饒明航, 谷任奇, 李紅義

(西南交通大學(xué)，四川成都 610031)

流體對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)造成阻礙并消耗其能量，這一影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)的氣動(dòng)力參數(shù)稱為氣動(dòng)阻尼[1]。氣動(dòng)阻尼受結(jié)構(gòu)外形、風(fēng)場特性、風(fēng)速等很多因素影響，產(chǎn)生機(jī)理十分復(fù)雜。氣動(dòng)阻尼的理論解析和數(shù)值風(fēng)洞研究都有一定難度，而風(fēng)洞試驗(yàn)是目前研究氣動(dòng)阻尼的常用手段。風(fēng)洞試驗(yàn)研究的關(guān)鍵問題之一就是如何從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確識(shí)別氣動(dòng)阻尼，傳統(tǒng)的阻尼識(shí)別方法主要分為兩類：譜分析方法、時(shí)間序列法[2]。其中時(shí)間序列法里的隨機(jī)減量法在氣動(dòng)阻尼識(shí)別上應(yīng)用較多，但是對(duì)于多自由度系統(tǒng)，隨機(jī)減量法會(huì)混有多階模態(tài)和噪聲信號(hào)。因此，隨機(jī)減量法常與其他方法相結(jié)合來識(shí)別氣動(dòng)阻尼，其中Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang transform,簡稱HHT)和小波變換是研究最多的兩種氣動(dòng)阻尼識(shí)別方法。另外，大多的阻尼識(shí)別方法包括隨機(jī)減量法，都無法確定阻尼比的識(shí)別精度，而譜分析方法中的快速貝葉斯FFT則可以通過阻尼的后驗(yàn)變異系數(shù)確認(rèn)識(shí)別精度[3]。

因此，本文首先對(duì)譜分析方法和時(shí)間序列法這兩類方法進(jìn)行了介紹和分析；其次，對(duì)以隨機(jī)減量法為基礎(chǔ)的HHT和小波分析進(jìn)行了詳細(xì)介紹，并進(jìn)行分析和比較；最后，對(duì)譜分析方法中快速貝葉斯FFT方法進(jìn)行了詳細(xì)闡述和分析。

1 氣動(dòng)阻尼識(shí)別方法

氣動(dòng)阻尼是通過識(shí)別結(jié)構(gòu)自身阻尼和總阻尼，再由總阻尼減去自身阻尼得到的。傳統(tǒng)的阻尼識(shí)別方法主要分為譜分析方法和時(shí)間序列法[2]。譜分析方法包括：譜距法、譜曲線擬合法、半功率帶寬法、對(duì)數(shù)遞減法、快速貝葉斯FFT等。時(shí)間序列法又包括：最大熵法、自回歸法、自相關(guān)衰減法、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)法、隨機(jī)子空間法以及隨機(jī)減量法等。

1.1 譜分析方法

對(duì)有限時(shí)長信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換的譜分析方法必然會(huì)有誤差。選擇較長的數(shù)據(jù)是減小譜分析方法誤差的有效辦法，但是這又會(huì)降低精度。因此，需要通過增加自由度、合并相鄰的譜估計(jì)、對(duì)幾個(gè)譜估計(jì)進(jìn)行整體平均等方法來提高譜分析方法的精度。由于較長數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定性，運(yùn)用這些方法時(shí)通常需要通過曲線擬合來保證譜估計(jì)值的平滑性，如Breukelman[4]和Jones等[5]分別采用最大似然估計(jì)和最小二乘法對(duì)單自由度系統(tǒng)譜估計(jì)進(jìn)行了擬合。但是Jeary[6]指出，曲線擬合適用于線性系統(tǒng)，卻無法反映非線性系統(tǒng)的特征。

1.2 時(shí)間序列法

時(shí)間序列法相比較于譜分析方法，不存在短數(shù)據(jù)的分辨率不足問題和長數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定性問題。但是文獻(xiàn)[7-9]指出，這一方法對(duì)模態(tài)階數(shù)十分敏感，以自回歸模型為例，模態(tài)階數(shù)太少可能得不到主峰值，而模態(tài)階數(shù)太多又會(huì)產(chǎn)生偽峰值。因此，選擇合適的模態(tài)階數(shù)才能通過時(shí)間序列法得到比較精確的阻尼。

