如果采用網(wǎng)格節(jié)點(mesh-node)分析能很好地求解電路的傳遞函數(shù)，那么立即獲得一個有意義的符號公式通常是不可能的，需要額外的工作才能得出。應用經(jīng)典的分析技術來獲得所謂的低熵表達式，即分數(shù)形式，從中您可識別增益、極點和零點，往往導致如Middlebrook博士曾在他的參考文獻[1]、[2]中提到的代數(shù)失效(algebraic paralysis)。在此，快速分析電路技術(FACTs)可幫助您基于在大學里學到的東西而擴展，以大大簡化分析。通過使用FACTs，不僅加快您的執(zhí)行速度，而且最終結果將以有序的多項式形式出現(xiàn)，通常無需進一步的因子分解工作[3-4]。

本文首先介紹后文用于確定開關轉換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個主題很大，在此我們只談及表面，希望激勵您進一步挖掘這個主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級電感轉換器(SEPIC)工作于非連續(xù)導電模式(DCM)。PWM開關[5]將用于形成小信號模型。

快速分析技術(FACTs)簡介

FACTs背后的基本原理在于電路時間常數(shù)的確定τ=RC或τ=L/R，此時在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當激勵信號降至0時和響應清0時，通過使用這種技術，您將體會到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀?；谶@種方法的分析技術始于幾十年前，如參考文獻[6]、[7]中記載的。

傳遞函數(shù)是一種數(shù)學關系，它把激勵信號、激勵物和由這種激勵產(chǎn)生的響應信號聯(lián)系起來。如果我們考慮一個線性時不變(LTI)系統(tǒng)無延時，具有靜態(tài)增益H0，例如開關轉換器的線性理想功率級，其連接控制信號Verr(激勵)和輸出Vout(響應)的傳遞函數(shù)H可表示為：

(1)

首項H0是系統(tǒng)在s = 0評估表現(xiàn)出的增益或衰減，該項將帶傳遞函數(shù)的單位(或維度)，如果有的話。如果響應和激勵都用伏特表示，在此表示為Verr和Vout，H是沒有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點，數(shù)學意義上，零點是函數(shù)幅值為0的根。通過FACTs，我們用數(shù)學抽象思維輕松地揭開這些零點。我們不會像通常在諧波分析(s=jω)中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸，而是覆蓋考慮到負數(shù)根的整個平面。因此，如果電路存在零點，將表現(xiàn)為當輸入信號調(diào)到零角頻率sz時，無信號的輸出響應。在這種情況下，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號傳播，響應為0，盡管存在激勵源：當變形的電路在s=sz點被激勵時，在信號路徑的串聯(lián)阻抗趨于無窮或分支將該激勵分流到地面。請注意，這種方便的數(shù)學抽象通過觀察提供了巨大的幫助來找到零點，通常無需寫一行無源電路的代數(shù)。圖1提供了簡單的流程圖，詳細介紹了過程。關于這種方法的更多細節(jié)見參考文獻[8]。

圖1　　　　這個流程圖將指導您用最簡單的方法確定零點，在觀察無用時，將需要進行雙重抵消注入或NDI

分母D(s)由電路自然時間常數(shù)構成。通過設置激勵信號為0和確定從電路中臨時移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗，來得出這些時間常數(shù)。通過“觀察”，可想象把一個歐姆表置于暫時移除的儲能元件(C或L)，并讀取它顯示的電阻。這其實是個相當簡單的運用，正如圖2中的第二個流程圖所詳述的。

圖2　該流程圖解釋了用于確定電路時間常數(shù)的方法

看到圖3是一個涉及注入源的一階無源電路加偏壓于左邊網(wǎng)絡。輸入信號Vin通過網(wǎng)格和節(jié)點傳播形成所看到的電阻R3上的響應Vout。我們感興趣的是導出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。

圖3　　　　確定電路的時間常數(shù)需要將激勵源設為0，并觀察從電路中暫時移除的能量存儲元件所提供的電阻

為確定本例電路的時間常數(shù)，將激勵源設為0(由短路代替0 V電壓源，開路代替0 A電流源)，拆下電容器。然后，連接一個歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4指導您進行這些步驟。

