董俊言，薛大文，毛明鋒，蔡足銘

(浙江海洋大學(xué)港航與交通運輸工程學(xué)院，浙江舟山 316022)

巖土工程中，巖土的三軸試驗是是研究巖土體材料破壞規(guī)律的基礎(chǔ)實驗，其主要是通過擬合求解三軸試驗應(yīng)力摩爾圓包絡(luò)線以獲取土樣的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ。低圍壓情況下(σ3＜10 MPa)，巖土體破壞的摩爾庫倫線性模型是在實際應(yīng)用中最為常用的模型[1]。作為低圍壓土體的典型代表，軟土在我國分布廣泛，沿海、內(nèi)陸湖盆、洼地及河流兩岸地域隨處可見，如長江、珠江三角洲地帶，黃淮沖擊平原，洞庭湖、洪澤湖等內(nèi)陸湖盆等均富含軟土分布。隨著我國社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展，人們與海洋軟土資源的接觸日益頻繁。因此，對包含海洋軟土在內(nèi)的低圍壓土體的三軸試驗數(shù)據(jù)處理具有及其重要的現(xiàn)實意義。

在常用的巖土三軸試驗數(shù)據(jù)處理中，通常做法是，對同一種巖土樣的多個試件分別在不同的周圍壓力σ3下進(jìn)行試驗[2]。土樣在周圍壓力σ3的作用下，通過增大軸向壓力σ1，直至破壞。通過該方式可以做出一個摩爾圓。在此基礎(chǔ)上，改變圍壓σ3，重復(fù)上一步驟，得到多個應(yīng)力摩爾圓。此后通過求解這些應(yīng)力圓的公切線，根據(jù)包絡(luò)線的截距和斜率，以此獲得該土樣粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ的數(shù)值。

目前來說，已有眾多學(xué)者研究了對三軸試驗?zāi)枅A的不同的處理方法。鄒宗興等[3]采用先對相鄰的應(yīng)力摩爾圓求得c、φ值，然后再通過求均值來獲得土樣的抗剪強(qiáng)度參數(shù)。該方法計算較為簡單，但其結(jié)果較為粗糙，精度較低，誤差較大?！端妿r石試驗規(guī)程》[4]中的做法是，對同組的試驗中的σ1、σ3作最小二乘線性擬合，在直線上等間距取5～6組σ＇1、σ＇3，再做摩爾圓，最后再做這些圓的公切線得到c、φ值。該方法精度較文獻(xiàn)[3]的方法高，但操作復(fù)雜，計算繁瑣。王星輝[5]采用三軸強(qiáng)度指標(biāo)回歸的方法，求出每兩圓公切線的切點，然后擬合所有的切點作求得參數(shù)c、φ值。此外，還有楊同等[6]、王艷芳等[7]、吳力平等[8]、李馳等[9]均提出了各自不同的方案對三軸試驗數(shù)據(jù)處理?？傮w來說，此類方法都操作可行，但對試驗數(shù)據(jù)的可靠性論證稍顯不足。馬惠彪等[10]、田兆陽等[11]、孫紅等[12]、陳超斌等[13]均對海洋軟土進(jìn)行過三軸試驗研究，但他們并未提出對三軸試驗數(shù)據(jù)編程擬合及其軟件實現(xiàn)。

綜上所述，本文基于最小二乘法對低圍壓土體的三軸試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，并對擬合程序進(jìn)行軟件實現(xiàn)。文章重點對低圍壓土體摩爾圓包絡(luò)線的線性擬合進(jìn)行詳細(xì)的公式推導(dǎo)，采用牛頓迭代求解擬合過程中出現(xiàn)的非線性方程組以此獲得抗剪強(qiáng)度參數(shù)粘聚力和內(nèi)摩擦角。在此基礎(chǔ)上，通過MFC類庫搭建用戶界面，將以上計算方法實現(xiàn)軟件化，以此替代手工圖解或計算機(jī)交互圖解，促進(jìn)并指導(dǎo)相應(yīng)專業(yè)和領(lǐng)域中的應(yīng)用。

