段　汕，張　曄，張彬彬

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

在Pyt′ev的形態(tài)學(xué)[1]框架下，二維圖像采用的是一種強(qiáng)度-幾何模型[1,2]，圖像表現(xiàn)為空間域劃分下的分片常函數(shù)形式. 空間域的劃分提供了圖像確定的幾何形狀信息，不同圖像幾何形狀的比較則是通過(guò)各類相關(guān)系數(shù)的建立刻畫形狀的相似程度. 在基于投影算子的比較方法[3-6]中，圖像表示是其重要的組成部分，其中圖像幾何形狀的分布是確定的，所對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度向量反映不同季節(jié)、時(shí)間、氣候、光照條件、光譜范圍下所獲取的同一場(chǎng)景的不同圖像. 在此意義下，多種形式的相關(guān)系數(shù)被研究. Vizilter在其研究工作[3]中，將圖像的強(qiáng)度向量視為n維隨機(jī)向量，在獨(dú)立同分布、零均值的條件下，研究了一類“強(qiáng)度-幾何”相關(guān)系數(shù)，其結(jié)果是對(duì)Pyt′ev[1]的“幾何”相關(guān)系數(shù)研究成果的推廣.

將圖像的強(qiáng)度向量視為隨機(jī)向量，使得對(duì)相似性度量的量化方法需要有相應(yīng)的調(diào)整. 一個(gè)最直接的選擇是將隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)量引入相關(guān)系數(shù)的表示中，Vizilter在文獻(xiàn)[3]中便是選用的這種處理方法. 在實(shí)際問(wèn)題中，圖像強(qiáng)度隨機(jī)向量的獨(dú)立同分布是一種相對(duì)理想的假設(shè)，大多數(shù)情況下則表現(xiàn)為相關(guān)性的分布取值. 因此，本文在減少對(duì)強(qiáng)度隨機(jī)向量各種限制的情況下，將文獻(xiàn)[3]中的方法進(jìn)行了推廣，所建立的圖像幾何形狀相關(guān)系數(shù)將文[3]中的諸多系數(shù)作為其特例，其研究結(jié)果更符合圖像的自然構(gòu)成. 此外，文中還提出并研究了一系列新的相關(guān)系數(shù)形式，使得圖像幾何形狀的比較工具更為豐富.

1　預(yù)備知識(shí)

F={F1,F2,…，F(xiàn)n}是對(duì)圖像f(x,y)空間域Ω的劃分，f=(f1,f2,…，fn)T∈Rn是f(x,y)的強(qiáng)度向量. 圖像f作為Hilbert空間L2(Ω)中的元素，其范數(shù)‖f‖2=(f,f)，圖像間的Euclidean距離dE(g,f)=‖g-f‖，且F?L2(Ω)是L2(Ω)的凸閉子空間．

(1)

進(jìn)行度量，其中PG是空間G上的投影算子：

這里fGk=(f,χGk)/‖χGk‖2，‖χGk‖2,k=1,2,…,m是劃分G的子區(qū)域Gk的面積．

在分片常函數(shù)圖像的“強(qiáng)度-幾何”模型下，圖像的強(qiáng)度和幾何特征是通過(guò)強(qiáng)度向量和空間域的劃分來(lái)描述的．在基于投影算子相關(guān)系數(shù)的研究中，劃分區(qū)域的面積是重要的幾何特征量，劃分區(qū)域上圖像強(qiáng)度的取值若視為一隨機(jī)變量，則其分布與子區(qū)域的面積相關(guān).為此，引入基于面積的相關(guān)變量：設(shè)A為空間域Ω的面積，sFi=(χFi,χFi)=‖χFi‖2為Fi的面積，sGj=(χGj,χGj)=‖χGj‖2為Gj的面積，sij=(χFi,χGj)為Fi∩Gj的面積．顯然有：

將圖像f的形狀F={F1,F2，…，F(xiàn)n}及圖像g的形狀G={G1,G2,…，Gm}視為隨機(jī)場(chǎng)，在空間域Ω固定的條件下，應(yīng)用互信息的相關(guān)方法，這些面積變量對(duì)應(yīng)于形狀隨機(jī)場(chǎng)的邊緣和聯(lián)合概率分布為：

pF(fi)=sFi/A,pG(gj)=sGj/A,pFG(fi,gj)=sij/A,pF|G(fi|gj)=sij/sGj.

