楊 軍, 李 強(qiáng)

(四川省地質(zhì)工程勘察院， 四川成都 610072)

為了研究裂紋的起裂和擴(kuò)展,許多學(xué)者從應(yīng)力、應(yīng)變能密度、能量等多種角度分析建立了相應(yīng)的斷裂準(zhǔn)則。Erdogan 和 Sih[1]首次提出了適用于復(fù)合型裂紋的最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則(即MTS準(zhǔn)則),該準(zhǔn)則假定裂紋沿最大周向應(yīng)力σmax擴(kuò)展。Sih[2]提出最小應(yīng)變能密度準(zhǔn)則(SED 準(zhǔn)則)，該準(zhǔn)則的基本假定為：當(dāng)材料的應(yīng)變能密度S達(dá)到臨界應(yīng)變能密度Scr裂紋開(kāi)始擴(kuò)展。Theocaris 和 Andrianopoulos[3]基于von Mises屈服準(zhǔn)則，認(rèn)為裂紋沿著最大彈性應(yīng)變能密度方向開(kāi)裂，提出T準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則對(duì)于金屬材料非常適用。Ukadgaonkera和 Awasare[4]提出修正的T準(zhǔn)則，即通過(guò)應(yīng)力張量第一不變量(I1)和應(yīng)力偏量第二不變量(J2)預(yù)測(cè)裂紋開(kāi)裂。Yehia 等[5]提出最大體積應(yīng)變能密度準(zhǔn)則，即 NT 準(zhǔn)則，此外，Yehia[6]討論了在塑性核心區(qū)的基礎(chǔ)上定義斷裂準(zhǔn)則的可行性，并且克服了修正的T 準(zhǔn)則的一致性問(wèn)題，提出了Y 準(zhǔn)則。Khan 和 Khraisheh[7]提出了修訂的MTS 準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則適用于延展性材料?；趘on Mises屈服條件推導(dǎo)出裂紋尖端塑性區(qū)可變半徑，Khan 和 Khraisheh[8]導(dǎo)出了裂紋尖端塑性區(qū)半徑，并提出了R準(zhǔn)則，指出裂紋將會(huì)沿著從裂紋尖端到彈塑性邊界的最短路徑擴(kuò)展，因?yàn)榱鸭y沿著該路徑擴(kuò)展所需要的能量最小。

可以看出沒(méi)有任何一個(gè)準(zhǔn)則可以與大部分材料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。造成此現(xiàn)象的其中一個(gè)原因是，這些經(jīng)典準(zhǔn)則的建立并不是根據(jù)材料的實(shí)際性能或者實(shí)驗(yàn)的加載條件。因此，基于對(duì)材料和試件結(jié)構(gòu)影響理論預(yù)測(cè)的考量，我們建立一個(gè)改進(jìn)的SED新準(zhǔn)則，與文獻(xiàn)中提供的混凝土斷裂實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)它比傳統(tǒng)的SED斷裂準(zhǔn)則能更好的預(yù)測(cè)脆性材料的斷裂行為。此改進(jìn)的方法還適用于其他傳統(tǒng)準(zhǔn)則，但是由于篇幅限制，我們?cè)诒疚闹兄恍拚齋ED準(zhǔn)則。

1 建立新的斷裂準(zhǔn)則

1.1 SED準(zhǔn)則

SED準(zhǔn)則是將最小應(yīng)變能密度S作為判斷材料破壞或斷裂的參數(shù)，根據(jù)Sih[2]， 可以通過(guò)下式計(jì)算得到

S=a11KI2+2a12KIKII+a22KII2

(1)

式中：KI和KII分別是I型和II型應(yīng)力強(qiáng)度因子，aij是與極坐標(biāo)θ有關(guān)的函數(shù)，定義如下

(2)

在式(2)中，μ是剪切模量，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題κ=(3-ν)/(1+ν)，平面應(yīng)變問(wèn)題κ=3-4ν。

SED準(zhǔn)則假設(shè)當(dāng)S達(dá)到最小值時(shí)，裂紋開(kāi)始擴(kuò)展，可以通過(guò)下式表示

(3)

