(江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學院 建筑設備與市政工程學院，江蘇 徐州　221116)

1　研究背景

雙曲線回歸函數(shù)(以下簡稱雙曲線函數(shù))常用于擬合工程沉降量隨時間的變化規(guī)律[1-4]。對于該函數(shù)的回歸計算，數(shù)理統(tǒng)計教科書、以往科技文獻以及生產(chǎn)實際中常用的方法是：首先，通過變量代換轉(zhuǎn)化為線性模型，并利用線性回歸方法推求線性回歸系數(shù)；然后，根據(jù)線性回歸系數(shù)反求雙曲線函數(shù)的回歸系數(shù)。這種方法稱為線性化回歸方法。該方法看似合理，其實不然。對于雙曲線函數(shù)，本文列舉了線性化回歸方法出現(xiàn)回歸失真實例，并基于雙曲線函數(shù)的因變量與將該函數(shù)線性化后的因變量二者的殘差平方和之間的關(guān)系式，分析了線性化回歸方法可能導致回歸失真的原因；提出應采用高斯-牛頓法等非線性回歸方法進行雙曲線函數(shù)回歸計算，并給出了借助MATLAB軟件進行求解的方法。

2　采用線性化回歸方法的失真現(xiàn)象與分析

丹土一級公路03A標伍家?guī)X隧道右線k2+546斷面測點E累計沉降值隨時間變化實測值見表1，通過回歸計算，用于預測隧道在該測點的沉降趨勢。

采用雙曲線函數(shù)擬合表1數(shù)據(jù)，其回歸模型為

(1)

式中：A，B為待估參數(shù)。

表1　伍家?guī)X隧道測點E累計沉降值隨時間變化的實測數(shù)據(jù)

2.1　線性化回歸方法的失真現(xiàn)象

設v=1/y,x=1/t,將式(1)線性化：

(2)

然后，將表1的樣本觀察值(ti,yi)轉(zhuǎn)化為(vi,xi),i=1～12，對式(2)線性回歸得：A=1.074 94，B=0.123 04，擬合直線見圖1，線性回歸的相關(guān)系數(shù)r=0.975 8，樣本點n=12，查相關(guān)系數(shù)檢驗臨界值r0.01=0.707 9，可見線性回歸的相關(guān)系數(shù)r大于相關(guān)系數(shù)檢驗臨界值r0.01=0.707 9，線性相關(guān)顯著。

根據(jù)上述線性回歸結(jié)果，求得非線性回歸系數(shù)A=1.074 94，B=0.123 04，進而用式(3)計算曲線回歸的相關(guān)指數(shù)(也稱確定性系數(shù))R2：

(3)

圖1　實例1線性化的擬合直線

時間t/d累計沉降值yi/mmvi=1/yiy4i^vi=Ax+B(vi-^vi)2(vi-^vi)2y4i^yi=tiA+Bti(yi-^yi)210.811.23460.43051.19800.00130.00060.83470.000621.370.72993.52280.66050.00480.01701.51400.020732.740.365056.36410.48140.01350.76352.07750.438943.260.3067112.94590.39180.00720.81652.55250.500654.030.2481263.76680.33800.00812.13122.95831.148574.310.2320345.07150.27660.00200.68593.61530.482694.150.2410296.61450.24250.00000.00074.12410.0007124.290.2331338.71090.21260.00040.14214.70330.1708144.170.2398302.37380.19980.00160.48355.00450.6963174.210.2375314.14370.18630.00260.82545.36851.3421204.260.2347329.33540.17680.00341.10625.65651.9503224.280.2336335.56380.17190.00381.27935.81732.3633合計0.04888.25199.1154

結(jié)果為R2=0.448 5。繪出雙曲線回歸函數(shù)的擬合曲線如圖2所示。

圖2　實例1采用線性化回歸方法所得的擬合曲線

上述計算結(jié)果表明，采用線性化回歸方法，盡管變量代換后線性回歸的擬合效果較好，但由其求得的雙曲線回歸方程擬合實測數(shù)據(jù)的效果并不好，擬合曲線未能反映實測點的分布情況。盡管對雙曲線線性化后的相關(guān)系數(shù)平方r2=0.952 2,接近1，而曲線回歸的相關(guān)指數(shù)R2卻較小，出現(xiàn)了擬合失真現(xiàn)象。

2.2　失真現(xiàn)象分析

(4)

(5)

3　雙曲線函數(shù)的非線性回歸方法及實現(xiàn)

為提高雙曲線函數(shù)的擬合精度，本文提出應采用高斯-牛頓法、麥夸爾特法等非線性回歸方法。

一般地，對于一元非線性模型

y=f(x,θ)+ε

式中，f為一般函數(shù)；θ為P維參數(shù)向量，即θ=(θ1,θ2,…,θp)′；ε為隨機誤差項，且ε服從N(0，σ2)。設y和x具有n組觀察值(xi，yi)，i=1～n。高斯-牛頓法求解非線性模型參數(shù)的“最小二乘”估計的參數(shù)遞推公式[6]，寫成矩陣形式為

