周燕茹,曾建平,邵振華,黃程愷

(1.廈門理工學院電氣工程與自動化學院,福建 廈門 361024;2.廈門大學信息科學與技術學院,福建 廈門 361005)

在控制設計研究中,采用狀態(tài)反饋的前提條件是被控對象的狀態(tài)都可獲知．然而,在許多實際工程系統(tǒng)中,一些狀態(tài)往往不能直接測量,或因技術成本太高而無法進行測量．針對此種情況,可采用基于觀測器的狀態(tài)反饋控制方式,即通過系統(tǒng)輸出信號來對這些不可測狀態(tài)進行估計,以實現(xiàn)特定的控制目標．迄今,基于觀測器的控制方法已受到廣泛的關注,并取得了大量的研究成果[1-8]．

對線性時不變系統(tǒng),Park等[1]設計了一種新型的線性動態(tài)觀測器．該觀測器的增益存在動態(tài)特性,可視為經典Luenberger觀測器[2]在結構上的擴展,也可認為是動態(tài)輸出反饋控制機制的一種對偶形式[3]．與經典的Luenberger觀測器相比,動態(tài)觀測器的最大優(yōu)勢在于可提供更多控制設計自由度．目前,動態(tài)觀測器已被應用于各類控制問題研究,如傳感器故障診斷的H∞控制[4]、Lipschitz非線性系統(tǒng)的H∞控制[5]、不確定T-S模糊系統(tǒng)的魯棒H∞控制[6]和線性廣義系統(tǒng)的H∞控制[7]等．然而,這些現(xiàn)有成果大多采用線性控制．由于非線性系統(tǒng)固有的復雜性,且缺乏一般的非線性求解方法和工具,動態(tài)觀測器在非線性控制領域還未能得到實質性的推廣應用．

近來快速發(fā)展的多項式平方和(sum of squares,SOS)理論有力地促進了非線性系統(tǒng)研究,特別是在基于SOS的非線性狀態(tài)反饋控制問題上取得了重大突破[8-10]．SOS可為多項式非負性判斷提供有效的凸松弛算法[11]．在其框架下,一方面,許多成熟的線性控制理論可推廣應用于多項式非線性系統(tǒng)[9];另一方面,各種帶多項式約束的非線性控制問題都可轉化為SOS凸規(guī)劃問題．

本文中針對一類特定的多項式非線性系統(tǒng),采用SOS研究基于動態(tài)觀測器的非線性H∞控制問題．根據(jù)線性動態(tài)觀測器形式和系統(tǒng)結構特征,構造出相應的非線性降維動態(tài)觀測器;觀測器的非線性H∞控制問題被轉換為SOS凸優(yōu)化問題,從而有效地避免了構造Lyapunov函數(shù)和數(shù)值仿真的困難;所得非線性觀測器和控制器僅是關于系統(tǒng)狀態(tài)的多項式或有理式函數(shù),從工程實現(xiàn)的角度來看,與傳統(tǒng)線性觀測器和控制器相比,實現(xiàn)這種非線性觀測器和控制器所增加的復雜性很有限．

1　問題描述和預備

1.1　系統(tǒng)描述和問題聲明

考慮如下一類特定的多項式型非線性系統(tǒng)

(1)

注1系統(tǒng)(1)具有的結構特征:1) 動力學行為由一個類線性微分方程來描述;2) 系數(shù)矩陣的元素是關于可測狀態(tài)的多項式函數(shù)．許多實踐和理論研究對象可以被描述為類似系統(tǒng)(1)的形式,如質量彈簧阻尼系統(tǒng)[12]、洛倫茲(Lorentz)和羅斯勒(Rossler)混沌系統(tǒng)[13]以及各種航天器姿態(tài)模型[9]等．

問題1基于動態(tài)觀測器的非線性H∞控制問題:針對系統(tǒng)(1),本文中的控制目標是設計一個基于動態(tài)觀測器的非線性H∞控制器,使得相應閉環(huán)系統(tǒng)在零平衡點漸近穩(wěn)定且有L2-增益≤γ．