1 線性擬合方法詳解

1.1 圖表法

如圖1所示，圖中摩爾圓代表了受力物體內(nèi)某一點的應(yīng)力情況，其中，橫坐標(biāo)的數(shù)值為正應(yīng)力值，而縱坐標(biāo)的數(shù)值為剪應(yīng)力值。經(jīng)過截面上的正應(yīng)力值和剪應(yīng)力值可以由摩爾圓圓周上所對應(yīng)的坐標(biāo)來表示。由于摩爾圓的圓周有無數(shù)點，其代表了無數(shù)個土樣不同斜度的截面上的應(yīng)力值，那么整個圓就代表了一個應(yīng)力狀態(tài)。半徑長度代表了最大剪應(yīng)力，而圓心到坐標(biāo)原點的距離則代表了平均應(yīng)力，差應(yīng)力（σ3-σ1）的值為圓的直徑。通過手工繪制在圖上，觀察摩爾圓的大小和距坐標(biāo)原點的遠(yuǎn)近，則可以大致了解其應(yīng)力狀態(tài)。由圖像分析得出，粘聚力與軸向破壞應(yīng)力大致成正比關(guān)系。該方法清晰易懂，但操作繁瑣，耗時較長，對三軸試驗數(shù)值的求解精確度低，因而逐步形成以計算機(jī)求解為主的擬合方法（圖中摩爾圓第2個角標(biāo)表示為摩爾圓的序數(shù)）。

圖1 摩爾應(yīng)力圓線性擬合圖表法Fig.1 Graphical method for linear fitting of Mohr stress cycles

1.2 算法推導(dǎo)

本文通過最小二乘法對摩爾圓包絡(luò)線線性擬合，采用牛頓迭代求解擬合過程中出現(xiàn)的非線性方程組從而獲得較為精確數(shù)值。具體計算思路和算法推導(dǎo)如下：

定義σ1和σ3為巖土正應(yīng)力，假設(shè)擬合直線為（k為斜率，c為截距）：

為了求出上式極小值，分別對c和k求偏導(dǎo)得到：

為計算簡便，令

式子中的σoi為對k求偏導(dǎo)的表示式子，由于上述對偏導(dǎo)的求解過程中出現(xiàn)非線性項，采用牛頓迭代的方法對該方程組迭代求解，以求得近似的土樣粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ的數(shù)值。牛頓迭代法[14]具體如下：

設(shè)z=f(x,y)在點的(x0,y0)某一鄰域內(nèi)連續(xù)且直到2階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(x0+k，y0+k)為此鄰域內(nèi)任一點，則有：

則方程可表示為z=0可近似表示為：

同理z=g(x，y)可得到如下方程式：

方程z=g(x，y)=0可表示為

由此得到了一組方程組

求解出如下的方程組為：

記符號為：

求得的迭代公式為：

2 軟件實現(xiàn)及簡介

對上述算法在計算機(jī)中通過編寫C++程序，程序主要分為兩部分(主函數(shù)和子函數(shù))。主函數(shù)部分主要包括三軸試驗數(shù)據(jù)輸入，摩爾圓及擬合直線輸出。子函數(shù)部分包含牛頓迭代法的循環(huán)迭代過程。主函數(shù)通過調(diào)用子函數(shù)處理所輸入的三軸試驗大、小主應(yīng)力數(shù)據(jù)，從而求得土樣的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，即粘聚力和內(nèi)摩擦角。在此基礎(chǔ)上，再通過MFC類庫搭建用戶界面，將以上計算方法實現(xiàn)軟件化。本程序軟件界面及運行的效果如圖2所示。圖中窗口左邊為主應(yīng)力輸入框，目前最多可分別輸入大、小主應(yīng)力各6組的數(shù)據(jù)。右邊上半部的靜態(tài)文本框用于輸出結(jié)果，分別輸出擬合直線的斜率、內(nèi)摩擦角（弧度和角度）以及粘聚力（單位為kPa）。右邊下半部分的圖框用于顯示摩爾應(yīng)力圓以及所擬合的直線，通過該圖框圖像顯示擬合的過程與結(jié)果。

