概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是每年高考考查的主要內(nèi)容,特別是與長度或面積有關(guān)的幾何概型是高考考查的重點。

幾何概型的定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、角度、面積或體積成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型。

幾何概型的特點：試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個;每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

下面舉例說明幾何概型的幾種題型的求解方法。

一、求角度型幾何概型的概率

例1如圖1所示,在等腰直角三角形A B C中,過直角頂點C在∠A C B內(nèi)作一條射線CM,與線段A B交于點M,求AM＜A C的概率。

圖1

解：在A B上取點C',使得A C'=A C,則

又∠A C B=90°,所以根據(jù)幾何概型概率計算公式可得所求概率

本題考查與角度有關(guān)的幾何概型的概率的求法。由于隨機(jī)事件的區(qū)域是角度,所以解題的關(guān)鍵是用角度來刻畫射線CM隨機(jī)地落在∠A C B內(nèi),可知∠A C B為所有試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,當(dāng)射線CM落在∠A C C'內(nèi)時,AM＜A C,故∠A C C'為構(gòu)成事件的區(qū)域。

二、求面積型幾何概型的概率

例2如圖2所示,正方形A B C D內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心對稱。在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分的概率是 。

圖2

解：根據(jù)題意可知正方形內(nèi)切圓中黑色部分的面積與白色部分的面積相等。

設(shè)正方形的邊長為a,則S正方形ABCD=a2,根據(jù)幾何概型概率計算公式可得所求概率P=

本題考查與面積有關(guān)的幾何概型的概率的求法。解答本題的關(guān)鍵是利用圓中黑色部分的面積與白色部分的面積相等求出黑色部分的面積。

三、求體積型幾何概型的概率

例3有一杯2L的水,其中含有1個細(xì)菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1L,求小杯水中含有這個細(xì)菌的概率。

解：記“小杯水中含有這個細(xì)菌”為事件A,事情A的概率只與取出水的體積有關(guān),這符合幾何概型的特征。

因為用小杯取水0.1L,原杯中有水2L,所以根據(jù)幾何概型概率計算公式可得所求概率

本題考查與體積有關(guān)的幾何概型的概率的求法。解答本題的關(guān)鍵是判斷出該問題為幾何概型,利用體積比求概率。