(4)

θ0是裂紋初始角，對(duì)于特定的混合度，通過(guò)式(3)我們可得到對(duì)應(yīng)的裂紋初始角。對(duì)于純I型裂紋，θ0=0，將之代入式(1)，即可獲得式(4)。對(duì)于純II型，KI=0，θ0= arccos[(κ-1)/6]。通過(guò)比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果與上文提到的經(jīng)典準(zhǔn)則， 代入式(1)，可以得到

(5)

使式(4)和式(5)相等，在平面應(yīng)力問(wèn)題中取ν=1/3，KIIC和KIC的比值

KIIc/KIc=1.0215

(6)

可以看出，對(duì)于泊松比是常數(shù)的情況下，由SED準(zhǔn)則計(jì)算得到的I型斷裂韌度和II型斷裂韌度比值也是常數(shù)，也就是說(shuō)對(duì)于某種確定的材料，它的II型斷裂韌度是確定的。然而，事實(shí)上盡管作為常數(shù)的I型斷裂韌度是材料參數(shù)，但是II型斷裂韌度卻不能作為材料參數(shù)，它會(huì)隨著不同的幾何形狀以及加載條件變化，因此，傳統(tǒng)的SED準(zhǔn)則需要通過(guò)修正以更精確的預(yù)測(cè)材料的破壞和斷裂。

1.2 MSED準(zhǔn)則

在傳統(tǒng)SED準(zhǔn)則中，臨界值是根據(jù)I型裂紋的斷裂計(jì)算得到，只含有KIc(式(4)), 這時(shí)只能精確預(yù)測(cè)純I型裂紋或者I型主導(dǎo)裂紋，會(huì)低估或高估混合型或者純II型斷裂。相反的，如果臨界值里只包含純II型，也只是能較好的預(yù)測(cè)II型裂紋。因此，為了更好的預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展，將I型斷裂韌度KIc和II型斷裂韌度KIIc同時(shí)引進(jìn)到準(zhǔn)則中，構(gòu)造一個(gè)新的臨界值，以提高斷裂準(zhǔn)則的精確度。

定義Scr為

Scr=φSI+ψSII

(7)

式中：φ和ψ是定義的混合度參數(shù)

(8)

(9)

由式(8)、式(9)可以看出φ+ψ= 1, 并且對(duì)于純I型裂紋，即φ=1,ψ= 0，Scr=SI(或者KI=KIc)；對(duì)于純II型裂紋，即φ= 0,ψ= 1，Scr=SII(或者KII=KIIc)。在式(7)中，KIc和KIIc同時(shí)包含在臨界值Scr中，因此改進(jìn)的新準(zhǔn)則可以更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)混合型裂紋。

將式(8)、式(9)代入到式(7)

(10)

因此，改進(jìn)的SED準(zhǔn)則—MSED準(zhǔn)則，定義為

(11)

(12)

2 混凝土半圓盤(pán)實(shí)驗(yàn)

Ameri等[9]通過(guò)含裂紋的半圓盤(pán)試件(Semi-circular bend specimen (SCB))測(cè)量了瀝青混凝土的混合型斷裂韌度。半圓盤(pán)試件有三種不同的加載方式(圖1)，圖1(a)是傳統(tǒng)的斜裂紋對(duì)稱(chēng)三點(diǎn)彎曲，根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，不同的裂紋傾斜角對(duì)應(yīng)不同的I-II型混合度；圖1(b)為偏置裂紋非對(duì)稱(chēng)加載，該模型只能獲得純II型和I-II混合型的斷裂韌度；圖1(c)為中心直裂紋受非對(duì)稱(chēng)荷載作用的半圓盤(pán)三點(diǎn)彎曲，調(diào)整支撐距離可得到不同的斷裂混合度。制作的SCB試件直徑15 cm, 厚3 cm，預(yù)制裂紋長(zhǎng)2 cm。最大骨粒尺度為12.5 mm，孔隙率4 %。該組實(shí)驗(yàn)在大約-10 ℃的溫度下進(jìn)行，加載速率為3 mm/min。

