周東紅　李景葉　陳　莉

(①中海石油(中國(guó))有限公司天津分公司渤海石油研究院，天津塘沽 300459； ②中國(guó)石油大學(xué)(北京)，北京 102249)

1　引言

地震反演在油氣勘探與開發(fā)中發(fā)揮著十分重要的作用[1-4]。疊后地震反演方法是地震勘探界應(yīng)用較廣泛的反演方法之一，在實(shí)際勘探開發(fā)中也取得了較好的效果。疊后反演方法可分為遞推反演、模型反演、地震屬性反演、地震統(tǒng)計(jì)學(xué)反演和測(cè)井曲線反演等[5]。與疊前反演相比，疊后反演具有更高的計(jì)算效率和更強(qiáng)的抗噪性，一直以來(lái)都被認(rèn)為是儲(chǔ)層識(shí)別與表征的核心技術(shù)。然而目前的疊后反演大多基于褶積模型，在各個(gè)界面單獨(dú)計(jì)算反射系數(shù)，而忽略了波的傳播效應(yīng)以及地層厚度的影響，并且一般只能求取地下介質(zhì)的彈性阻抗或者是聲阻抗，難以直接獲取儲(chǔ)層的彈性參數(shù)，如縱波速度等。

眾所周知，地震波在地下介質(zhì)中的傳播會(huì)受到傳播效應(yīng)的影響，例如層間多次波、表層多次波、透射損失和轉(zhuǎn)換波等[6]，且在入射角大于30°時(shí)這種影響尤為明顯。彈性波動(dòng)方程能夠進(jìn)行全波場(chǎng)模擬，基于彈性波動(dòng)方程的反演精度更高，但受計(jì)算效率、反演穩(wěn)定性和地震資料品質(zhì)等因素的制約，目前彈性波動(dòng)方程反演還難以在實(shí)際生產(chǎn)中推廣應(yīng)用。

反射率法(The Reflectivity Method)是一種向量化的遞推計(jì)算方法，是基于一維層狀地球模型假設(shè)下進(jìn)行全波場(chǎng)模擬的方法，該方法模擬的波場(chǎng)包括反射波、透射波、轉(zhuǎn)換波和多次波，考慮了地震波相位變化、地層厚度以及透射損失的影響，計(jì)算精度高于有限差分法和射線法，而計(jì)算成本介于兩者之間[7,8]。因此，利用反射率法求解彈性波動(dòng)方程一維解析解進(jìn)行地震反演可以提高精度并適合在實(shí)際生產(chǎn)中推廣應(yīng)用。

反射率法首先由Thomson提出，F(xiàn)uchs等[9]最早將其用于合成地震記錄的計(jì)算，后來(lái)經(jīng)過(guò)Kennett[10，11]、Fryer[12]、Muller[13]以及Booth等[14]的研究和發(fā)展，該方法逐漸趨于成熟與完善。近年來(lái)，人們圍繞反射率法開展正演和反演方法的研究。Zhao等[15]在Kennett的反射率法基礎(chǔ)上采用Levenberg-Marquardt算法進(jìn)行地震反演；Sen等[16]基于Kennett的反射率法進(jìn)行正演，通過(guò)降梯度法求解反演目標(biāo)函數(shù)，利用共軛梯度迭代尋優(yōu)；Mallick等[17]采用Mallick理論求解波動(dòng)方程，并用遺傳算法進(jìn)行反演；Padhi等[18]基于反射率法并利用全局和局部遺傳算法預(yù)測(cè)海水溫度和含鹽度的分布。

然而，上述基于反射率法的反演多是基于Kennett或者其近似理論開展研究，遞推計(jì)算量大，其嵌套式的計(jì)算方法使得求導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜，對(duì)計(jì)算機(jī)的硬件要求高。為此，Phinney等[19]提出了一種向量化計(jì)算遞推矩陣的反射率法，在很大程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，提高了計(jì)算效率，降低了計(jì)算成本。本文提出了基于改進(jìn)的向量化反射率法的疊后地震反演方法，并結(jié)合貝葉斯理論，利用分辨率高、數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性好的微分拉普拉斯分布引入模型參數(shù)的先驗(yàn)信息來(lái)降低反演的不適定性，提高地震反演精度，獲得高信噪比和高分辨率的反演結(jié)果。