圖4　由短路代替0V源后確定電容器端的電阻

如果用圖4的做法，您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時間常數(shù)只通過R和C1即可計算得出：

τ1=[rC+(R4+R1||R2)||R3|C1

(2)

可證明第一階系統(tǒng)的極點是其時間常數(shù)的倒數(shù)。因此：

(3)

現(xiàn)在，s=0時該電路的準靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應用于圖3的電路，繪制成如圖5所示的電路。想象在R4前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

(4)

輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：

(5)

圖5　斷開直流電路中的電容器，計算簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)

基本就是這些了，我們正錯過零點。在前文提到，零點通過阻斷激勵信號的傳播而在電路中表現(xiàn)出來，產(chǎn)生一個無信號的輸出響應(見圖1)。若我們考慮一個變形的電路，其中C1由1/sC1代替，如圖6所示，當激勵源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應？無信號響應只意味流過R3的電流為0。這不是短路，而是相當于虛擬的接地。

圖6　　　　在這變形的電路中，當串聯(lián)的rC和C1轉化為變形的短路，響應消失，R3中無電流流過

如果在R3中沒有電流，那么串聯(lián)的rC和1/sC1轉化為短路：

(6)

根sz是我們想要的零點位置：

(7)

從而有：

(8)

現(xiàn)在我們可組合所有這些結果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：

(9)

這就是所謂的低熵表達式，從中您可立即識別靜態(tài)增益G0、極點ωp和零點ωz。高熵表達式將在考慮阻抗分壓器時通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，如：

(10)

您不只在推導表達式時可能會出錯，而且將結果格式化到如式(9)這樣需要更多的精力。另外，請注意，在這個特定的例子中，在寫式(9)時我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個錯誤，那么很容易回到一個單獨的圖紙并單獨修復它。式(9)的校正很簡單，現(xiàn)嘗試對式(10)進行相同的修正，您可能會從頭開始。

FACTs應用于二階系統(tǒng)

FACTs同樣適用于n階無源或有源電路。通過計算狀態(tài)變量是獨立的儲能元件的數(shù)量來確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示如下：

(11)

當H0帶傳遞函數(shù)的單位，那么N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是s。當a1無信號響應，b1的激勵源為0，可將確定的時間常數(shù)相加。對于二階系數(shù)a2或b2，維度是時間的平方[s2]，將時間常數(shù)結合為一個產(chǎn)物。然而，在這時間常數(shù)產(chǎn)物中，您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個時間常數(shù)，而二階時間常數(shù)的確定需要一個不同的符號：

(12)

在這個定義中，設置標號出現(xiàn)在“冪” 中的儲能元件處于高頻狀態(tài)(電容被短路，電感被開路)，當我們暫時從電路中移除二階元件端(參見下標)，您可從中確定電阻。當a2必須為無信號的輸出和b2的激勵源減為0時，可以運用此法。當然，當觀察有用時，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點難以理解，但沒有什么不可克服的，我們用幾句話解釋您就會明白。

圖7是一個經(jīng)典的二階濾波器，用于確定在連續(xù)導通模式(CCM)中工作的電壓模式降壓轉換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個激勵信號Iout與響應信號Vout的一個傳遞函數(shù)。此處，Iout是已安裝的測試生成器，而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從式(11)中確定各種系數(shù)，我們可按照圖2的流程圖，從s=0開始，如圖7所示，電感短路，電容開路。該電路是簡單的，電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡單的并列組合：

R0=rL||Rload

(13)

這個電路中有零點嗎？我們看看圖8所示的變形電路。當激勵源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時，什么樣的元件組合將使響應Vout為0。我們可發(fā)現(xiàn)兩個變形的短路涉及rL-L1和rc-C2。

