高考中的概率問題主要圍繞“古典概型與互斥事件、對(duì)立事件以及幾何概型”等展開的,高考試題主要通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式與拓展加工成為貼近實(shí)際的創(chuàng)新問題。

題型1：利用概率解釋游戲的公平性

例1如圖1所示,有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤A,B。轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份,分別標(biāo)上1,2,3三個(gè)數(shù)字;轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份,分別標(biāo)上3,4,5,6四個(gè)數(shù)字。有人為甲、乙兩人設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲規(guī)則：自由轉(zhuǎn)動(dòng)盤A與B,轉(zhuǎn)盤停止后,指針各指向一個(gè)數(shù),將指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)相加,如果和是6,那么甲獲勝,否則乙獲勝。你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則公平嗎?如果公平,請(qǐng)說明理由;如果不公平,怎樣修改規(guī)則才能使游戲公平?

圖1

解：因?yàn)橹挥屑?、乙兩人參加游?所以要判斷游戲規(guī)則是否公平,只需看和為6的概率是否等于,如果概率是,那么這種游戲規(guī)則公平,否則就是不公平的。

根據(jù)題意列表,如表1所示。

表1

由表1可知,等可能的結(jié)果有12種,和為6的結(jié)果只有3種,因此所求概率P(和是據(jù)此可知甲、乙兩人獲勝的概率不相等,所以這種游戲規(guī)則是不公平的。

如果將規(guī)則改為“和是6或7,則甲勝,否則乙勝”,那么游戲規(guī)則就是公平的。

品味：要判斷游戲規(guī)則是否公平,需要看每個(gè)人獲勝的概率是否相等,若概率相等,則公平;反之,則不公平。盡管隨機(jī)事件的發(fā)生具有隨機(jī)性,但當(dāng)大量重復(fù)這一過程時(shí),它又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。游戲的公平性、天氣預(yù)報(bào)的概率解釋、遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律等都是概率在現(xiàn)實(shí)生活中的具體應(yīng)用。

變式訓(xùn)練1：某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)。參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖2所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)。

圖2

設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x和y。

獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：

①若x y≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);

②若x y≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);

③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶。

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻,小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)。

(1)求小亮獲得玩具的概率。

(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由。

提示：(1)用數(shù)對(duì)(x,y)表示參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S= {(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng)。

因?yàn)辄c(diǎn)集S中元素的個(gè)數(shù)是4×4=16,所以基本事件總數(shù)n=16。

記“x y≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)共有5種情況,即(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(3,1),所以即小亮獲得玩具的概率為

(2)記“x y≥8”為事件B,“3＜x y＜8”為事件C,則事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)共有6種情況,即(2,4),(3,4),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4),所以

事件C包含的基本事件個(gè)數(shù)共有5種情況,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以

由上可知,P(B)＞P(C),所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。

題型2：構(gòu)建有序?qū)崝?shù)對(duì)，求古典概率

例 2將一顆骸子拋擲兩次。

求：(1)點(diǎn)數(shù)之和是6的概率。

(2)點(diǎn)數(shù)之和至少是9的概率。

(3)點(diǎn)數(shù)之和小于5的概率。

(4)點(diǎn)數(shù)之和為多少時(shí)的概率最大?

解：題中涉及兩次擲骸子的點(diǎn)數(shù)之和,所得結(jié)果比較復(fù)雜,可構(gòu)建有序?qū)崝?shù)對(duì),把可能出現(xiàn)的結(jié)果在圖3中表示出來。據(jù)此可知,基本事件的總數(shù)是36。

圖3

(1)“點(diǎn)數(shù)之和是6”所包含的可能情況為(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5種結(jié)果,故所求概率

(2)“點(diǎn)數(shù)之和至少是9”所包含的可能情況為(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5), (5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共10種結(jié)果,故所求概率

(3)“點(diǎn)數(shù)之和小于5”所包含的可能情況為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3, 1),共6種結(jié)果,故所求概率

(4)由圖3可知,點(diǎn)數(shù)之和為7時(shí)的概率最大,其最大概率為

品味：求古典概型概率的關(guān)鍵是利用列舉法計(jì)數(shù),常見的列舉方法有列表法、坐標(biāo)系法、樹狀圖法等。不論采用哪種方法,都要按照一定順序一一列舉,以做到既不重復(fù)又不遺漏。對(duì)于擲骸子問題,可以構(gòu)建有序?qū)崝?shù)對(duì),采用列表的方法求解簡單快捷。本題也可以推廣：將一顆骸子拋擲n次,共出現(xiàn)6n種不同結(jié)果,仿照例2可作出圖表。

