崔少華，　單　巍，　方振國

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 安徽 淮北 235000)

0　引　言

地震資料由于地質(zhì)原理造成采集到的數(shù)據(jù)資料中含有大量的隨機(jī)噪聲和干擾，因此對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行處理之前必須進(jìn)行去噪處理。奇異值分解(Singular Value Decomposition ,SVD)正是一種有效對(duì)地震資料去噪的濾波算法，但是在實(shí)際應(yīng)用中，SVD算法對(duì)于相關(guān)性強(qiáng)的水平同相軸去噪效果最佳，對(duì)于相關(guān)性減弱的傾斜同相軸去噪效果不明顯[1]。而基于Hankel矩陣的SVD算法利用Hankel矩陣的特性，將數(shù)據(jù)逐道排列為Hankel矩陣，對(duì)排列好的矩陣進(jìn)行SVD分解去噪，這種算法可以增強(qiáng)傾斜同相軸的自相關(guān)性，從而改善SVD對(duì)于傾斜同相軸的去噪效果[2]。本文采用實(shí)際模型對(duì)SVD濾波算法和Hankel矩陣濾波算法進(jìn)行驗(yàn)證并對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Hankel矩陣濾波算法可以明顯增強(qiáng)含有大傾角的混合數(shù)據(jù)的去噪效果，但同時(shí)也會(huì)相對(duì)減弱水平同相軸的去噪效果。

1　算法原理

1.1　SVD算法

SVD算法利用矩陣變換，將m×n維的觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣X分解為[3]：

(1)

若U=[u1,u2,…,um]，V=[v1,v2,…,vn]，則式(1)可寫為：

(2)

1.2　Hankel矩陣變換

將一維含噪信號(hào)x=[x1,x2,…,xm]變換為如下矩陣的形式[6]：

(3)

則H就是一個(gè)Hankel矩陣，該矩陣每條反對(duì)角線上的元素均相同，且將第一行與最后一列上的元素連接起來，就構(gòu)成原始一維信號(hào)x。對(duì)矩陣H進(jìn)行擴(kuò)展：

(4)

令xi=si+ni(i=1,2,…,m)，其中si為有效信號(hào)，ni為隨機(jī)噪聲，則H可重寫為[10]：

(5)

式(5)將矩陣H表示為有效信號(hào)和噪聲信號(hào)之和，由于信號(hào)自身存在自相關(guān)性，所以有效信號(hào)矩陣各道之間存在相關(guān)性，而理想隨機(jī)噪聲是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，所以噪聲矩陣各道之間不存在相關(guān)性[11]。對(duì)矩陣H進(jìn)行SVD[12]：

(6)

2　去噪模型

構(gòu)造一個(gè)含有3條同相軸的二維地震記錄，其中2條是水平同相軸，另外1條是傾斜同相軸，地震子波采用50 Hz的Ricker函數(shù)，時(shí)域每道500個(gè)點(diǎn)共200道，采樣間隔為1 ms，如圖1所示。圖2和圖3為SVD濾波算法的去噪結(jié)果，其中重構(gòu)本征圖像個(gè)數(shù)p=50；圖4和圖5為基于Hankel矩陣的去噪算法的結(jié)果。

圖1　原始數(shù)據(jù)

圖2　SVD去噪結(jié)果

圖3　SVD去除噪聲

從圖3可知，對(duì)于含有大傾角同相軸的地震記錄，多道SVD濾波算法的效果下降，傾斜同相軸的保真性和去噪的性能之間形成了不可調(diào)和的矛盾[15]。為了保證去噪的效果必須丟掉更多的本征圖像，這時(shí)就不可避免地會(huì)對(duì)傾斜同相軸造成損傷。在圖3中可以很明顯地看到去除噪聲中含有傾斜同相軸的能量；若為了保真傾斜同相軸重構(gòu)時(shí)留下較多的本征圖像，那么就達(dá)不到去噪的目的。這是時(shí)域SVD去噪算法的一個(gè)通病。

