■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

一、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)中的關(guān)鍵詞——函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)

1.函數(shù)。

(1)會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念。

(2)在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)。

(3)能理解簡單的分段函數(shù)(函數(shù)分段不超過三段)。

(4)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義;了解函數(shù)奇偶性的含義。

(5)會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)。

2.指數(shù)函數(shù)。

(1)理解有理指數(shù)冪的含義,掌握冪的運(yùn)算法則。

(2)理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn),會(huì)畫底數(shù)為的指數(shù)函數(shù)的圖像。

3.對數(shù)函數(shù)。

(1)理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)。

(2)理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性,掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn),會(huì)畫底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)的圖像。

4.冪函數(shù)。

5.函數(shù)與方程。

結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)。

6.函數(shù)模型及其應(yīng)用。

了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用。

解讀：如同談?wù)撫烎~島先談其主權(quán)歸屬問題一樣,“函數(shù)”問題優(yōu)先考慮定義域,定義域隱含在與函數(shù)有關(guān)的每一道考題中,成為考生解題過程中的“影子殺手”。分段函數(shù)與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、解不等式等問題的綜合成為近幾年高考命題的熱點(diǎn),解決此類問題要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與劃歸等思想方法的綜合應(yīng)用。

分析函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候,命題者往往是將函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等進(jìn)行綜合考查,對于數(shù)形結(jié)合這么好用的工具,千萬要熟練掌握。指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)往往與其他知識(shí)相結(jié)合綜合命題,不要忘記其底數(shù)對函數(shù)單調(diào)性的影響。要注意對數(shù)的運(yùn)算與化簡問題,特別是換底公式與冪的對數(shù)的運(yùn)算。

定義域成為對數(shù)函數(shù)的一塊“心病”!基本的對數(shù)函數(shù)的圖像要會(huì)畫,這是利用數(shù)形結(jié)合方法解題的基本功,當(dāng)然也不要忽視底數(shù)對單調(diào)性的影響。對冪函數(shù)應(yīng)注意其圖像的變化特征。零點(diǎn)是高考命題的熱點(diǎn),函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的極值等相結(jié)合,背景多樣化,常以方程的根、兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)等形式出現(xiàn),要注意轉(zhuǎn)化。研究分段函數(shù)的時(shí)候,尤其要注意它的單調(diào)性的分析,要充分利用函數(shù)圖像進(jìn)行性質(zhì)分析。

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的關(guān)鍵詞——導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求導(dǎo)法則、單調(diào)性

(1)通過函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

(2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)。

(3)能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)。

(4)會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)。

(5)會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題。

解讀：在通過函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義時(shí),切記“函數(shù)圖像上某點(diǎn)處切線的斜率為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值”?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的重要依據(jù),一定要準(zhǔn)確記憶,熟練靈活應(yīng)用。能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),說明復(fù)合函數(shù)中的內(nèi)函數(shù)僅限于一次函數(shù),其他就超出考綱要求了。“函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系”雖為了解,但后面提出的“能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”才是高考命題的重點(diǎn),而且大多涉及含參函數(shù)的單調(diào)性!會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值,“會(huì)”這個(gè)字的要求并不低,不要忽視!定積分的要求為“了解”,但在高考中?？?所以不僅要了解,而且要會(huì)求,還要會(huì)用!

導(dǎo)數(shù)綜合問題對考生能力層次要求比較高。首先,要熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)運(yùn)算法則;其次,要對最值、極值、極值點(diǎn)的概念能明確進(jìn)行辨析。求函數(shù)的極小值時(shí),僅僅有f'(x0)=0并不足以說明x0是極小值點(diǎn),需要說明函數(shù)的單調(diào)性。在導(dǎo)數(shù)問題中,需要涉及分類討論的思想方法,是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。

命題預(yù)測：全國卷對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的命題：2～3個(gè)小題,1個(gè)大題,客觀題主要以考查函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)圖像及變換、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、定積分等為主,也有可能與不等式等知識(shí)綜合考查,全國卷近幾年在選擇、填空題部分強(qiáng)化了對導(dǎo)數(shù)函數(shù)問題的研究,強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)這一特征(強(qiáng)調(diào)對特征值、特征線的認(rèn)識(shí)),綜合性較強(qiáng);對于由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的積、商構(gòu)成的函數(shù),其函數(shù)性質(zhì)、圖像走勢構(gòu)成解決問題的基礎(chǔ),對此同學(xué)們應(yīng)該掌握;解答題主要是以導(dǎo)數(shù)為工具解決函數(shù)、方程、不等式等的應(yīng)用問題。

例1已知函數(shù)f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極小值;

(2)當(dāng)a≥0時(shí),求函數(shù)g(x)=f'(x)·x2-(2a+1)x的單調(diào)區(qū)間。

解析：(1)當(dāng)a=1時(shí)

若f'(x)=0,得x=1。

當(dāng)0＜x＜1時(shí),x2＜1,lnx＜0,所以x2+lnx-1＜0,即f'(x)＜0,所以f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x＞1時(shí),x2＞1,lnx＞0,所以x2+lnx-1＞0,即f'(x)＞0,所以f(x)單調(diào)遞增。

所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)=0。

(2)g(x)=f'(x)·x2-(2a+1)x=ax2+lnx-1-(2a+1)x,則

之后對a進(jìn)行分類討論即可。

例2已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+ax2+bx,x=1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)。

(1)若x=1是f(x)的唯一極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)討論f(x)的單調(diào)性;

(3)若存在正數(shù)x0,使得f(x0)＜a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：(1)f'(x)=(x-1)ex+2ax+b,因?yàn)閤=1是極值點(diǎn),所以f'(1)=0,得2a+b=0,即b=-2a。