2　基于彈性波動(dòng)方程的正演與分析

2.1　彈性波動(dòng)方程一維解析解的求取

首先討論利用改進(jìn)的向量化反射率法求取彈性波動(dòng)方程的一維解析解。為了簡(jiǎn)化求導(dǎo)過(guò)程，首先重寫地震波層間傳遞算子的表達(dá)形式，將合成的地震數(shù)據(jù)由τ-p域轉(zhuǎn)換至t-θ域。

根據(jù)反射率法的理論，假設(shè)地下介質(zhì)由N個(gè)各向同性的水平層介質(zhì)構(gòu)成，自下而上各界面的序號(hào)為N+1,N,…,2,1，且在第1層介質(zhì)的頂界面有一個(gè)點(diǎn)震源及若干個(gè)檢波器。利用一個(gè)6維向量vn可以遞歸計(jì)算頻率慢度域的總反射系數(shù)

vn=[Δ-RSPΔ-RSSΔRPPΔRPSΔ|R|Δ]T

(1)

式中： 向量vn代表第n個(gè)界面以下所有介質(zhì)的總體響應(yīng)；R代表反射系數(shù)；Δ為縮放因子； |R|為反射系數(shù)的行列式，沒有明確的物理意義。

由于介質(zhì)底界面以下是彈性半空間，在底界面處只有透射沒有反射，因此第N+1個(gè)界面以下所有的響應(yīng)可以表示為

vN+1=[100000]T

(2)

引入傳遞算子Qn，從第N+1個(gè)界面開始逐層向上遞推計(jì)算，可以得到頂界面以下的總體響應(yīng)

(3)

式中Qn是第n層介質(zhì)的傳遞矩陣，可由矩陣En和Fn表達(dá)。En描述了第n層介質(zhì)對(duì)地震波相位的改變，F(xiàn)n描述了地震波經(jīng)過(guò)第n層和第n+1層之間的界面時(shí)振幅的變化。不同于Phinney的方法，為了將數(shù)據(jù)從ω-p域轉(zhuǎn)換到ω-θ域，把En改寫為

(4)

式中： Δh為第n層厚度；α和β分別是第n層的縱、橫波速度。

為了將數(shù)據(jù)從ω-p域轉(zhuǎn)換到至ω-θ域，利用Snell定律，慢度p滿足

(5)

根據(jù)v的定義，可以計(jì)算整個(gè)介質(zhì)的總反射系數(shù)R(ω,θ)，與頻率域子波褶積以后直接對(duì)其進(jìn)行頻率積分，得到的是t-θ域地震數(shù)據(jù)[20]

(6)

最后將計(jì)算獲得的角度道集進(jìn)行小炮檢距疊加(選擇0°～10°進(jìn)行疊加)，獲得疊后地震道

(7)

2.2　不同彈性參數(shù)對(duì)反射振幅的影響分析

為了研究橫波速度和密度對(duì)近炮檢距疊加數(shù)據(jù)的影響，建立了如圖1a所示的三層砂泥巖模型，并對(duì)模型進(jìn)行基于反射率法正演計(jì)算，獲得0°～10°的角度道集(圖1b)，通過(guò)疊加獲得疊后地震道(圖1c)。模型中第一、三層介質(zhì)為砂巖，其彈性參數(shù)相同，中間層介質(zhì)為泥巖?？紤]中間層介質(zhì)縱波速度和密度保持不變，橫波速度從1.5km/s變化到1.8km/s，以及縱橫波速度不變，密度從2.1g/cm3變化到2.3g/cm3兩種情況。圖2為兩種情況下計(jì)算的疊后地震道對(duì)比圖，分析發(fā)現(xiàn)，盡管橫波速度變化較大，合成的近炮檢距疊加數(shù)據(jù)的振幅差異較小。密度變化時(shí)合成數(shù)據(jù)的振幅差異要比橫波速度變化時(shí)略大，但振幅差異仍較小。模擬分析表明，橫波速度和密度對(duì)小炮檢距疊加數(shù)據(jù)的影響較小，利用巖石物理數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)關(guān)系擬合橫波速度和密度進(jìn)而實(shí)現(xiàn)基于彈性波動(dòng)方程疊后振幅模擬是可行的。

圖1　三層砂泥巖模型正演流程圖

圖2　砂泥巖模型合成的疊加地震道

3　基于貝葉斯理論的地震反演

貝葉斯方法是用來(lái)計(jì)算條件概率的一種統(tǒng)計(jì)方法，可以表達(dá)為如下形式

P(m|d)∝P(d|m)P(m)

(8)

