萬明非，張　華,2，葉志勇，楊　偉

(1.重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶　400054; 2.銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院， 貴州 銅仁　554300)

近年來網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)及其協(xié)調(diào)控制研究由于具有廣泛的應(yīng)用性已被越來越多的國內(nèi)外學(xué)者重視，其中研究最為廣泛的是調(diào)和振子的一致同步算法。通過研究同步算法，人們不僅可以解釋諸如魚類洄游、候鳥遷徙等自然現(xiàn)象[1-2]，還可以很好地研究如移動(dòng)機(jī)器人的協(xié)調(diào)控制、并行計(jì)算機(jī)的負(fù)載平衡同步等[3-4]。

學(xué)者們提出了許多同步算法來研究調(diào)和振子。Ren[5]首次給出了調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間的耦合模型，在假定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有一棵有向生成樹的條件下，給出了系統(tǒng)達(dá)到同步的條件并得到了系統(tǒng)同步態(tài)。Ballard[6]將文獻(xiàn)[5]的結(jié)果推廣到了離散的情況。Su等[7]利用振子間感應(yīng)距離的概念，認(rèn)為振子間距離小于一定范圍時(shí)可以進(jìn)行信息交換，通過建立適當(dāng)?shù)目刂戚斎胧沟妹總€(gè)振子在沒有任何連通假設(shè)的情況下仍能達(dá)到同步。此外，Zhou等[8-9]在無向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中研究了脈沖控制型調(diào)和振子和采樣控制型調(diào)和振子，根據(jù)脈沖控制和采樣控制的特性，將系統(tǒng)方程演化為一個(gè)混雜型的動(dòng)力學(xué)方程，利用拉普拉斯矩陣的分解分析系統(tǒng)的迭代解，得出了系統(tǒng)的同步態(tài)和同步的充要條件。Sun等[10]在不考慮控制缺失的情況下將文獻(xiàn)[9]中的算法擴(kuò)展到了有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下。Sun等[11]還利用了隨機(jī)分析的理論研究了耦合諧振子在耦合時(shí)有隨機(jī)誤差的情況。Wang等[12]將耦合時(shí)的隨機(jī)誤差推廣到了脈沖控制協(xié)議下，利用均方收斂的概念得到了系統(tǒng)同步的充分條件，還給出了系統(tǒng)的收斂域。

所有這些工作主要集中在一個(gè)完整的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，且每個(gè)網(wǎng)絡(luò)是連通的或者是含有一棵有向生成樹。然而，現(xiàn)實(shí)世界中系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)無法固定不變，并且每一時(shí)刻都能保持網(wǎng)絡(luò)連通的條件也十分苛刻，針對這樣的問題，Hong等[13]分析了二階多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的領(lǐng)導(dǎo)跟隨同步問題，唐朝君[14]分析了切換拓?fù)湎码x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的包含控制。還有一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可能由多個(gè)子網(wǎng)絡(luò)組成，它們的合作任務(wù)可能被分成幾個(gè)小組，因此，分群同步能夠反應(yīng)這一本質(zhì)。在分群同步的研究中，Yu[15]考慮了領(lǐng)導(dǎo)跟隨控制下的線性系統(tǒng)的集群同步化，表明如果每個(gè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都有一個(gè)生成樹，并且耦合強(qiáng)度足夠大，系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步。苗中華等[16]在不確定網(wǎng)絡(luò)的歐拉-拉格朗日系統(tǒng)中研究了分群同步，并且考慮了耦合過程中產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，結(jié)果表明：系統(tǒng)在一個(gè)自適應(yīng)的控制輸入下可以實(shí)現(xiàn)分群同步。Zhao等[17]針對2種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)研究了脈沖型和連續(xù)型調(diào)和振子的分群同步。

受到以上工作的啟發(fā)，本研究將在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下考察耦合調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分群同步動(dòng)力學(xué)。利用圖論中拉普拉斯矩陣的相關(guān)引理以及建立適當(dāng)?shù)恼`差系統(tǒng)，給出了同步的充要條件。結(jié)果表明：在采樣周期、耦合強(qiáng)度和拉普拉斯矩陣的非零特征值滿足一定不等式關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)能達(dá)成分群同步。