圖7　　　　工作于CCM的降壓轉換器的輸出阻抗的確定是一個很好的例子，演示了FACTs如何簡化分析

圖8　　　　如果阻抗Z1或Z2轉換為短路，響應Vout為無信號輸出

立即確定這兩個阻抗的根：

(15)

因此分母N(s)表示為：

(16)

分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處于直流狀態(tài)(開路)，有τ1，然后看驅(qū)動C2而L1設置為直流狀態(tài)(短路)時的阻抗，得出τ2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：

C2[(rL||Rload)+rC|

(17)

圖9　　　　在選定的組件終端中，當?shù)诙€組件處于直流狀態(tài)時，您會得出阻抗為多少？

(18)

現(xiàn)在我們用所有的成分來組合最終的傳遞函數(shù)，定義為：

Zout(s)=(rL||Rload)×

(19)

我們已經(jīng)確定了這個傳遞函數(shù)，而沒有寫一行代數(shù)，只是把該電路拆分為幾個簡單的草圖個別解決。此外，正如預期的那樣，式(19)已經(jīng)是一個規(guī)范的表達式，可以輕易地看到一個靜態(tài)增益、兩個零點和一個可用諧振分量ω0和品質(zhì)因數(shù)Q進一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2和Rload的并聯(lián)組合，我們不可能得到這一結果。

采用FACTs，通過觀察可導出傳遞函數(shù)，特別是對于無源電路。由于電路復雜，包括電壓或電流控制源，觀察

圖10　　　　在選定的組件終端中，當?shù)诙€組件處于高頻狀態(tài)時，您會得出阻抗為多少？

起來沒那么明顯，您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點分析。但FACTs提供了幾個優(yōu)點：由于將電路拆分為用于確定最終的多項式表達式系數(shù)的小的單個草圖，因此如果在最終的表達式中發(fā)現(xiàn)一個錯誤，總是可以回到一個特定的繪圖并個別修正。此外，當確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關的項時，自然會得到一個多項式表達式，而不用投入進一步的精力來收集和重新排列這些項。最后，如參考文獻[4]所述，在復雜的無源和有源電路中，SPICE對驗證個別極點和零點的計算有很大幫助。

工作于DCM的帶耦合電感的SEPIC

SEPIC是一種流行的結構，常用于輸出電壓必須小于或大于輸入的應用，不會像采用Buck-Boost轉換器那樣損失極性。SEPIC可采用耦合或非耦合電感工作在連續(xù)導通模式(CCM)或非連續(xù)導通模式(DCM)。參考文獻[9]中探討了耦合電感的好處，這里不作討論，我們的興趣在于確定耦合電感的SEPIC 在工作于DCM時的輸出到控制的傳遞函數(shù)。圖11代表參考文獻[10]中所述的自動切換電壓控制模式的PWM開關和采用一個SEPIC配置的連接，特意減少載荷以強制實施DCM，在啟動序列完成后施加一個臨時步驟。在類似的工作條件下捕獲并仿真一個逐周期電路。

圖11　第一個SEPIC采用平均模型，第二個實施逐周期法

運行一個仿真來比較兩個電路的輸出響應。如圖12所示，兩個電路的響應非常相近。曲線的左邊描述了啟動序列，右邊部分顯示了兩個模型對負載階躍的響應。在這一階段具有相同的響應，第一次表明平均大信號模型正確地仿真SEPIC內(nèi)部，我們可進行小信號版本。

圖12　平均模型與逐周期模型的瞬態(tài)響應完全符合

DCM PWM開關的大信號模型由式(10)中推導出的小信號版本所代替，與參考文獻[5]中描述的不同。兩個模型得出了相同的分析，但Vorpérian博士在參考文獻[5]中考慮的是一個常見的配置(C端是接地的)，而我們?yōu)榱私⒁粋€自動切換的DCM-CCM模型，保留了原普通無源配置。采用DCM PWM開關的小信號模型更新的電路圖如圖13所示。右邊的參數(shù)列表計算分析所需的所有系數(shù)k。

