■河南省登封市教學(xué)研究室 謝有才

同學(xué)們?cè)谧鰯?shù)學(xué)試題的時(shí)候,常常會(huì)遇到一些改編題出錯(cuò)了,給審題造成困擾。這些題一般有三個(gè)特點(diǎn),希望能引起同學(xué)們的重視?，F(xiàn)舉例說明。

一、試題用詞不準(zhǔn)確

2bx+c的兩個(gè)極值分別為f(x1),f(x2),若x1,x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),則b-2a的取值范圍是( )。

A.(-4,-2) B.(-∞,2)∪(7,+∞)

C.(2,7) D.(-5,-2)

解析：求導(dǎo)可得f'(x)=x2+ax+2b,由題意可知所以a,b滿足的區(qū)域如圖1所示(不包括邊界),因?yàn)閎-2a在B(-1,0)處取值為2,在C(-3,1)處取值為7,所以b-2a的取值范圍是(2,7)。

圖1

評(píng)注：在本題中描述的是極值為f(x1),f(x2),既不能說明在x1,x2處取得極值,也不能說明x1,x2是極值點(diǎn),更不能轉(zhuǎn)化為x1,x2是方程f'(x)=x2+ax+2b=0的兩個(gè)根。這說明試題在用詞上不夠確切。應(yīng)改為“已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1,x2”。

二、示意圖信息模糊

例2已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=t3+bt2+ct+d,如圖2所示是其運(yùn)動(dòng)軌跡的一部分,若時(shí),s(t)＜3d2恒成立,則d的取值范圍為____。

解析：因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=所以由圖2可知,s(t)在t=1和t=3處取得極值,則s'(1)=0,s'(3)=0,即解得所以

圖2

所以當(dāng)t=1時(shí),s(t)取得極大值4+d。

又因?yàn)閟(4)=4+d,所以當(dāng)t∈時(shí),s(t)的最大值為4+d。因?yàn)楫?dāng)時(shí),s(t)＜3d2恒成立,所以4+d＜3d2,即或d＜-1。

評(píng)注：對(duì)于這個(gè)解答,經(jīng)分析不難得出s(0)=s(3)=d。從圖中可以看到s(3)＜0,應(yīng)該有d＜0,借此繼續(xù)分析s(1)＞0得d＞-4。也就是說示意圖中除了反映出“s(t)在t=1和t=3處取得極值”,還有其他影響d取值范圍的信息可以進(jìn)一步挖掘。

三、參考解法超綱

例3已知0),若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1,x2,都有恒成立,則a的取值范圍是( )。

A.(0,1] B.(1,+∞)

C.(0,1) D.[1,+∞)

解析：由題意得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),所以所以

評(píng)注：對(duì)于解答中為什么會(huì)出現(xiàn)呢?顯然運(yùn)用高中知識(shí)解釋不通。規(guī)范解答如下：不妨設(shè)令有在(0,+∞)是單調(diào)增函數(shù),則?x∈(0,+∞),h'(x)≥0恒成立,分離參數(shù)得a≥x(1-x)max,解得a≥1。

數(shù)學(xué)知識(shí)是嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密、精確的,這樣才能培養(yǎng)出良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。