式中先驗(yàn)分布P(m)=P0mexp[-R(m)]，P0m視為常數(shù)項(xiàng)，指數(shù)項(xiàng)R(m)即為反演目標(biāo)函數(shù)中的正則化項(xiàng)，其導(dǎo)數(shù)形式為

(9)

式中：m為真實(shí)模型參數(shù)；μ為模型參數(shù)的均值；Q*為正則化因子。

常見的先驗(yàn)分布有高斯分布、柯西分布等。高斯分布得到的是穩(wěn)定光滑的解，有壓制強(qiáng)反射的作用，反演分辨率不高?？挛鞣植茧m然有較高的分辨率，但它不是凸函數(shù)，在迭代求解的過(guò)程中不能總是收斂到最優(yōu)解，數(shù)值穩(wěn)定性差[21]。為此，Theune等[22]率先提出了微分拉普拉斯分布，該分布具有稀疏性，是凸函數(shù)，因此數(shù)值穩(wěn)定性好，縱向分辨率高。本研究引入微分拉普拉斯先驗(yàn)分布來(lái)約束反演過(guò)程，表示為

(10)

假設(shè)噪聲滿足高斯分布，那么似然函數(shù)可以表示為

P(d|m)

(11)

聯(lián)合先驗(yàn)分布和似然函數(shù)可以得到后驗(yàn)概率分布

P(d|m)

(12)

本文直接求解最大后驗(yàn)概率分布解，即求解以下目標(biāo)函數(shù)的極小值

(13)

由于大多數(shù)情況下正演算子G(m)為模型參數(shù)的非線性表達(dá)式，所以本文采用高斯—牛頓迭代法求解目標(biāo)函數(shù)

mk+1=mk-λH(mk)-1γ(mk)

(14)

式中：λ是迭代步長(zhǎng)；H是海森矩陣；γ是目標(biāo)函數(shù)的梯度項(xiàng)。 為了提高計(jì)算效率，省略海森矩陣的二

階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)

(15)

4　模型試算

首先利用實(shí)際工區(qū)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行基于反射率法的反演測(cè)試，正演計(jì)算合成地震記錄時(shí)采用主頻為30Hz的雷克子波。為了擬合橫波速度和密度曲線，分別統(tǒng)計(jì)巖石樣本縱波速度與橫波速度、縱波速度與密度的關(guān)系，如圖3所示，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為線性關(guān)系?？v波速度曲線以及擬合的橫波速度和密度曲線在圖4中呈現(xiàn)并用于后續(xù)反演。試算中首先利用這三條測(cè)井曲線進(jìn)行彈性波動(dòng)方程正演模擬，獲得包含了多次波、轉(zhuǎn)換波和透射損失影響的合成地震記錄。該合成地震記錄是從0°～10°的近炮檢距角度道集，并將此角度道集疊加作為反演輸入進(jìn)行基于微分拉普拉斯先驗(yàn)分布的彈性波動(dòng)方程反演試算。

圖5為反演結(jié)果，從中可以看出本文反演的縱波速度精度較高，與實(shí)際測(cè)井曲線匹配得很好。將常規(guī)疊后反演的縱波阻抗插入圖5中進(jìn)行對(duì)比，分析表明，由于考慮了波傳播效應(yīng)的影響，本方法反演的準(zhǔn)確性更高。為了測(cè)試方法的抗噪性，在待反演的疊加數(shù)據(jù)中加入SNR=1的隨機(jī)噪聲進(jìn)行反演測(cè)試。反演結(jié)果表明，在此信噪比情況下本文方法的反演結(jié)果準(zhǔn)確度較高，與實(shí)際測(cè)井曲線有較好的一致性。

圖3　部分巖石樣本縱波速度與橫波速度(a)、縱波速度與密度(b)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系

圖4　擬合結(jié)果

圖5　反演結(jié)果

5　實(shí)際資料試驗(yàn)和分析

將本文方法應(yīng)用于國(guó)內(nèi)某油田的實(shí)際地震數(shù)據(jù)的反演。研究區(qū)廣泛發(fā)育深水湖泊沉積物，目標(biāo)為古近紀(jì)時(shí)期湖泊環(huán)境下形成的構(gòu)造—巖性復(fù)合油氣藏。目標(biāo)儲(chǔ)層巖性為油頁(yè)巖，其頂部發(fā)育砂泥巖薄互層序列。由于薄互儲(chǔ)層的強(qiáng)各向異性和非均質(zhì)性，地震數(shù)據(jù)受層間多次波、轉(zhuǎn)換波和透射損失影響，一定程度上影響了儲(chǔ)層的識(shí)別。