時(shí)間序列法中的隨機(jī)減量法是目前評(píng)估風(fēng)振結(jié)構(gòu)阻尼較多的一種方法。Cole[10]在1969年提出了隨機(jī)減量法，基本思想是：從零平均隨機(jī)激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)采集樣本，保證每個(gè)樣本的初始條件相同；再對(duì)樣本進(jìn)行整體平均，消除了外界激勵(lì)引起的響應(yīng)，進(jìn)而得到相同初始條件的自由振動(dòng)響應(yīng)；最后對(duì)自由振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)阻尼的評(píng)估。譜分析方法大都要求信號(hào)是平穩(wěn)的和線性的，而隨機(jī)減量法不僅可以進(jìn)行線性結(jié)構(gòu)的阻尼評(píng)估，也適用于非線性結(jié)構(gòu)[11]。Jery[11]采用隨機(jī)減量法對(duì)已有的幾個(gè)非線性結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的信號(hào)進(jìn)行阻尼評(píng)估，得到的阻尼與公認(rèn)正確的結(jié)論吻合良好。

對(duì)于多自由度系統(tǒng)信號(hào)，采用隨機(jī)減量法通常會(huì)混有多階模態(tài)和噪聲信號(hào)。另一方面，大多的阻尼識(shí)別方法包括隨機(jī)減量法，都無法確定阻尼比的識(shí)別精度。因此，本文將對(duì)目前較為前沿的HHT方法、小波變換以及快速貝葉斯FFT進(jìn)行闡述分析，其中HHT和小波變換都是與隨機(jī)減量法相結(jié)合來識(shí)別氣動(dòng)阻尼的。

2 Hilbert-Huang變換

Huang[12]在1998年提出的一種分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)、具有自適應(yīng)性的處理方法，即Hilbert-Huang變換。這一方法由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法(Empirical mode decomposition，簡稱EMD)和希爾伯特變換(Hilbert transform，簡稱HT)兩部分組成。

2.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法

對(duì)信號(hào)進(jìn)行EMD處理，可以使信號(hào)平穩(wěn)化，并產(chǎn)生一組具有不同特征尺度的序列，即本征模函數(shù)(intrinsic mode Function，簡稱IMF)。EMD的具體步驟是：分別對(duì)信號(hào)X(t)的極大值和極小值進(jìn)行三次樣條曲線擬合，形成上下包絡(luò)線。將上下包絡(luò)線進(jìn)行整體平均，得到均值m1(t)，再用X(t)減去m1(t)得到新的序列h1(t)：

h1(t)=X(t)-m1(t)

(1)

重復(fù)以上過程k次，若mk(t)趨近于零，就獲得了第一個(gè)IMF分量C1(t)：

C1(t)=hk(t)=hk-1(t)-mk(t)

(2)

用原始序列X(t)減去C1(t)得到剩余項(xiàng)r1(t)，再對(duì)r1(t)重復(fù)上述平穩(wěn)化過程，就可以獲得第二個(gè)IMF分量C2(t)，如此重復(fù)直到余項(xiàng)rn(t)不能再被分解為止。最后原始序列X(t)可以表示為n個(gè)IMF分量和余項(xiàng)：

(3)

2.2 希爾伯特變換

通過HT對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，可以得到信號(hào)幅值和頻率隨時(shí)間變化的關(guān)系[13]。對(duì)信號(hào)δ(t)進(jìn)行希爾伯特變換可得：

(4)

(5)

式中：a(t)為幅值函數(shù)，θ(t)為相位角函數(shù)：

a(t)=Ae-ξω0t

(6)

θ(t)=ωdt+φ0

(7)

對(duì)式(6)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換可得：

Ina(t)=InA-ξω0t

(8)

HHT識(shí)別氣動(dòng)阻尼的具體步驟為：先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解；再將關(guān)心的IMF分量用隨機(jī)減量法處理，得到自由衰減曲線；最后對(duì)自由衰減曲線進(jìn)行希爾伯特變換，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行最小二乘擬合求得阻尼比。

孫旭峰[14]和樓文娟等[15]采用HHT和隨機(jī)減量法相結(jié)合的方法，分別識(shí)別了肋環(huán)型索穹頂結(jié)構(gòu)和大跨度柔性屋蓋結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)阻尼，表明HHT適用于大跨度這種非線性結(jié)構(gòu)，可以較好的分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)。但是使用HHT識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)會(huì)有以下問題：(1)在低頻段產(chǎn)生不期望的本征模函數(shù)[16]、難以分離微弱信號(hào)或能量小的模態(tài)[17]；(2)EMD分解過程中的端點(diǎn)效應(yīng)會(huì)不斷積累誤差，以致高階本征模函數(shù)失真[18]。為了解決第一個(gè)問題，潘峰等[19]和徐正[20]在運(yùn)用HHT識(shí)別結(jié)構(gòu)氣動(dòng)阻尼時(shí)引入了帶通濾波。除此以外，還有引入間歇準(zhǔn)則、加入偽信號(hào)等方法也可以解決第一個(gè)問題。對(duì)于端點(diǎn)效應(yīng)問題，Huang提出采用特征波進(jìn)行端點(diǎn)延拓，但是并沒有給出確定特征波的方法[18]。