1　基礎(chǔ)知識和模型建立

1.1　符號說明

R和C分別代表實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集。N表示自然數(shù)集。對任意的c∈C，Re(c)、 lm(c)、|c|分別表示c的實(shí)部、虛部、和模。Cn×n代表n階復(fù)矩陣。On∈Cn×n是n階零矩陣，In∈Cn×n是n階單位矩陣。對一個(gè)n階矩陣M∈Cn×n，ρ(M)代表它的譜半徑，λi(M)表示其第i個(gè)特征值。

1.2　代數(shù)圖論

1.3　模型描述

網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子的動(dòng)力學(xué)行為可以表示為如下形式[5]：

(1)

其中：ri(t)，vi(t)∈R分別表示第i個(gè)振子的位移和速度；α>0表示振子的頻率；ui(t)表示控制輸入。

考慮如下采樣控制協(xié)議：

(2)

并且假設(shè)t∈[tk,tk+1)，tk+1-tk≡T，k∈N。

假設(shè)1對每個(gè)子群l=1,2,…,q，有∑j∈Vlaij=0，其中i=1,2,…,N，且i?Vl。

引理2(Schur-Cohn定理)[19]一個(gè)復(fù)系數(shù)二次多項(xiàng)式F(z)=a2z2+a1z+a0，如果它的Schur-Cohn行列式滿足：Δ1<0，Δ2>0，則該多項(xiàng)式的根分布在單位圓盤內(nèi)，其中：

(3)

(4)

2　主要結(jié)果

對系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，其詳細(xì)結(jié)果由定理1給出。

定理1當(dāng)假設(shè)1成立時(shí)，調(diào)和振子系統(tǒng)(1)在控制輸入式(2)下達(dá)成分群同步的充要條件是：

(5)

根據(jù)引理1做如下變量代換：

e(t)=Cr(t)，s(t)=Cv(t)

則有：

其中：

ei(t)=πir(t),i=1,…,q

…

si(t)=πiri(t)，i=1,…,q

…

(6)

容易看出，方程(6)由下述兩類微分方程構(gòu)成：

(7)

(8)

令x(t)=UeR(t),y(t)=UsR(t)，則有：

(9)

此系統(tǒng)可以被看成由如下2個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成：

當(dāng)i=nl+1(l=0,1,…,q)時(shí)，有

(10)

當(dāng)i≠nl+1(l=0,1,…,q)時(shí)，有

(11)

這里t∈[tk,tk+1)。方程(10)和(11)表明，如果系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)(11)亦漸近穩(wěn)定。對方程(10)兩邊從tk到tk+1積分有

(12)

注意到方程(12)是一個(gè)離散的線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定的充要條件是ρ(K)<1，下面證明ρ(K)<1，矩陣K的特征多項(xiàng)式為

μλisin(αT)(1-cos(αT))=a2χ2+a1χ+a0=0

根據(jù)引理2有：

由

(13)

由

及sin(αT)>0，易知

(Re2(λi)-lm2(λi))-cos2(αT)(Re2(λi)+lm2(λi))+2cos(αT)lm2(λi)+

化簡得

(14)

因?yàn)槭?13)(14)不等號右邊具有相同的形式，將兩式左端做差可得

故當(dāng)不等式(14)成立時(shí)，不等式(13)亦成立。因此，當(dāng)且僅當(dāng)不等式(14)成立時(shí)，ρ(K)<1，系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)(1)在控制輸入式(2)下能達(dá)成分群同步。

3　實(shí)驗(yàn)仿真

圖1　拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

調(diào)和振子在3個(gè)子群中的同步時(shí)間歷程見圖2。

圖2　各分群收斂情況(同步時(shí)間歷程)

4　結(jié)束語

基于采樣控制下的網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子模型，分析了系統(tǒng)分群后的一致性問題。利用分群的有向圖的拉普拉斯矩陣性質(zhì)和Schur-Cohn穩(wěn)定性判據(jù)，求出了系統(tǒng)分群同步的充分條件。最后利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)果的有效性。

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