改進(jìn)修正的半圓盤(pán)三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)結(jié)果(SCB-2，圖1(c))與經(jīng)典MTS準(zhǔn)則和MSED準(zhǔn)則進(jìn)行比較(圖2)。瀝青混凝土的泊松比在低溫下一般低于0.2，因此在計(jì)算分析過(guò)程中，泊松比取為0.17。

(a) 經(jīng)典SCB試件

(b) 修正的SCB-1試件

(c) 修正的SCB-2試件圖1 三種半圓盤(pán)加載方式[9]

3 結(jié)果與討論

瀝青混凝土混合型半圓盤(pán)三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)(修正的SCB-2試件)測(cè)得的純I型斷裂韌度和純II型斷裂韌度分別為KIc=0.8575MPa·m1/2和KIIc=0.9844MPa·m1/2。修正的MSED準(zhǔn)則與其他傳統(tǒng)的經(jīng)典準(zhǔn)則相比，它需要實(shí)驗(yàn)的II型斷裂韌度值，因此一些常見(jiàn)的不能測(cè)量純II型的實(shí)驗(yàn)，例如單向拉伸和矩形梁三點(diǎn)彎曲，無(wú)法用MSED準(zhǔn)則預(yù)測(cè)和驗(yàn)證。然而，目前國(guó)際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)對(duì)于混合型斷裂提出的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量方法，如巴西圓盤(pán)，是適用于純I型到純II型任意混合度的構(gòu)件，除此之外，矩形梁四點(diǎn)彎曲、對(duì)角拉伸方形板、以及本文引用的半圓盤(pán)三點(diǎn)彎曲都是典型的可測(cè)量全混合度的實(shí)驗(yàn)方案。MSED準(zhǔn)則的計(jì)算過(guò)程如下：

將式(1)、 式(8)、 式(9)代入式(12)，得到：

圖2 MSED及MTS準(zhǔn)則與半圓盤(pán)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

(13)

式(13)右邊的分子分母同除以KIIKIc，并且設(shè)KIIc/KIc=m，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可知I型和II型斷裂韌度比值為m=1.148，因此我們可以得到

(14)

式(14)左右兩邊分別同除以KI2和KII2，

(15)

(16)

對(duì)于特定的I/II型混合度，根據(jù)式(11)可以計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的起裂角θ0，然后代入到式(2)中，再結(jié)合式(15)、式(16)，就可繪制出KI/KIc與KII/KIc的包絡(luò)圖(圖2)。

由圖2可以看出來(lái)，由于骨粒隨機(jī)分布，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的離散型較大，但是MSED仍然與結(jié)果非常吻合，而MTS準(zhǔn)則明顯低于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值。值得注意的是，MTS與泊松比無(wú)關(guān)，而MSED準(zhǔn)則無(wú)論是平面應(yīng)力狀態(tài)還是平面應(yīng)變狀態(tài)均與泊松比有關(guān)。此處選取瀝青混凝土的泊松比0.17。

4 結(jié)論

通過(guò)討論可以得到以下結(jié)論：

(1)基于傳統(tǒng)的SED準(zhǔn)則，推導(dǎo)出了MSED準(zhǔn)則，能更精確的預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

(2)MSED準(zhǔn)則不僅與I型斷裂韌度KIc有關(guān)，而且與II型斷裂韌度KIIc有關(guān)，因此采用該準(zhǔn)則須提供KIIc的測(cè)量值，半圓盤(pán)三點(diǎn)彎曲試件是應(yīng)用廣泛的可測(cè)量任意混合度的構(gòu)件，將MSED準(zhǔn)則與文獻(xiàn)的瀝青混凝土結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合度非常好。

(3)MSED準(zhǔn)則與傳統(tǒng)的準(zhǔn)則不同，它是依靠實(shí)驗(yàn)實(shí)際的加載條件及構(gòu)建形狀進(jìn)行調(diào)整的，而其他準(zhǔn)則只會(huì)因選取的泊松比不同略有改變，如SED準(zhǔn)則；或者預(yù)測(cè)結(jié)果不會(huì)有任何變化，例如MTS準(zhǔn)則。