3 小波分析

小波分析是一種時(shí)頻局部化方法，其窗口大小一定而形狀可以改變。若平方可積的實(shí)數(shù)域L2(R)內(nèi)有信號(hào)x(t)和基小波g(t)，其中g(shù)(t)滿足小波允許條件，則x(t)經(jīng)過小波變換可得小波系數(shù)W(a,t)。

(9)

式中：a為尺度因子，*表示共軛。模態(tài)參數(shù)識(shí)別通常采用復(fù)Morlet小波，主要是因?yàn)閺?fù)Morlet小波實(shí)部和虛部的幅值函數(shù)與結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)信號(hào)有相同的函數(shù)形式，且復(fù)Morlet小波不存在尺度函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)任意時(shí)頻域的分辨率，對(duì)密集模態(tài)的識(shí)別效果較好[21]。復(fù)Morlet小波的時(shí)域表達(dá)形式如下：

(10)

其中fc為中心頻率，fb為帶寬頻率。對(duì)式(10)進(jìn)行傅里葉變換，可得復(fù)Morlet小波頻域表達(dá)形式為：

G(af)=e-π2fb(af-fc)2-e-π2fb((af)2+fc2)

(11)

(12)

G(af)=e-π2fb(af-fc)2

(13)

對(duì)式(13)取極值可知因子a=fc/f。假設(shè)結(jié)構(gòu)為有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的多自由度粘性阻尼系統(tǒng)，其自由響應(yīng)信號(hào)為：

(14)

其中Ak為第k階模態(tài)幅值；θk為相位角；fk、fdk和ξk分別為第k階的無阻尼頻率、有阻尼頻率和阻尼比，且滿足：

(15)

將式(12)、式(14)代入式(9)中可得：

(16)

由第k階尺度因子ak=fc/fk可得：

(17)

(18)

ξk=-λ1/(2πfk)

(19)

當(dāng)采用小波分析識(shí)別結(jié)構(gòu)氣動(dòng)阻尼時(shí)，首先通過隨機(jī)減量法得到結(jié)構(gòu)的自由衰減曲線，再進(jìn)行小波分析，按上述方法得到阻尼比。

文獻(xiàn)[22-23]聯(lián)合采用隨機(jī)減量法和小波變換，對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，從而成功的引入了新的時(shí)頻分析方法。吳海洋等[24]正是運(yùn)用這一方法識(shí)別了一多自由度高層建筑的氣動(dòng)阻尼，表明基于隨機(jī)減量法的小波分析適用于多自由度結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)阻尼識(shí)別。在模態(tài)參數(shù)分析的過程中，小波分析會(huì)產(chǎn)生邊界效應(yīng)問題。針對(duì)這一問題，吳海洋等[24]從實(shí)用角度出發(fā)，除去端部而只取中間數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，較好的識(shí)別了氣動(dòng)阻尼。另外，Kijewski等[23]詳細(xì)分析了邊界效應(yīng)問題，提出在端部增補(bǔ)數(shù)據(jù)來減少邊界效應(yīng)的影響。

小波變換和HHT變換都是處理非平穩(wěn)非線性信號(hào)的時(shí)頻分析方法，與隨機(jī)減量法相結(jié)合都可用于識(shí)別結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)阻尼。HHT變換不需要任何的先驗(yàn)知識(shí)，具有良好的自適應(yīng)性，但是沒有完善數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)存在模態(tài)混淆和端點(diǎn)效應(yīng)問題。小波變換則具有完善的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行詳細(xì)的時(shí)頻分析和多分辨率分析，但存在邊界效應(yīng)問題。

4 快速貝葉斯FFT方法

Yuen和Katafygiotis[25-27]提出了基于貝葉斯快速傅里葉變換(Bayesian Fast Fourier Transform, Bayesian FFT)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。這一方法有以下幾個(gè)難點(diǎn)：(1)自由度和模態(tài)參數(shù)的增加導(dǎo)致求解目標(biāo)函數(shù)時(shí)會(huì)涉及到一個(gè)病態(tài)矩陣的逆矩陣；(2)模態(tài)參數(shù)的最佳估計(jì)需要求解的數(shù)值優(yōu)化問題維度過多；(3)三是需要通過有限差分法來確定Hessian矩陣，這些難點(diǎn)使得該方法的應(yīng)用受到很大的限制[28]。針對(duì)這些難點(diǎn)，Au[28]提出了快速貝葉斯FFT(Fast Bayesian FFT)方法。該方法是對(duì)某一共振頻率帶上的單一模態(tài)進(jìn)行分析，因此不需要考慮自由度的數(shù)量，并且模態(tài)參數(shù)的最佳估計(jì)和Hessian矩陣可以分別通過求解一個(gè)四維數(shù)值優(yōu)化問題和對(duì)數(shù)似然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來確定。Au等[29]運(yùn)用快速貝葉斯FFT方法識(shí)別了一個(gè)主-次結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