θ(k+1)=θ(k)+[J′(θ(k))J(θ(k))]-1×

J′(θ(k))[(y-f(θ(k))]

(6)

(7)

式中，k為遞推次數(shù)；向量y=(y1,y2,…,yi，…,yn)′，yi為因變量第i個觀察值；向量f(θ(k))=[f1(θ(k)),f2(θ(k)), …,fi(θ(k)) , …,fn(θ(k))]′，fi(θ(k))為由非線性方程及第k次迭代參數(shù)計算的因變量y的第i個估計值，i=1～n。

實例1擬合雙曲線函數(shù)，采用高斯-牛頓法回歸計算的步驟如下。

(1)分別對式(1)中參數(shù)A、B求偏導數(shù)：

(9)

(10)

(2)可利用實測值中任兩組關(guān)系值求待估參數(shù)A，B的初值θ(0)。例如采用(4，3.26)、(14，4.17)，得θ(0)=(0.39，0.21)。

(3)利用θ(0)、式(8)～(9)及n組實測值(ti，yi)，i=1～n，計算偏導數(shù)矩陣J(θ(0))及f(θ(0))，進而根據(jù)式(6)進行迭代計算，直到θ(k)收斂穩(wěn)定，即|θ(k+1)-θ(k)|小于或等于預先指定的小正數(shù)(例如δ=0.000 5)，從而得到非線性回歸系數(shù)A，B的估計值。

對實例1采用高斯-牛頓法參數(shù)的遞推結(jié)果見表3，誤差平方和2.156 6遠小于線性化方法的誤差平方和 9.115 4。進一步計算相關(guān)指數(shù)R2=0.869 5, 遠大于采用線性化方法所得雙曲線回歸方程求得的相關(guān)指數(shù)的R2=0.448 5，擬合曲線如圖3中實線所示?？梢姡瑪M合效果顯著優(yōu)于線性化回歸方法。

表3　實例1高斯-牛頓法參數(shù)的遞推結(jié)果

圖3　實例1由不同方法所得擬合曲線比較

上述計算也可調(diào)用MATLAB軟件中nlinfit函數(shù)進行非線性回歸計算，具體方法如下[7-8]。

function yhat=volumsq(beta,t)

yhat=t./(beta(1)+ beta(2)t)

(2)在命令窗口輸入

t=[1,2,3,4,5,7,9,12,14,17,20,22]

y=[0.81,1.37,2.74,3.26,4.03,4.31,4.15,4.29,4.17,4.21,4.26,4.28]

beta0=[0.39,0.21]′

[beta]= nlinfit(t′,y′,′volumsq′,beta0);

beta

得結(jié)果beta=[0.537 2,0.193 9]′。

實例2 文獻[3]中溫嶺東海塘軟基公路工程，由觀測的時間t與實測累計沉降量y的關(guān)系值點繪關(guān)系點見圖4[3]，其規(guī)律可用雙曲線函數(shù)式(1)進行擬合。采用線性化回歸方法、高斯-牛頓法的計算結(jié)果見表4；1/y與1/t線性回歸直線如圖5所示，線性化方法和高斯-牛頓法所得雙曲線分別如圖4虛線和實線所示。由計算結(jié)果可見，盡管線性相關(guān)系數(shù)的平方r2=0.988 8(r=0.994 4，線性相關(guān)高度顯著)，但由線性化方法所得雙曲線擬合效果并不理想，而采用高斯-牛頓法進行非線性回歸顯著優(yōu)于線性化回歸方法。

表4　實例2不同回歸方法求得雙曲線回歸的計算結(jié)果

圖4　實例2不同方法所得的擬合曲線比較

圖5　實例2線性化的擬合直線

4　結(jié)　語

從理論上分析了雙曲線函數(shù)因變量與其線性化后的因變量的殘差平方和之間的關(guān)系式，該式表明，線性化回歸方法無法滿足雙曲線函數(shù)的因變量的殘差平方和為最小，并且結(jié)合雙曲線函數(shù)采用線性化回歸方法出現(xiàn)回歸失真的實例，分析了線性化回歸方法導致其回歸失真的原因。

雙曲線函數(shù)回歸計算的實例表明，采用高斯-牛頓法進行非線性回歸計算，其擬合效果顯著優(yōu)于線性化回歸方法。因此，應采用高斯-牛頓法等非線性回歸方法進行雙曲線函數(shù)的回歸計算。本文給出了借助MATLAB軟件中的nlinfit函數(shù)進行非線性回歸計算的方法，易于實現(xiàn)。

參考文獻:

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