圖13　　　　這是工作在DCM模式的SEPIC的小信號模型，節(jié)點d1是占空比偏差和注入點，所有小信號系數(shù)都自動出現(xiàn)在參數(shù)窗口

確定準靜態(tài)增益

為了確定準靜態(tài)增益，需要按照圖2使所有電感短路，所有電容開路。這正是SPICE在計算工作偏置點時所做的工作。然后重新排列所有的源和組件以簡化電路，使其更易于分析。當您做這工作時，建議您始終運行一個全面的檢查，確定新電路的動態(tài)響應與圖13完美匹配。如果有任何偏差都表明您出錯了，或者簡化中的假設過于樂觀：重復該做法直到幅值和相位完美匹配為止。組合出圖14的電路。

圖14　這是用來確定準靜態(tài)增益H0的最終直流電路

幾行代數(shù)將使我們得到輸出電壓表達式：

(20)

(21)

將式(20)中的Ic代入式(21)并求解Vout，得出：

(22)

該小信號準靜態(tài)增益簡單地表示為：

(23)

時間常數(shù)的確定

我們將采用FACTs并單獨確定電路的時間常數(shù)，而不是用圖13的完整原理立刻求解整個傳遞函數(shù)。這種方法提供了一個優(yōu)勢，以處理您通過對單個草圖的SPICE仿真獲得的結果。這大大有助于逐步前進和跟蹤錯誤，而不至于在大量的工作時間后才發(fā)現(xiàn)最終的結果是錯誤的！

為了確定時間常數(shù)，將激勵源減為0(請檢查圖2)。

在此，由于我們想要控制到輸出的傳遞函數(shù)，激勵源是d1。將其減為0有助于簡化電路，如圖15所示。

圖15　將激勵源減為0有助于簡化電路，在此我們從驅(qū)動電感L1的阻抗開始

可以用幾個公式來描述這個電路，我們知道IC= IT：

VT=V(a)-V(c)

(24)

V(a)=RloadI1

(25)

(26)

V(c)=k4V(a)+k5IC+k6V(a)-k6V(c)

(27)

將式(26)代入式(27)，然后解出V(c)，替代式(26)中的V(c)解得V(a)，然后可寫

(28)

如果您重新排列和由圖13的定義替換系數(shù)k，得出時間常數(shù)τ1的定義：

(29)

二階時間次常數(shù)指的是從C2端看到的阻抗，而L1是短路的。新的電路如圖16所示。由于L1短路， a和c端在一起，簡化更新的電路為右邊的圖片。

圖16　使電感短路真正簡化電路

再一次，幾個簡單的方程會很快地讓您得出結果：

(31)

將式(30)代入式(31)，然后解得VT并重新整理?？梢园l(fā)現(xiàn)：

(32)

如果您知道試圖確定涉及C3的三階時間常數(shù)，變壓器配置(完美耦合)使其兩端電壓等于0 V：在動態(tài)傳遞函數(shù)中電容器不起作用。因此第一個系數(shù)b1定義為：

(33)

二階系數(shù)

對于二階系數(shù)，將設置電容C2處于其高頻狀態(tài)(以短路代替它)，同時將確定驅(qū)動電感L1的阻抗。圖17說明了這種方法。因為輸出因C2短路，節(jié)點a和c都處于相同的0 V電勢。電路簡化為右側示意圖。

圖17　　　　二階系數(shù)設置儲能元件之一處于其高頻狀態(tài)(C2)，同時您可確定電感兩端的電阻

可寫出描述VT電壓的第一個方程。觀察到： IT和IC是相同的,VT=-V(c)，有

VT=-(k5IC-k6V(c))=-(k5IT+k6VT)→

VT(1+k6)=-k5IT

(34)

因式分解VT/IT，L1兩端的阻抗為：

(35)

(36)

如果認為Vout= MVin，b2系數(shù)表示為：

(37)

合并確定的時間常數(shù)，得出分母D(s)：

(38)

如果考慮一個低Q值的近似值，這二階分母可以近似由兩級聯(lián)極點定義為：

(40)