本軟件程序除了能實現(xiàn)各摩爾圓的線性擬合之外，還能檢驗三軸試驗數(shù)據(jù)的可靠性。如圖2b和2c所示為 3 組主應(yīng)力值和 4 組主應(yīng)力值測試結(jié)果，主應(yīng)力值分別為(20.5，10.45)，(50.65，30.98)，(90.15，60.63)和(20，10)，(50，30)，(86，53)，(62，38)。通過圖中的圖像擬合結(jié)果看出，各摩爾圓與擬合直線相切程度較高，表明這2組三軸試驗數(shù)據(jù)可靠性較高，真實有效。反觀圖2d中，對于該五組數(shù)值擬合結(jié)果，有部分摩爾圓與擬合直線相切程度不高，這是由于程序算法的本質(zhì)正是為了使擬合直線與所有圓的相切程度最高所致。從圖中可以看出，其中第五組數(shù)據(jù)（77，43）較其余4組數(shù)據(jù)可靠性低，誤差較大，系測量粗大誤差，在試驗數(shù)據(jù)處理時應(yīng)剔除。

圖2 摩爾圓線性擬合軟件運行效果圖Fig.2 Results of the linear fitting of Mohr circles with the s software

3 實例驗證

3.1 實例1

淮河入江水道軟土數(shù)據(jù)見表1。

表1 淮河入江水道的軟土數(shù)據(jù)[15]Tab.1 Data of soft soil in Huaihe River

根據(jù)軟件擬合結(jié)果(圖3)，得到該軟土的粘聚力c為6.370 6 KPa，內(nèi)摩擦角φ為12.261 6°，實驗測得的總應(yīng)力抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c為6.4 KPa，內(nèi)摩擦角φ為12.3°。軟件擬合數(shù)值相對誤差分別為0.45%和0.31%。

3.2 實例2

天津港某軟黏土三軸試驗數(shù)據(jù)見表2。

圖3 淮河入江水道的軟土擬合結(jié)果Fig.3 Fitting results of soft soil in Huaihe River

表2 某軟黏土土樣最大及最小主應(yīng)力[8]Tab.2 Maximum and minimum principal stress

軟件擬合結(jié)果(圖4)顯示該軟黏土的粘聚力c為10.704 KPa，內(nèi)摩擦角φ為19.513°，實驗測得的總應(yīng)力抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c為11.1 KPa，內(nèi)摩擦角φ為20.1°。軟件擬合數(shù)值相對誤差分別為3.56%和2.92%。

3.3 實例3

某泥質(zhì)砂巖三軸試驗數(shù)據(jù)見表3。

軟件擬合結(jié)果(圖5)顯示該軟黏土的粘聚力c為47.570 KPa，內(nèi)摩擦角φ為25.956°，實驗測得的總應(yīng)力抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c為45.33 KPa，內(nèi)摩擦角φ為26.9°。軟件擬合數(shù)值相對誤差分別為4.94%和3.51%。

圖4 軟件擬合效果圖Fig.4 The fitting results of the software

圖5 軟件擬合效果圖Fig.5 The fitting results of the software

表3 泥質(zhì)砂巖數(shù)據(jù)[2]Tab.3 Data of argillaceous sandstone

4 結(jié)論

低圍壓條件下的河口、海洋軟土通常均符合摩爾庫倫準(zhǔn)則，此時土體軸向破壞應(yīng)力與圍壓呈線性關(guān)系。為了對該類土體獲得較準(zhǔn)確的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，本文對三軸試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，通過C++程序?qū)δ枒?yīng)力圓線性擬合進(jìn)行程序編寫，采用牛頓迭代法處理非線性方程組，并通過MFC類庫搭建用戶界面將程序過程軟件實現(xiàn)。最后對不同河域、海域軟土試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行實例驗證，以對比驗證軟件的準(zhǔn)確度和精確性。本文總體結(jié)論如下：

(1)本文軟件程序除了能實現(xiàn)對摩爾應(yīng)力圓的線性擬合外，還能檢驗三軸試驗數(shù)據(jù)的可靠性，可為實驗數(shù)據(jù)處理中判別測量誤差，刪選有效實驗數(shù)據(jù)提供幫助。

(2)本文采用的計算方法精度高，迭代時間短，收斂速度快。通過實例對比驗證，軟件擬合數(shù)值相對誤差在5%以下。

(3)本軟件界面清晰，操作簡單，使用方便。與傳統(tǒng)的人工擬合方法或計算機(jī)交互圖解方法相比，本軟件程序優(yōu)勢明顯。本軟件廣泛適用于各低圍壓軟土土體，可直接促進(jìn)并指導(dǎo)相應(yīng)專業(yè)和領(lǐng)域中的應(yīng)用。