圖4　基于Hankel矩陣的算法結(jié)果

圖5　Hankel矩陣去除噪聲

由圖4可知，基于Hankel矩陣的濾波算法較好地重構(gòu)了大傾角的同相軸，同時(shí)也去掉了很多的隨機(jī)噪聲。但由圖5可知，去除噪聲中依然殘留有部分傾斜同相軸的能量，因?yàn)榛贖ankel矩陣的濾波算法對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)性的提高是有限的，并不能將傾斜同相軸的相關(guān)性提高到和水平同相軸相同的高度。假如將傾斜同相軸數(shù)據(jù)完全平移成為水平的，那么同時(shí)會(huì)導(dǎo)致式(5)中矩陣H的各道噪聲也完全相同，矩陣的秩變?yōu)?，就無法進(jìn)行去噪了。由圖5還可知，去除噪聲中含有少部分水平同相軸的能量，說明基于Hankel矩陣的濾波算法對(duì)水平同相軸造成了一定的傷害。

3　結(jié)　語

基于Hankel矩陣的SVD算法對(duì)于傾斜同相軸的去噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)SVD算法，但在含有水平同相軸和傾斜同相軸的地震資料中，Hankel矩陣改善傾斜同相軸去噪效果時(shí)，由于對(duì)水平同相軸也進(jìn)行了平移處理，所以一定程度上降低了水平同相軸的處理效果，因此基于Hankel矩陣的算法并沒有從根本上解決傾斜同相軸的去噪問題。

參考文獻(xiàn)(References)：

[1]李目, 何怡剛, 吳笑鋒, 等.基于奇異值分解的分?jǐn)?shù)階小波綜合實(shí)現(xiàn)方法[J]. 電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào),2016, 30(2):241-248.

[2]高磊, 陳文超, 王保利, 等.基于兩步SVD變換的零偏VSP資料上下行波場(chǎng)分離方法[J]. 地球物理學(xué)報(bào),2013, 56 (5):1667-1675.

[3]崔少華, 單巍, 趙慶平.基于SVD的地震資料去噪方法的研究和應(yīng)用[J]. 通化師范學(xué)院學(xué)報(bào),2016, 37 (8):60-62.

[4]戴冬, 衛(wèi)娟, 王磊.SVD分解和離散小波域特征值量化的安全數(shù)字語音水印算法[J]. 電子技術(shù)應(yīng)用,2015, 41 (12):94-97.

[5]柴凱, 張梅軍, 黃杰, 等.基于奇異值分解(SVD)差分譜降噪和本征模函數(shù)(IMF)能量譜的改進(jìn)Hilbert-Huang方法[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程,2015, 15 (9):90-96.

[6]譚偉杰, 馮西安, 張楊梅.基于Hankel矩陣分解的互素陣列高分辨目標(biāo)定向[J]. 西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016, 38 (7):191-198.

[7]唐炬, 董玉林, 樊雷, 等.基于Hankel矩陣的復(fù)小波-奇異值分解法提取局部放電特征信息[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2015, 35 (7):1808-1817.

[8]閆楷男.基于空間陣列協(xié)方差Hankel矩陣奇異值分解的信號(hào)源估計(jì)算法研究[D].吉林：吉林大學(xué),2016.

[9]張俊麗.非奇異H-矩陣的實(shí)用迭代判定準(zhǔn)則[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016, 37 (1):68-71.

[10]何希平, 楊勁, 劉波.信號(hào)的 SVD 重建模型及其應(yīng)用[J]. 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì),2015(4):962-966.

[11]張喚蘭, 朱光明, 王保利.Hankel矩陣濾波在微地震數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J]. 煤田地質(zhì)與勘探,2014, 45(1):72-75.

[12]查翔, 倪世宏, 張鵬.一類非線性信號(hào)去噪的奇異值分解有效迭代方法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào),2015, 37 (6):1330-1335.

[13]魏瑤, 何兵壽.時(shí)間-頻率域聯(lián)合局部SVD壓制隨機(jī)噪聲[J]. 山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015, 34(3):45-52.

[14]姜宇航, 劉財(cái), 宋超, 等.基于SVD的疊后地震資料隨機(jī)噪聲分離方法[J]. 世界地質(zhì),2016, 35(2):543-548.

[15]Holzwarth P, Eberhard P.SVD-based improvements for component mode synthesis in elastic multibody systems[J].European Journal of Mechanics,2015, 49(2)：408-418.