和合并為：

(41)

零點的確定

如上文所述，當激勵源調(diào)至零角頻率sz，變形電路的響應為無信號輸出(見圖1)。該運用包括將激勵源復原和確定無信號輸出的變形電路的條件。圖18所示為需要研究的更新電路。無信號輸出的有趣之處在于其傳播至其它節(jié)點。例如，如果Vout=0 V，然后由于變壓器高邊連接，節(jié)點a也處于0 V，所有涉及該節(jié)點的表達式可以簡化為如圖18所示。如果輸出無信號，則電流I1也為0，這意味著Ic= I3。

節(jié)點c的電壓定義為：

(42)

因此，電流Ic等于節(jié)點c的電壓除以L1的阻抗。

(43)

而電流I3等于：

I3(s)=k1D(s)-k2V(c)=k1D(s)-k2sL1Ic(s)

(44)

現(xiàn)將式(43)代入式(44)，然后視Ic= I3：

(45)

求解s，將系數(shù)k的值換為它們在圖13中的值，重新整理，會發(fā)現(xiàn)

(46)

圖18　在s=sz的特定條件下，觀察變形的電路，無信號響應

這是個正的根源，因此為右半平面零點。通過收集所有的部分，發(fā)現(xiàn)極點和零點實際上是一個DCM buck-boost轉換器的極點和零點，而得出完整的傳遞函數(shù)：

(47)

及

(50)

和

(51)

最后檢查，比較Mathcad和圖11大信號模型的SPICE仿真的動態(tài)響應。如圖19所示，曲線完美重合。

圖19　Mathcad和SPICE提供完全相同的響應(曲線完美疊加)

另一個驗證是由采用不同的平均模型(架構參見參考文獻[11])仿真相同的SEPIC結構構建。這也是一個自動

切換的CCM-DCM模型，但走線方式稍有不同。圖20所示為兩種平均模型采用一個類似的SEPIC架構。

圖20　CoPEC平均模型包括單獨的開關和二極管連接

圖21證實了兩個交流響應在相位和幅值上完全相同。

圖21　DCM PWM開關和CoPEC DCM模型提供相同的動態(tài)響應

總　結

[1] R D Middlebrook.Methods of Design-Oriented Analysis:Low-Entropy Expressions,Frontiers in Education Conference,Twenty-First Annual conference,Santa-Barbara,1992.

[2] R D Middlebrook.Null Double Injection and the Extra Element Theorem[J].IEEE Transactions on Education,1989,32(3).

[3] V Vorpérian.Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits[M].Cambridge:Cambridge University Press,2002.

[4] C Basso.Linear Circuit Transfer Functions-An Introduction to Fast Analytical Techniques,Wiley, 2016.

[5] V Vorpérian.Simplified Analysis of PWM Converters Using the Model of the PWM Switch,Parts I and II[J].Transactions on Aerospace and Electronics Systems,1990,26(3).

[6] D Feucht.Design-Oriented Circuit Dynamics[EB/OL].[2018-02].http://www.edn.com/electronics-blogs/outside-the-box-/4404226/Design-oriented-circuit-dynamics

[7] D Peter.We Can do Better:A Proven,Intuitive,Efficient and Practical Design-Oriented Circuit Analysis Paradigm is Available,so why aren’t we using it to teach our Students? [EB/OL].[2018-03].http://www.icee.usm.edu/ICEE/conferences/asee2007/papers/1362_WE_CAN_DO_BETTER__A_PROVEN__INTUITIVE__E.pdf.

[8] C Basso.Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling[EB/OL].[2018-03].http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm.

[9] J Betten.Benefits of a coupled-inductor SEPIC,slyt411,application note,Texas-Instruments.

[10] C Basso.Switch-Mode Power Supplies:SPICE Simulation and Practical Designs,McGraw-Hill, 2nd edition,2014.

[11] D Maksimovic,R Erickson.Advances in Averaged Switch Modeling and Simulation,Power Electronic Specialist Conference Professional Seminar,Charleston,1999.