一、選擇題

1.A 2.C 3.A 4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.A 10.D 11.B 12.B 13.B 14.B 15.C 16.A 17.B 18.A 19.B 20.A 21.A 22.A 23.D 24.C 25.B 26.B 27.B

二、填空題

三、解答題

42.(1)由已知得f'(x)=ex-2ax。

由題設(shè)得f'(1)=e-2a=b,f(1)=ea=b+1,解得a=1,b=e-2。

(2)由(1)知f(x)=ex-x2,所以f'(x)=ex-2x,f″(x)=ex-2。

所以f'(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增。

所以f'(x)≥f'(ln2)=2-2ln2＞0,所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增。

所以f(x)max=f(1)=e-1。

(3)因?yàn)閒(0)=1,由(2)知,f(x)過(guò)點(diǎn)(1,e-1),且y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-2)x+1,故可猜測(cè)：當(dāng)x＞0,且x≠1時(shí),f(x)的圖像恒在切線y=(e-2)x+1的上方。

證明：當(dāng)x＞0時(shí),f(x)≥(e-2)x+1。

設(shè)g(x)=f(x)-(e-2)x+1,x＞0,則g'(x)=ex-2x-(e-2),g″(x)=ex-2。

由(2)知,g'(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增。

因?yàn)間'(0)=3-e＞0,g'(1)=0,0＜ln2＜1,所以g'(ln2)＜0。

所以,存在x0∈(0,1),使得g'(x)=0。

所以,當(dāng)x∈(0,x0)∪(1,+∞)時(shí),g'(x)＞0;當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),g'(x)＜0。

故g(x)在(0,x0)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減。

因?yàn)間(0)=g(1)=0,所以g(x)=exx2-(e-2)x-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),故

由(2)知ex≥x+1,故x≥ln(x+1),所以x-1≥lnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以,即,得 ex+(2-e)x-1≥xlnx+x,即ex+(1-e)x-1-xlnx≥0成立,當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立。

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(e32,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(2)令,則

當(dāng)x∈[e,+∞)時(shí),f(x)≤0,所以y=存在以(x,g(x))為切點(diǎn),斜率為6的00切線。

因?yàn)閤＞0,a≠1,所以,當(dāng)a＞1時(shí),f'(x)＞0恒成立;當(dāng)a＜1時(shí),f'(x)＞0?x∈(0,1-a),f'(x)＜0?x∈(1-a,+∞)。

所以,當(dāng)a＞1時(shí),單增區(qū)間為(0,+∞),無(wú)單減區(qū)間;當(dāng)a＜1時(shí),單增區(qū)間為(0,1-a),單減區(qū)間為(1-a,+∞)。

(2)由(1)知,當(dāng)f(x)在(1,2)上增時(shí),1-a≥2或a＞1即可,得a≤-1或a＞1。

45.(1)f'(x)=3x2+2ax+b,則f(-1)=a-b+c-1,f'(-1)=-2a+b+3,故切線方程是y=(3-2a+b)x+(-a+c+2)。

又因?yàn)榍芯€方程是y=-5x+5,所以

故f(x)在[-3,-2)上遞增,在上遞減,在上遞增。

由f,故y=f(x)在[-3,2]上的最小值是,最大值是f(-2)=13。

46.(1)由題意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x)。

(2)由f(x)-g(x)＞0,得f(x)＞g(x),即loga(x+1)＞loga(4-2x)。①

當(dāng)a＞1時(shí),由①可得x+1＞4-2x,解得x＞1,又-1＜x＜2,所以1＜x＜2;

當(dāng)0＜a＜1時(shí),由①可得x+1＜4-2x,解得x＜1,又-1＜x＜2,所以-1＜x＜1。

綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí),x的取值范圍是(1,2);當(dāng)0＜a＜1時(shí),x的取值范圍是(-1,1)。

47.(1)因?yàn)閽佄锞€y=2x2-4x+a的開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=1,所以函數(shù)f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)單調(diào)遞增。

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[-1,2m]上不單調(diào),所以2m＞1,即

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為

(2)①因?yàn)閒(1)=g(1),所以-2+a=0,所以實(shí)數(shù)a的值為2。

(2)依題意知f(x)為偶函數(shù),故f(-x)=f(x),即即,即在上恒成立,所以

(3)由(2)可知f(x)=log2(1+x)+log2(1-x)=log2(1-x2),所以g(x)=x2+x-1-2t,它的圖像的對(duì)稱軸為直線

依題意知g(x)在(-1,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),只需,解得

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是

49.(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點(diǎn),在已知變換下變?yōu)镃上的點(diǎn)(x,y)。

不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以所求直線的斜率,于是所求直線方程為

化為極坐標(biāo)方程,并整理得2ρcosθ-,即

平方相加得(x+4)2+(y-3)2=1。

(2)由已知得P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,4),設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(8cosθ,3sinθ),則M點(diǎn)坐標(biāo)為

又直線的普通方程為x-2y-7=0,所以M到直線的距離為