1.2　預備知識

則系統(tǒng)的L2-增益≤γ．

定義2(SOS)[15]設f(x)是一個關于x∈Rn的多項式,如果存在一組多項式f1(x),f2(x),…,fm(x)使得

(2)

則稱f(x)為SOS多項式．

顯然,f(x)∈Φsos意味著對所有x∈Rn,都有f(x)≥0．SOS條件(2)也等價于存在一個常數(shù)矩陣Q≥0使得f(x)=ZT(x)QZ(x),其中Z(x)是由關于x的單項式構成的適當維列向量．

在本節(jié)的最后,給出了后續(xù)推導需要用到的兩個引理．

引理2[8]設P(x)∈S[x]m對所有x∈Rn都是非奇異的,則有

2　基于動態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制

根據(jù)系統(tǒng)(1)的結構特征,可構造其子狀態(tài)x2的一個動態(tài)觀測器．首先,由系統(tǒng)(1),有

(3)

(4)

(5)

A21(x1)y+B22(x1)u+Cd(x1)xd+

(6)

(7)

于是,由式(6)和(7)即可得出系統(tǒng)(1)的降維動態(tài)觀測器為

Dd(xJ)B21(x1))u+Cd(x1)xd,

xd=hd+Bd(xJ)y.

(8)

Cd(x1)xd+B12(x1)w

(9)

的零平衡點是漸近穩(wěn)定的．

注3如果A(x1),B2(x1),Ad(x1),Bd(xJ),Cd(x1)和Dd(xJ)都簡化為常數(shù)矩陣,則非線性觀測器(8)就簡化為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)中的線性降維動態(tài)觀測器．換言之,不同于該線性動態(tài)觀測器,觀測器(8)的參數(shù)矩陣均與系統(tǒng)(1)的可測子狀態(tài)x1相關．在后續(xù)討論中,將解決非線性動態(tài)觀測器(8)和相應控制器的求解問題．

基于觀測器(8),設計如下狀態(tài)反饋控制器

(10)

(11)

再由式(1)和(9),可得

(12)

綜上,結合式(9)～(12),可構成如下閉環(huán)系統(tǒng):

(13)

Acl1(x1)=A(x1)+B2(x1)K(x1),

Acl4(x1)=Bd(xJ)A12(x1),

Acl3(x1)=A22(x1)-Dd(xJ)A12(x1),

Ccl(x1)=[C1(x1)+

D2(x1)K(x1)C1(x1)Q10].

對于系統(tǒng)(1),基于動態(tài)觀測器的非線性H∞控制問題具體是指設計降維動態(tài)觀測器(8)和狀態(tài)反饋控制器(10),使得相應閉環(huán)系統(tǒng)(13)的零平衡點是漸近穩(wěn)定的且有L2-增益≤γ．

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,可先建立上述系統(tǒng)的一個H∞性能準則．

0,

(14)

則閉環(huán)系統(tǒng)(11)在零平衡點漸近穩(wěn)定且L2-增益≤γ．

對系統(tǒng)(13),又有

再根據(jù)Schur補引理,由式(14)成立,可知

(15)

V(xcl(T))-V(xcl(0))≥0.

由定義1,又知該系統(tǒng)的L2-增益≤γ．

在定理1的基礎上,采用SOS理論,并限定P(xJ),Ad(x1),Bd(xJ),Cd(x1)和Dd(xJ)均為多項式矩陣,可得出該基于動態(tài)觀測器的非線性H∞控制問題的一個可解性條件．

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

其中,v1∈Rq,v2∈Rq,v3∈Rn,v4∈R2q,v5∈Rn+2q+r+l,

Ξ1(x1)∶=He(A(x1)X1(xJ)+B2(x1)Y(x1))-

Ξ3(x1)∶=He(A22(x1)M11+Cc(x1)),

(Dc(xJ)A12(x1))T,

Ξ6(x1)∶=He(P11A22(x1)+Bc(xJ)A12(x1)),

Ξ7(x1)∶=C1(x1)X1(xJ)+D2(x1)Y(x1)．

此時,控制器增益矩陣及觀測器參數(shù)矩陣分別為

Dd(xJ)=Dc(xJ),

Cd(x1)=-(Cc(x1)+Dd(xJ)