變式訓(xùn)練2：有編號(hào)為A1,A2,…,A10的10個(gè)零件,測(cè)量其直徑(單位：cm),得到的數(shù)據(jù)如表2所示。其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品。

表2

(1)從上述10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取1個(gè),求這個(gè)零件為一等品的概率。

(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個(gè)。

①用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果。

②求這2個(gè)零件直徑相等的概率。

提示：構(gòu)建有序?qū)崝?shù)對(duì),確定基本事件的總數(shù)求概率。

(1)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個(gè)。設(shè)“從10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取1個(gè)為一等品”為事件A,則

(2)①一等品零件的編號(hào)為A1,A2,A3,A4,A5,A6。從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè),所有可能的結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種情況。

②記“從一等品零件中,隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”為事件B,則事件B所有可能的結(jié)果為{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6}, {A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共6種情況。

題型3：構(gòu)建幾何概型求概率

例3如圖4所示,在矩形A B C D中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C

與點(diǎn)D在函數(shù)的圖像上。

圖4

若在矩形A B C D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),求該點(diǎn)取自陰影部分的概率。

解：由于二元變量滿足的是平面區(qū)域,故選擇面積為“測(cè)度”求概率。

由點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)及函數(shù)f(x)=可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,2)。

所以矩形A B C D的面積為S矩形ABCD=3×2=6,陰影部分的面積為

品味：當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、角度、面積或體積時(shí),應(yīng)考慮利用幾何概型求解。對(duì)于二元變量,通過構(gòu)建有序?qū)崝?shù)對(duì)滿足二元不等關(guān)系,把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域D,把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域d,利用公式來計(jì)算概率,這一直是高考考查的熱點(diǎn)問題。

變式訓(xùn)練3：若集合A=[0,1],集合B= [- 1,1],隨機(jī)從集合A,B中分別抽出一個(gè)元素λ1,λ2,則λ1＞λ2的概率是____。

提示：由λ1∈A,λ2∈B,λ1,λ2分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),可知點(diǎn)(λ1,λ2)構(gòu)成一個(gè)面積為2的矩形(如圖5),其中滿足λ1＞λ2的是圖5中的陰影部分,其陰影部分的面積為

圖5

所以滿足λ1＞λ2的概率是

題型4：復(fù)雜事件概率的求解

例4某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28,命中8環(huán)的概率是0.19,不夠8環(huán)的概率是0.29,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率。

解：設(shè)該射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A。設(shè)命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的四個(gè)事件分別為A1、A2、A3、A4,則它們彼此互斥。根據(jù)對(duì)立事件可求A1的概率,再根據(jù)A1、A2互斥可得所求結(jié)果。

因?yàn)槭录嗀1、A2、A3、A4彼此互斥,所以P(A2+A3+A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76。

因?yàn)槭录嗀1與事件A2+A3+A4是對(duì)立事件,所以P(A1)=1-P(A2+A3+A4) =1-0.76=0.24。

又因?yàn)槭录嗀1與A2彼此互斥,所以P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52。

故這個(gè)射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52。

品味：求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和求解,二是利用對(duì)立事件,即P(A)+進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

變式訓(xùn)練4：某校有A,B兩個(gè)文學(xué)社團(tuán),若a,b,c這3名學(xué)生各自隨機(jī)選擇參加其中的一個(gè)社團(tuán),則3人不在同一個(gè)社團(tuán)的概率為____。

提示：由題意可知,a,b,c這3名學(xué)生選擇社團(tuán)的所有可能結(jié)果為(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B),(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B),共8種,其中3人在同一個(gè)社團(tuán)的可能結(jié)果為(A,A,A), (B,B,B),共2種。

所以“3人在同一個(gè)社團(tuán)”的概率為P1=,而“3人不在同一個(gè)社團(tuán)”與“3人在同一個(gè)社團(tuán)”是對(duì)立事件,故“3人不在同一個(gè)社團(tuán)”的概率為

題型5：函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

例5袋中有12個(gè)小球,分別為紅球,黑球,黃球,綠球。從中任取1個(gè)球,得到紅球的概率是,得到黑球或黃球的概率是得到黃球或綠球的概率也為試求得到黑球,得到黃球,得到綠球的概率各是多少。

