情況下更新字典D滿(mǎn)足上述條件。

        (11)

        式(11)可以看作把第k個(gè)分量剝離后表達(dá)式會(huì)產(chǎn)生空洞,目的是找到一個(gè)新向量以更好地填補(bǔ)這個(gè)洞:假設(shè)除第k項(xiàng)外其余項(xiàng)是固定的,之后對(duì)Ek進(jìn)行奇異值分解得到Ek=UΛVT,其中U和V的列矢量均是正交基,Λ是對(duì)角矩陣。若Λ的對(duì)角元素從大到小排列,則表示Ek的能量分量主軸在相應(yīng)幾個(gè)正交方向上由大到小分配,取U的第一個(gè)列向量來(lái)表示di,取V的第一個(gè)列向量與Λ的第一個(gè)元素的乘積表示xi,至此完成了字典一個(gè)條目的更新。

        2 觀測(cè)矩陣的優(yōu)化算法

        在利用現(xiàn)有算法得到優(yōu)化后的Gram矩陣的基礎(chǔ)上,借鑒K-SVD算法中逐行更新優(yōu)化目標(biāo)矩陣的思想,本章利用稀疏基的奇異值分解對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)變換,通過(guò)求解等價(jià)變換后的目標(biāo)函數(shù)對(duì)觀測(cè)矩陣行向量的導(dǎo)數(shù)得到目標(biāo)函數(shù)取極值時(shí)行向量的值,并通過(guò)對(duì)誤差矩陣進(jìn)行奇異值分解在上述行向量的值中選出使得目標(biāo)函數(shù)取最值時(shí)行向量的解析式,最后利用所求出的行向量解析式逐行迭代優(yōu)化觀測(cè)矩陣。

        2.1 觀測(cè)矩陣行向量的優(yōu)化

        (12)

        假設(shè)稀疏基Ψ的秩為NΨ,其奇異值分解為:

        (13)

        將奇異值分解式代入目標(biāo)函數(shù)中,可得:

        (14)

        根據(jù)F范數(shù)的酉不變性,在式(14)中左乘VΨT,右乘VΨ,同時(shí)設(shè)ΦUΨ其中為的前NΨ列。設(shè)其中為的前NΨ行與前NΨ列,將和代入式(14)可得:

        (15)

        由式(15)易得:

        (16)

        (17)

        (18)

        式(18)對(duì)ωj求導(dǎo)可得:

        (19)

        導(dǎo)數(shù)置0便可得到一系列極值點(diǎn):

        (20)

        易得:

        (21)

        (22)

        2.2 觀測(cè)矩陣的迭代優(yōu)化算法

        在現(xiàn)有算法得到優(yōu)化后的Gram矩陣的基礎(chǔ)上,本小節(jié)利用2.1節(jié)求出的觀測(cè)矩陣行向量的解析式,采用逐行更新的方法優(yōu)化觀測(cè)矩陣。

        輸入初始觀測(cè)矩陣Φ∈Rm×n,離散傅里葉變換基Ψ∈Rn×h,迭代次數(shù)Iter,退出閾值μ0;

        輸出觀測(cè)矩陣。

        fork=1:Iter

        1)

        2)

        forj=1:m

        end for

        3)

        4)

        計(jì)算,若μt-av與上一輪迭代的μt-av之差小于μ0則退出循環(huán),否則轉(zhuǎn)至1)繼續(xù)循環(huán)

        end for

        3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

        本文在Matlab平臺(tái)上對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),仿真選擇高斯隨機(jī)矩陣作為初始觀測(cè)矩陣,離散傅里葉變換基作為稀疏基,比較文獻(xiàn)[7]所提的算法CSElad、文獻(xiàn)[11]所提的算法CSTsiligianni和經(jīng)文獻(xiàn)[11]中的方法優(yōu)化Gram矩陣后使用本文所提的算法CSImproved-Tsiligianni在相關(guān)性、重構(gòu)誤差和運(yùn)行時(shí)間三方面的性能。

        仿真中相關(guān)參數(shù)如下:m=30,n=l=100,稀疏度K=10,迭代次數(shù)Iter=100。Gram矩陣收縮變換時(shí)非對(duì)角線(xiàn)的限定閾值t=30%,收縮因子γ=0.5,CSImproved-Tsiligianni的退出閾值μ0=10-2。為減少隨機(jī)性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響,每次仿真均為1 000次的蒙特卡羅仿真。

        3.1 相關(guān)性

        仿真實(shí)驗(yàn)一 :CSElad、CSTsiligianni和CSImproved-Tsiligianni都是迭代進(jìn)行的算法,去除改進(jìn)算法第四步迭代退出的步驟,將三種算法每次迭代時(shí)Gram矩陣的t-平均相關(guān)性μt-av進(jìn)行對(duì)比,可以看出在各個(gè)算法迭代時(shí)t-平均相關(guān)性的變化趨勢(shì),進(jìn)而對(duì)比出三種算法在t-平均相關(guān)性這一方面的優(yōu)劣性。t-平均相關(guān)性μt-av中的參數(shù)t=20%,其含義是Gram矩陣非對(duì)角元中最大的20%部分的均值。