該地震數(shù)據(jù)由151個(gè)CDP組成，每一個(gè)CDP由0°～10°的近炮檢距數(shù)據(jù)疊加而成，反演時(shí)窗為1900～2446ms，采樣間隔為2ms。圖6為CDP疊加剖面，疊加數(shù)據(jù)進(jìn)行了噪聲壓制等處理，但沒有進(jìn)行層間多次波衰減、轉(zhuǎn)換波去除和透射損失補(bǔ)償?shù)忍幚?，適合本文方法反演試驗(yàn)。已鉆井A井在CDP=33的位置。由于沒有橫波速度和密度的信息，本文利用工區(qū)巖石樣本測(cè)試數(shù)據(jù)和其他井的縱波速度與橫波速度、縱波速度與密度統(tǒng)計(jì)關(guān)系擬合橫波速度和密度曲線，并用于后續(xù)初始模型的建立。統(tǒng)計(jì)關(guān)系如圖7所示，已知的縱波速度曲線以及擬合得到的橫波速度和密度曲線如圖8所示。反演所用子波是基于測(cè)井曲線和小角度道集疊加數(shù)據(jù)提取并經(jīng)過(guò)歸一化處理，適用于小炮檢距的反演。初始模型是利用井曲線結(jié)合井分層數(shù)據(jù)插值得到(圖9)。

圖10為反演獲得的縱波速度剖面，能較好地刻畫巖層邊界，縱向分辨率高。為了驗(yàn)證反演結(jié)果的準(zhǔn)確性，將本文反演的結(jié)果與常規(guī)疊后反演的波阻抗剖面進(jìn)行對(duì)比，表明新方法反演的縱波速度與疊后反演的阻抗具有良好的一致性。由于引入微分拉普拉斯先驗(yàn)分布約束反演過(guò)程，反演的結(jié)果相對(duì)于疊后阻抗反演剖面具有更高的分辨率，地層邊界更清晰。為了進(jìn)一步說(shuō)明反演結(jié)果的準(zhǔn)確性，將A井處地震反演結(jié)果與縱波測(cè)井曲線進(jìn)行對(duì)比(圖11)，表明本文方法反演縱波速度精度較高，與實(shí)際井?dāng)?shù)據(jù)有很好的一致性。

圖6　輸入的CDP疊加剖面

圖7　部分巖石樣本的縱波速度與橫波速度(a)及縱波速度與密度(b)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系

圖8　擬合結(jié)果

圖9　建立的初始模型

圖10　反演結(jié)果對(duì)比

圖11　A井處縱波速度的反演結(jié)果

6　結(jié)論和認(rèn)識(shí)

本文提出了一種新的基于微分拉普拉斯先驗(yàn)分布的彈性波動(dòng)方程疊后反演方法，模型和實(shí)際資料測(cè)試表明新方法具有以下特點(diǎn)：①能夠考慮多次波、轉(zhuǎn)換波、透射損失以及地層厚度的影響，反演精度高；②相比高斯分布和柯西分布，微分拉普拉斯先驗(yàn)分布可以提高反演的縱向分辨率和反演穩(wěn)定性；③新方法具有較好的抗噪性，在SNR低至1時(shí)仍然能較準(zhǔn)確地反演出彈性參數(shù)；④新方法在反演過(guò)程考慮了縱波速度、橫波速度與密度等彈性參數(shù)間的關(guān)系，能夠直接從疊后地震數(shù)據(jù)中反演得到縱波速度，反演結(jié)果的分辨率要高于其他類型的疊后反演。

新方法仍然存在一定的局限性：一方面本方法基于彈性波動(dòng)方程理論，利用反射率法求解其解析解。反射率法是基于一維層狀介質(zhì)的假設(shè)，在地質(zhì)構(gòu)造比較簡(jiǎn)單的地區(qū)適用，但在地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜地區(qū)不適用。所以，在利用反射率法進(jìn)行反演之前，需要使用深度偏移等方法使數(shù)據(jù)歸位，使數(shù)據(jù)更好地接近一維層狀介質(zhì)假設(shè)[23]；另一方面，新反演方法基于各向同性介質(zhì)理論，不適合巖石物理性質(zhì)存在較強(qiáng)各向異性的介質(zhì)，如頁(yè)巖。因此，為了獲得更高精度的反演效果，需要進(jìn)一步研究各向異性的反射率法理論和相應(yīng)的反演方法，實(shí)現(xiàn)各向異性介質(zhì)參數(shù)預(yù)測(cè)。

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