在圖像的分片隨機(jī)模型描述方式下，圖像f的強(qiáng)度f(wàn)=(f1,f2,…，fn)T分布建立在其形狀隨機(jī)場(chǎng)F相關(guān)分布的基礎(chǔ)上．

2　強(qiáng)度-幾何相關(guān)系數(shù)

考慮圖像f(x,y)的強(qiáng)度隨機(jī)向量f=(f1,f2,…，fn)T中第i個(gè)強(qiáng)度隨機(jī)變量fi的均值E(fi)=μi，協(xié)方差cov(fi,fk)=σik(i,k=1,2,…，n)及圖像f的強(qiáng)度均值f0=(μ1,μ2,…，μn)T. 用中心化圖像f-f0=(f1-μ1,f2-μ2,…，fn-μn)T替代f，利用形狀隨機(jī)場(chǎng)的邊緣和聯(lián)合概率分布，可以計(jì)算出中心化圖像f-f0的相關(guān)量化表示形式：

(2)

其中：

(3)

在(1)式中，引入圖像f的均方范數(shù)替代范數(shù)，建立形狀F與形狀G的中心化強(qiáng)度-幾何均方形態(tài)相關(guān)系數(shù)：

(4)

其中：

引入系數(shù)矩陣：

sF=diag(sF1,sF2,…,sFn);Λ=diag(σ11,σ22,…，σnn),

(5)

(6)

其中：

(7)

及特性函數(shù)的線性相關(guān)系數(shù)：

3　幾何相關(guān)系數(shù)

(1)當(dāng)隨機(jī)變量fi(i=1,2,…，n)相互獨(dú)立時(shí)，σik=0,i≠k，∑=Λ，此時(shí)

(8)

(9)

故：

此時(shí)，相關(guān)系數(shù)：

(10)

這也即是文獻(xiàn)[1]中系數(shù)的形式. 利用(8)、(10)式還可以表示為以下形式：

4　序化幾何相關(guān)系數(shù)

在Pyt′ev的圖像模型下，如果強(qiáng)度向量f=(f1,f2,…，fn)T滿足：f1

對(duì)于給定的圖像f和g，設(shè)強(qiáng)度向量f=(f1,f2,…,fn)T和g=(g1,g2,…,gm)T中的分量均是兩兩互異的，則可通過(guò)以下的序化函數(shù)實(shí)現(xiàn)其基于強(qiáng)度的形狀排序. 在空間域Ω上對(duì)每一個(gè)Fi(或Gj)定義其上的強(qiáng)度序化函數(shù)：

由函數(shù)μ+(x,y)，μ-(x,y)或μ(x,y)在Ω上的取值分布，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像強(qiáng)度的排序，從而獲得有序形狀F+={F1F2…Fn}和G+={G1G2…Gm}. 且序化函數(shù)與有序形狀F+有如下關(guān)系：若i

有序形狀F+={F1F2…Fn}和G+={G1G2…Gm}的比較可以通過(guò)局部序化的方法將序化因素植入相關(guān)系數(shù)：

(11)

或:

(12)

(13)

(14)

類似地，還可以得到由(12)式所導(dǎo)出的單邊序化幾何相關(guān)系數(shù).

在特殊情況下，(11)式具有特定的結(jié)構(gòu)，以上的系數(shù)將取特定的值. 如當(dāng)取G+=F+時(shí)：

一般地，(13)和(14)式的取值范圍是[-1,1]，且關(guān)于F+,G+對(duì)稱. 如果取μ+(x,y)或μ-(x,y)為序化函數(shù)，則可以避免系數(shù)取負(fù)值，此時(shí)取值范圍是[0,1].

5　結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)Vizilter在文獻(xiàn)[3]中的研究工作進(jìn)行了推廣，通過(guò)引入強(qiáng)度協(xié)方差矩陣給出了更具一般性的隨機(jī)馬賽克圖像相似性度量指標(biāo). 所研究的相關(guān)系數(shù)在形式上更好地反映了圖像的強(qiáng)度-幾何特征間的關(guān)聯(lián)性，且在特定的條件下，將Vizilter在文獻(xiàn)[3]中的研究結(jié)果作為其特例. Vizilter在文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)測(cè)試表明在獨(dú)立同分布的條件下相關(guān)系數(shù)在相似性度量的質(zhì)量上具有優(yōu)勢(shì)，但對(duì)稱系數(shù)在實(shí)際運(yùn)用中對(duì)噪聲表現(xiàn)出不穩(wěn)定性. 而我們的工作對(duì)其在形式上進(jìn)行了統(tǒng)一.

[1]Pyt′ev Y P. Morphological image analysis[J].Pattern Recogn Image Anal, 1933(3): 19-28.

[2]Evsegneev S O, Pyt′ev Y P. Analysis and recognition of piecewise constant texture images[J]. Pattern Recogn Image Anal, 2006, 16: 398-405.

[3]Vizilter Y V, Zheltov S Y. Geometrical correlation and matching of 2D images shapes[J]. ISPRS Ann Photogramm Remote Sens Spatial Inf Sci, 2012, I-3: 191-196.

[4]Vizilter Y V, Zheltov S Y. Projective morphologies and their application in structural analysis of digital images[J]. J Comput Syst Sci Int, 2008, 47: 944-958.

[5]Vizilter Y V, Zheltov S Y. Similarity measure and comparison metrics for image shapes[J]. J Comput Syst Sci Int, 2014,53(4): 542-555.

[6]Vizilter Y V, Gorbatsevich V S, Rubis A Y, et al. Shape-based image matching using heat kernels and diffusion maps[J]. Intenational Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, 2014, XL-3: 357-364.