喻國(guó)榮,馮國(guó)鑫,張建

(東南大學(xué) 交通學(xué)院測(cè)繪工程系,江蘇 南京 210096)

0　引　言

城市與工程測(cè)量成果常常采用地方坐標(biāo)系或獨(dú)立坐標(biāo)系,不論是將GNSS等現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)得到的測(cè)量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為該坐標(biāo)系中,還是將該工程測(cè)量成果納入到國(guó)家系統(tǒng)中,都需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。根據(jù)需要可選擇二維的平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型或三維七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型,不論哪種模型都無(wú)法回避轉(zhuǎn)換模型中平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)及尺度參數(shù)之間的強(qiáng)相關(guān)問(wèn)題[1-3],影響了結(jié)果的可靠性。針對(duì)于此,產(chǎn)生了坐標(biāo)重心化方法以及極坐標(biāo)方法等[3-6],本文對(duì)此展開討論。

1　坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的重心化方法

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是依據(jù)兩坐標(biāo)系下公共點(diǎn)點(diǎn)位坐標(biāo)得到的轉(zhuǎn)換參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn),將B坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到A坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中: X(A)P、Y(A)P是公共點(diǎn)P在坐標(biāo)系A(chǔ)中的坐標(biāo); X(B)P、Y(B)P是公共點(diǎn)P在坐標(biāo)系B中的坐標(biāo); X0、Y0稱為平移參數(shù); α稱為旋轉(zhuǎn)參數(shù)； λ稱為尺度參數(shù)。式(1)對(duì)參數(shù)α和λ來(lái)說(shuō)是非線性的,通常采用形式參數(shù)將式(1)轉(zhuǎn)換為線性方程,即取a=X0,b=Y0,c=λcosα,d=λsinα,則有

(2)

為了計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù),至少需要兩個(gè)公共點(diǎn)。實(shí)際工作中,為了保證可靠性,通常要聯(lián)測(cè)三個(gè)以上公共點(diǎn)。當(dāng)有n(n>2)個(gè)公共點(diǎn)時(shí),一般采用最小二乘求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。設(shè)公共點(diǎn)的點(diǎn)位誤差相互獨(dú)立且等精度,則最小二乘法得到的法方程為

Nβ=W,

(3)

式中:

N=

聯(lián)系人: 喻國(guó)榮 Email: 476310930@qq.com

(4)

(5)

(6)于是

(7)

由于平移(坐標(biāo)重心化)不改變點(diǎn)位的相對(duì)關(guān)系,即尺度參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)是不變的,式(6)中c、d與式(2)相同?？汕蟮贸叨葏?shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)為

(8)

(9)

平移參數(shù)為

(10)

2　坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的討論

為討論方便,將由式(3)的解算稱為常規(guī)四參數(shù)方法,由式(6)的解算稱為重心化方法。

1) 方法的等價(jià)性

旋轉(zhuǎn)角α一般很小,公共點(diǎn)的空間坐標(biāo)通常在數(shù)值上首位不變,對(duì)于較小的測(cè)區(qū),空間坐標(biāo)的前幾位數(shù)字都一樣,即幾乎相等,坐標(biāo)重心化相當(dāng)于將坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到的點(diǎn)集的重心,一方面使得坐標(biāo)的數(shù)值變得更小,另一方面的優(yōu)點(diǎn)是法方程矩陣變成了對(duì)角陣。這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)都使得數(shù)值計(jì)算變得容易和精確,并不是重心化方法在理論上優(yōu)于常規(guī)四參數(shù)法,兩種方法都是基于最小二乘原理的,理論基礎(chǔ)是統(tǒng)一的、等價(jià)的。

2) 參數(shù)的相關(guān)性

3) 重心不變性

4) 極坐標(biāo)法

3　算例及分析

為了更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,設(shè)有坐標(biāo)集如表1所示,坐標(biāo)系A(chǔ)的坐標(biāo)是由B坐標(biāo)系坐標(biāo)采用參數(shù)(abλα)T=(60 m 50 m 9 999.5×10-45")T獲得。由于只保留到小數(shù)點(diǎn)后三位,即毫米位,相當(dāng)于坐標(biāo)系A(chǔ)的坐標(biāo)存在-0.5 mm到0.5 mm均勻分布的誤差。

表1　公共點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)坐標(biāo)系A(chǔ)的坐標(biāo)施加N(0, 25 mm2)的正態(tài)分布誤差,以“1、2、3、4”點(diǎn)計(jì)算,以“5、6”點(diǎn)作為檢查點(diǎn),計(jì)算結(jié)果如表2所示。由表2可以看出,四參數(shù)方法與重心化方法得到的結(jié)果基本相同,其數(shù)值差異出現(xiàn)在10-4～10-5量級(jí),可以忽略不計(jì)。參數(shù)精度及檢查點(diǎn)精度與用于計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)的點(diǎn)集的數(shù)據(jù)精度相當(dāng),檢查點(diǎn)誤差在毫米位相同,差異出現(xiàn)在1/10～1/100 mm位;現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)(計(jì)算設(shè)備)的進(jìn)步彌補(bǔ)了四參數(shù)方法數(shù)值計(jì)算的不足;極坐標(biāo)方法與兩種方法存在差異。

為了進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)精度對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)的影響,將坐標(biāo)系A(chǔ)的坐標(biāo)施加N(0, 25 cm2)的正態(tài)分布誤差,相當(dāng)于坐標(biāo)系A(chǔ)的坐標(biāo)受到中誤差為σ=5 cm正態(tài)分布誤差影響,計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2　不同坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法比較

由表2可以看出,當(dāng)點(diǎn)位精度在厘米級(jí)時(shí),四參數(shù)方法與重心化方法結(jié)果仍基本相同,得到的參數(shù)與真值有顯著差異,極坐標(biāo)方法得到的參數(shù)受點(diǎn)位誤差影響較顯著。

當(dāng)重心化坐標(biāo)值較小,即點(diǎn)位距“重心”很近時(shí),由于求邊長(zhǎng)比、求方位角運(yùn)算對(duì)誤差非常敏感,即一個(gè)微小的誤差也引起邊長(zhǎng)比、方位角的明顯變化。比如應(yīng)用“1、2、3、4、5”點(diǎn)計(jì)算參數(shù),以“6”點(diǎn)作為檢查點(diǎn),數(shù)據(jù)精度σ=5 cm的情形,四參數(shù)方法與重心化方法精度在厘米級(jí),而極坐標(biāo)方法“6”點(diǎn)的誤差X=10 cm,Y=14 cm.由于點(diǎn)“4”距“重心”僅263 m,數(shù)據(jù)精度對(duì)邊長(zhǎng)比、方位角影響劇烈,使得極坐標(biāo)方法求轉(zhuǎn)換參數(shù)幾乎沒(méi)有應(yīng)用價(jià)值。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)給定參數(shù)“真值”模擬兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)的數(shù)據(jù),對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的四參數(shù)方法、重心化方法與極坐標(biāo)方法進(jìn)行了對(duì)比分析,可得出如下結(jié)論:

1) 各種方法得到的參數(shù)雖然與“真值”差異明顯,由于參數(shù)之間的耦合效果,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果仍然能保持相應(yīng)的精度。

2) 四參數(shù)方法與重心化方法僅數(shù)值計(jì)算的策略不同,得到的結(jié)果基本相同,與用于計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)的點(diǎn)集的數(shù)據(jù)精度相當(dāng)。

3) 不建議使用簡(jiǎn)單方便的極坐標(biāo)方法,尤其在點(diǎn)位精度不明確,且會(huì)有短邊參與計(jì)算的情形。

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