快速貝葉斯FFT方法將加速度響應(yīng)表示為：

(20)

(21)

式中：i2=-1，Δt為釆樣時(shí)間間隔，F(xiàn)k和Gk為傅里葉變換的實(shí)部及虛部，由于采樣通道的電壓偏置和傅里葉變換共軛等原因，僅取k=2,...,Nq，Nq=int[N/2]+1。

根據(jù)貝葉斯理論，后驗(yàn)概率密度函數(shù)PDF可以由對(duì)數(shù)似然函數(shù)L(θ)表示：

p(θ|{Zk})∝exp[-L(θ)]

(22)

L(θ)= -nNfIn2+(n-1)NfInSe

(23)

θ為模態(tài)參數(shù)，包括自振頻率f、阻尼比ξ、振型Φ、功率譜密度S以及預(yù)測誤差的譜密度Se，Nf為計(jì)算模態(tài)相應(yīng)頻段上的離散頻率值，k為對(duì)應(yīng)頻帶內(nèi)傅里葉變換所對(duì)應(yīng)的值，并且有：

(24)

(25)

(26)

通過對(duì)式(23)的無約束優(yōu)化就可以求得阻尼比，而后驗(yàn)不確定性可通過后驗(yàn)協(xié)方差矩陣來計(jì)算，其大小可以根據(jù)各自的后驗(yàn)變異系數(shù)來進(jìn)行衡量。

快速貝葉斯FFT方法已被國內(nèi)外多次用來識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，并且該方法還可以評(píng)估參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性。黃銘楓[30]采用快速貝葉斯FFT方法對(duì)高層結(jié)構(gòu)氣動(dòng)阻尼進(jìn)行了識(shí)別并與HHT方法識(shí)別的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，兩者識(shí)別出的阻尼較為接近。在采用快速貝葉斯FFT方法識(shí)別氣動(dòng)阻尼時(shí)，需要注意兩點(diǎn)[3]：一是選擇不同共振頻率帶會(huì)得到不同的阻尼比識(shí)別結(jié)果，因此需要多選擇幾次才能得到理想的結(jié)果；二是采樣數(shù)據(jù)盡量要多一些，識(shí)別精度會(huì)有所增加。

由于快速貝葉斯FFT是直接對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，并考慮了統(tǒng)計(jì)估計(jì)誤差，因此其在識(shí)別阻尼比時(shí)減少了人為因素的影響。另外，大多數(shù)模態(tài)識(shí)別方法都無法確定阻尼比的識(shí)別精度，而快速貝葉斯FFT方法可以根據(jù)模態(tài)參數(shù)的后驗(yàn)變異系數(shù)確認(rèn)各模態(tài)參數(shù)的識(shí)別精度。

5 結(jié)論

本文對(duì)傳統(tǒng)的氣動(dòng)阻尼識(shí)別方法進(jìn)行了闡述分析，并進(jìn)一步詳細(xì)地介紹了HHT、小波分析和快速貝葉斯FFT，得出以下結(jié)論：

(1)譜分析方法要求信號(hào)是平穩(wěn)的和線性的，而時(shí)間序列法中的隨機(jī)減量法則可以適用于非線性系統(tǒng)，從而可以更廣泛的應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)阻尼識(shí)別。(2)小波變換和HHT變換都是處理非平穩(wěn)非線性信號(hào)的時(shí)頻分析方法。HHT變換具有良好的自適應(yīng)性，但是沒有完善數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)存在模態(tài)混淆和端點(diǎn)效應(yīng)問題；而小波變換具有完善的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行詳細(xì)的時(shí)頻分析和多分辨率分析，但存在邊界效應(yīng)問題。(3)快速貝葉斯FFT方法考慮了統(tǒng)計(jì)估計(jì)誤差，減少了人為因素對(duì)阻尼比識(shí)別的影響，并且快速貝葉斯FFT方法可以確認(rèn)對(duì)各模態(tài)參數(shù)的識(shí)別精度。