解：從袋中任取1個(gè)球,記“得到紅球”,“得到黑球”,“得到黃球”,“得到綠球”分別為事件A,B,C,D,則事件A,B,C,D彼此互斥。

依題意構(gòu)建方程組：

品味：本題是借助互斥事件、對(duì)立事件的概率公式構(gòu)建方程組求解的,這也體現(xiàn)了方程思想的具體應(yīng)用。

變式訓(xùn)練5：設(shè)關(guān)于x的一元二次方程為x2+2a x+b2=0。若a是從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則方程有實(shí)根的概率為____。

提示：設(shè)事件A為“方程x2+2a x+b2=0有實(shí)根”。

當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),方程x2+2a x+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b。所有的基本事件為(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共有12種情況,其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值。

易得事件A包含9個(gè)基本事件,所以事件A發(fā)生的概率為

題型6：轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

例6一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取一張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c。

(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率。

(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率。

解：隨機(jī)有放回地抽取3次,可構(gòu)建三維有序?qū)崝?shù)對(duì)求其概率。

(1)由題意可知,(a,b,c)所有的可能結(jié)果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1), (1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3), (3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種情況。

設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A,則事件A包含的可能結(jié)果為(1, 1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種情況。所以因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為

(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件包含的可能結(jié)果為(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種情況。所以因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為

品味：求解有放回抽取問題的概率,常常構(gòu)建有序?qū)崝?shù)對(duì)確定基本事件的空間,利用互斥事件與對(duì)立事件可簡化計(jì)數(shù),這充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用。

變式訓(xùn)練6：甲、乙兩人下棋,和棋的概率為,乙獲勝的概率為

求：(1)甲獲勝的概率。

(2)甲不輸?shù)母怕省?/p>

提示：甲、乙兩人下棋,其所有可能結(jié)果為甲勝、和棋、乙勝這3種情況,且它們是互斥事件。

(1)甲獲勝可看作是“和棋或乙勝”的對(duì)立事件,所以“甲獲勝”的概率P=1-,即甲獲勝的概率是

(2)設(shè)事件A為“甲不輸”,則事件A的概率等于甲獲勝的概率與和棋的概率之和,可得即甲不輸?shù)母怕适?/p>

題型7：分類與整合思想的應(yīng)用

例 7田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事。設(shè)齊王的3匹馬分別為A,B,C,田忌的3匹馬分別為a,b,c。

6匹馬的奔跑速度由快到慢的順序依次為：A,a,B,b,C,c。

兩人約定：6匹馬均需參賽,共賽3場,每場比賽雙方各出1匹馬,最終至少勝兩場者獲勝。

(1)如果雙方均不知道對(duì)方的出馬順序,求田忌獲勝的概率。

(2)頗有心計(jì)的田忌賽前派探子到齊王處打探實(shí)情,得知齊王第一場必出A馬。那么,田忌應(yīng)怎樣安排馬的出場順序,才能使獲勝的概率最大?

解：記A與a比賽為(A,a),其他類同。

(1)齊王與田忌賽馬,有如下6種情況：(A,a),(B,b),(C,c);(A,a),(B,c),(C,b);(A,b),(B,c),(C,a);(A,b),(B,a), (C,c);(A,c),(B,a),(C,b);(A,c),(B,b),(C,a)。其中田忌獲勝的只有1種情況：(A,c),(B,a),(C,b)。故田忌獲勝的概率

(2)已知齊王第一場必出上等馬A,若田忌第一場出上等馬a或中等馬b,則剩下兩場,田忌至少輸一場,這時(shí)田忌必?cái)　榱耸棺约韩@勝的概率最大,田忌第一場應(yīng)出下等馬c。

后兩場有兩種情形：

①若齊王第二場派出中等馬B,可能的對(duì)陣為：(B,a),(C,b)或(B,b),(C,a),田忌獲勝的概率為忌獲勝的概率也為

所以田忌按c,a,b或c,b,a的順序出馬,才能使自己獲勝的概率最大,最大概率為

品味：通過分類討論,找出田忌獲勝概率最大的方案。分類討論時(shí),要注意選擇正確的分類標(biāo)準(zhǔn),力爭做到不重不漏。

變式訓(xùn)練7：對(duì)某班一次測(cè)驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表3所示。

表3

(1)求該班成績?cè)赱81,100]內(nèi)的概率。

(2)求該班成績?cè)赱61,100]內(nèi)的概率。

提示：記該班的測(cè)試成績?cè)赱91,100], [81,90],[71,80],[61,70]內(nèi)依次為事件A,B,C,D,由題意知事件A,B,C,D是彼此互斥的。

(1)該班成績?cè)赱81,100]內(nèi)的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4。

(2)該班成績?cè)赱61,100]內(nèi)的概率是P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.93。