因?yàn)閤=1是唯一的極值點(diǎn),所以ex+2a≥0恒成立或ex+2a≤0恒成立。

由ex+2a≥0恒成立得2a≥-ex,又ex＞0,所以a≥0;

由ex+2a≤0恒成立得2a≤-ex,而-ex不存在最小值,所以ex+2a≤0不可能恒成立。

綜上可得a≥0。

(2)由(1)知,若a≥0,則當(dāng)x＜1時(shí),f'(x)＜0;當(dāng)x＞1時(shí),f'(x)＞0。

所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增。

當(dāng)x＜ln(-2a)時(shí),f'(x)＞0;當(dāng)ln(-2a)＜x＜1時(shí),f'(x)＜0;當(dāng)x＞1時(shí),f'(x)＞0。

所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)上單調(diào)遞減。

(3)當(dāng)a≥0時(shí),f(1)=-e-a＜a,滿足題意。

故a的取值范圍為或a＞-2。

例3已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)其中a＞0。設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同。

(1)用a表示b,并求b的最大值;

(2)求證：f(x)≥g(x)(x＞0)。

解析：(1)設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)為(x0,y0),

由題意知f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),即

當(dāng)t(1-3lnt)＞0,即時(shí),h'(t)＞0;當(dāng)t(1-3lnt)＜0,即時(shí),h'(t)＜0。

故h(t)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù)。

所以h(t)在(0,+∞)上的最大值為即b的最大值為

所以F(x)在(0,a)上為減函數(shù),在(a,+∞)上為增函數(shù)。

所以F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0。

故當(dāng)x＞0時(shí),有f(x)-g(x)≥0,即當(dāng)x＞0時(shí),f(x)≥g(x)。

注意：(1)利用導(dǎo)數(shù)解不等式,一般可構(gòu)造函數(shù),利用已知條件確定函數(shù)單調(diào)性解不等式。

(2)證明不等式f(x)＜g(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),利用導(dǎo)數(shù)求F(x)的值域,從而得到F(x)＜0即可。

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

例4已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2。

(1)求a;

(2)證明：當(dāng)k＜1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)。

解析：(1)由已知可得f'(x)=3x2-6x+a,所以f'(0)=a,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=ax+2。

(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2。

設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4。

由題設(shè)知1-k＞0,當(dāng)x≤0時(shí),g'(x)=3x2-6x+1-k＞0,g(x)單調(diào)遞增。

因?yàn)間(-1)=k-1＜0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一實(shí)根。

當(dāng)x＞0時(shí),令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x＞h(x)。

因?yàn)閔'(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增。

所以g(x)＞h(x)≥h(2)=0。

所以g(x)=0在(0,+∞)上沒有實(shí)根。

綜上,g(x)=0在R上有唯一實(shí)根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)。

注意：研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖像,研究其走勢及規(guī)律,標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)。

總結(jié)：(1)利用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式f(x)＞g(x)時(shí),找到函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)是解題的突破口。

(2)在討論方程的根的個(gè)數(shù)、研究函數(shù)圖像與x軸(或某直線)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式恒成立等問題時(shí),常常需要求出其中參數(shù)的取值范圍,這類問題的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極(最)值的應(yīng)用。

(3)在實(shí)際問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。

提醒：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題時(shí),若分離參數(shù)后得到“a＜f(x)恒成立”,要根據(jù)f(x)的值確定a的范圍中端點(diǎn)能否取到。

(2)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,要注意問題的實(shí)際意義。

【同步練習(xí)】

(1)求證：f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,-1)對稱;

(2)若f(x)≥-2x在x≥a上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2.已知函數(shù)f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù),且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為4-c。

(1)確定a,b的值;

(2)若f(x)有極值,求c的取值范圍。

3.已知函數(shù)在x=1處的切線方程為

(1)求a,b的值;

(2)當(dāng)x＞0且x≠1時(shí),求證：f(x)＞

【參考答案】

1.(1)設(shè)f(x)的圖像上任一點(diǎn)為P(x,y),則關(guān)于點(diǎn)M(a,-1)的對稱點(diǎn)為P'(2a-x,-2-y),則

說明點(diǎn)P'(2a-x,-2-y)也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。

故f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,-1)對稱。

(2)由f(x)≥-2x,化簡為(2x)2+2a·2x-2·2a≥0在x≥a上恒成立。

令t=2x≥2a,則g(t)=t2+2a·t-2·2a≥0恒成立,因?yàn)閥=g(t)的對稱軸為x=所以y=g(t)在[2a,+∞)上遞增,所以g(2a)≥0,解得a≥0。

2.(1)f'(x)=2ae2x+2be-2x-c。

因?yàn)閒'(x)為偶函數(shù),所以f'(-x)=f'(x)恒成立,即2ae-2x+2be2x-c=2ae2x+2be-2x-c,得a=b。

因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為4-c,所以f'(0)=2a+2bc=4-c,得a=b=1。

(2)由f(x)有極值知f'(x)=2e2x+存在零點(diǎn),即y=2(e2x)2-c·e2x+2存在零點(diǎn)。

記t=e2x＞0,則上式可寫為y=2t2-c·t+2(t＞0)。

當(dāng)x∈(0,1-ln2)時(shí),F″(x)＜0,故F'(x)在(0,1-ln2)上為減函數(shù);

當(dāng)x∈(1-ln2,+∞)時(shí),F″(x)＞0,故F'(x)在(1-ln2,+∞)上為增函數(shù)。

圖1

因此,對一切x∈(0,+∞),有F(x)≥F(1)=0,即在(0,+∞)上都成立。

又G(1)=0,所以當(dāng)0＜x＜1時(shí),G(x)＜0,即所以當(dāng)x＞1時(shí),G(x)＞0,即lnx-,所以