Dd(xJ)A12(x1))M11-P12Bd(xJ)

(21)

其中,P12和M12是可逆矩陣且滿足

(22)

證明根據(jù)定義2,由條件(16)～(20)成立,可知

P11>0,M11>0,X1(xJ)>0,

(23)

(24)

由式(24),易知P2>0等價于

Y(x1)=K(x1)X1(xJ),

Ac(x1)=P11(A22(x1)-Dd(xJ)A12(x1))M11-

Bc(xJ)=-P11Dd(xJ)+P12Bd(xJ),

Dc(xJ)=Dd(xJ),

就可得出Ξ(x1)<0．

綜上所述,條件(23)是式(14)成立的一個充分條件．根據(jù)定理1,可知該基于動態(tài)觀測器的非線性H∞控制問題可解,且相應控制器和觀測器的增益能通過式(21)來構造．

注4在定理2中,X1(xJ)所有元素的最高階數(shù)應為偶數(shù),這是式(18)成立的前提條件．

注6對于式(21),在求出P11和M11之后,可以通過矩陣I-P11M11的奇異值分解來得到可逆矩陣P12和M12．

3　數(shù)值仿真

為驗證所得非線性H∞控制設計方法的可行性和有效性,針對質量彈簧阻尼系統(tǒng),采用MATLAB/SOSTOOLS[8]進行控制設計求解,并給出相應的仿真效果圖和分析結論．

以文獻[12]中的非線性質量彈簧阻尼系統(tǒng)(如圖1所示)為仿真對象,其動力學方程為:

圖1　質量彈簧阻尼系統(tǒng)Fig.1 Mass-spring-damper system

(25)

對上述系統(tǒng),J=?,故X(xJ),Bc(xJ)和Dc(xJ)為常數(shù)矩陣．設定Ac(x1)、Cc(x1)和Y(x1)的最高階為2階,并給定仿真參數(shù)γ=0.9,δ(x1)=10-5,τi=0.1(i=1,2,3,4)．根據(jù)定理2,系統(tǒng)(25)的基于降維動態(tài)觀測器的非線性H∞控制問題可解,所得結果具體如下:

控制器增益矩陣為

K(x1)=

觀測器參數(shù)矩陣為

6.251 0,

Bd(xJ)=13.407 1,

0.850 9,

Dd(xJ)=-0.789 6．

(i) 標稱系統(tǒng)(nominal system,NS):w=0;

(ii) 受擾系統(tǒng)1(disturbed system 1,DS1):

(iii) 受擾系統(tǒng)2(disturbed system 2,DS2):

w=

圖2　x1的時間響應曲線Fig.2 Trajectories of x1

圖和x2的時間響應曲線Fig.3 Trajectories of and x2

圖4　xd的時間響應曲線Fig.4 Trajectories of xd

圖5　控制輸入u曲線Fig.5 Control input u

圖6　外部干擾w曲線Fig.6 External disturbances w

4　結　論

借鑒線性動態(tài)觀測器形式和變量替換法研究思路,本文中針對一類特定的多項式系統(tǒng),采用Lyapunov穩(wěn)定性理論結合SOS方法,給出一種基于動態(tài)觀測器的非線性H∞控制設計方法．該方法可借助有效凸優(yōu)化算法進行檢驗,在一定程度上解決了非線性系統(tǒng)的計算困難,且相應控制器僅是關于系統(tǒng)狀態(tài)的多項式或有理式函數(shù),易于工程實現(xiàn)．仿真結果表明,所得控制器能保證相應閉環(huán)系統(tǒng)在零平衡點漸近穩(wěn)定,且對外部擾動具有較強抑制能力．當然,考慮到工程實際系統(tǒng)往往存在著各種不確定性,可在本文工作基礎上進一步研究基于動態(tài)觀測器的非線性魯棒控制問題．

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