        圖1 不同算法的μt-av隨迭代的變化Fig. 1 Changes in μt-av of different algorithms with iterations

        由圖1可知,隨著迭代的進(jìn)行,CSImproved-Tsiligianni的μt-av逐漸減小而趨于穩(wěn)定,而CSElad和CSTsiligianni的μt-av變化范圍較大;同時(shí),改進(jìn)算法的μt-av比改進(jìn)之前的算法小,這是由于改進(jìn)算法利用優(yōu)化后的觀測(cè)矩陣行向量的解析式逐行優(yōu)化觀測(cè)矩陣。

        3.2 重構(gòu)誤差

        (23)

        仿真實(shí)驗(yàn)二:觀測(cè)次數(shù)m對(duì)壓縮感知的重構(gòu)誤差的影響。仿真了觀測(cè)次數(shù)m從25增加到45時(shí)三種算法重構(gòu)誤差的變化情況,如圖2所示??梢钥闯觯诮o定信號(hào)長(zhǎng)度和稀疏度的前提下,m越大,重構(gòu)誤差越??;m越小,重構(gòu)誤差越大。

        圖2 觀測(cè)次數(shù)變化時(shí)三種算法的MSE變化情況Fig. 2 Changes in MSE of three algorithms with observation number

        仿真實(shí)驗(yàn)三:稀疏度K對(duì)算法的重構(gòu)性能的影響。為了得出稀疏度K對(duì)各個(gè)算法重構(gòu)性能的影響,仿真稀疏度K由10變化到20時(shí)三種算法的MSE的變化情況,如圖3所示??梢钥闯?,在給定觀測(cè)次數(shù)和信號(hào)長(zhǎng)度的前提下,稀疏度越高,重構(gòu)誤差越大。

        圖3 稀疏度變化時(shí)三種算法的MSE變化情況Fig. 3 Changes in MSE of three algorithms with signal’s sparsity

        由仿真實(shí)驗(yàn)二與三可知在K或m變化時(shí)CSImproved-Tsiligianni的MSE小于CSElad和CSTsiligianni,這是由于CSImproved-Tsiligianni產(chǎn)生的觀測(cè)矩陣與稀疏基的相關(guān)性小于CSElad和CSTsiligianni,可以更好地保持不同K稀疏向量之間的距離。

        3.3 運(yùn)行時(shí)間

        為了研究本文所提算法的復(fù)雜度,該仿真實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)CSImproved-Tsiligianni優(yōu)化觀測(cè)矩陣所需的運(yùn)行時(shí)間,并與CSElad和CSTsiligianni的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行比較。雖然算法的運(yùn)行時(shí)間不能?chē)?yán)格地定義算法復(fù)雜度,但仍可以在一定程度上對(duì)算法的復(fù)雜度作出描述。仿真環(huán)境為2.53 GHz英特爾i5四核處理器、4 GB內(nèi)存Windows 10系統(tǒng)下的Matlab R2014a。圖4給出了各算法在信號(hào)長(zhǎng)度l和觀測(cè)次數(shù)m變化時(shí)相應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間。

        圖4 三種算法的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Fig. 4 Running time comparison of three algorithms

        由圖4可知信號(hào)長(zhǎng)度和觀測(cè)次數(shù)增加時(shí)算法的運(yùn)行時(shí)間隨之增加,其中CSElad和CSTsiligianni的運(yùn)行時(shí)間小于CSImproved-Tsiligianni的運(yùn)行時(shí)間,這是因?yàn)镃SImproved-Tsiligianni在優(yōu)化觀測(cè)矩陣時(shí)對(duì)每一行均采用奇異值分解來(lái)求解優(yōu)化后的行向量,而奇異值分解耗時(shí)是較長(zhǎng)的。不過(guò)相對(duì)于在相關(guān)性與重構(gòu)誤差方面的優(yōu)勢(shì)而言,CSImproved-Tsiligianni增加的運(yùn)行時(shí)間還是可以接受的。

        4 結(jié)語(yǔ)

        本文對(duì)壓縮感知中觀測(cè)矩陣的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究,借鑒K-SVD算法中逐行更新目標(biāo)矩陣的思想,在現(xiàn)有算法得到優(yōu)化后的Gram矩陣基礎(chǔ)上,提出了一種基于奇異值分解的觀測(cè)矩陣優(yōu)化算法。仿真結(jié)果表明:在可接受的運(yùn)算量下,本文所提算法在觀測(cè)矩陣與稀疏基的相關(guān)性方面優(yōu)于改進(jìn)前的算法,從而提高了重構(gòu)精度。如何優(yōu)化閾值函數(shù)來(lái)構(gòu)造性能更優(yōu)的Gram矩陣是下一步的研究方向。

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