吳　晨，金英花，石　琳，王世麗

WU Chen,JIN Yinghua,SHI Lin,WANG Shili

江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

1　引言

生活中常常會(huì)看到結(jié)隊(duì)成群的魚(yú)群在水中游動(dòng)時(shí)，為了避免相互碰撞，似乎只要感知周?chē)鷤€(gè)體的運(yùn)動(dòng)情況，而不需要整體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即使有些個(gè)體有時(shí)會(huì)偏離魚(yú)群，但能在短時(shí)間調(diào)整為協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的整體，朝著整體運(yùn)動(dòng)的方向游動(dòng)。另外，可以觀察到群居的螞蟻能夠在不斷變化的環(huán)境中，自發(fā)組織為一個(gè)有效運(yùn)作的整體，完成所需的工作，這兩種自組織的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)行為稱(chēng)為群集運(yùn)動(dòng)。常見(jiàn)的例子還有編隊(duì)遷徙的鳥(niǎo)群、聚集的菌落、同步運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人等等[1-6]。群集運(yùn)動(dòng)要求所有的多智能體的速度隨時(shí)間達(dá)到一致，且位移差要控制在一定的范圍內(nèi)。由此，群集運(yùn)動(dòng)可以看作二階多智能體系統(tǒng)中一種特殊的一致性問(wèn)題。生物學(xué)、物理學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的學(xué)者對(duì)此做了很多的研究[7-18]。1986年，Reynolds[19]提出了群集運(yùn)動(dòng)的三條規(guī)則。這三條規(guī)則分別是：（1）速度匹配；（2）聚合規(guī)則；（3）分離規(guī)則。1995年，Vicsek等人[20]在Reynolds研究成果的基礎(chǔ)上，在平面上建立了一個(gè)經(jīng)典的離散模型，即Vicsek模型。2007年，Cucker和Smale[21-22]在Vicsek模型的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)更為一般的群集模型，即C-S模型。在該模型中，每個(gè)智能體通過(guò)其與其他智能體之間的速度差的加權(quán)平均來(lái)改變自己的速度。并且他們證明了在參數(shù)β＜時(shí)，無(wú)論是連續(xù)還是離散的情形，群體會(huì)無(wú)條件達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

可是這個(gè)最初的C-S模型并不能模擬等級(jí)制度存在的情形，Shen[23]為了解決這個(gè)問(wèn)題，他設(shè)計(jì)了兩個(gè)新穎巧妙的方法來(lái)分別處理連續(xù)和離散的模型。遺憾的是，他僅證明了β＜時(shí)，連續(xù)的模型可以無(wú)條件達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)，離散的模型并不可以。

2009年，Cucker和董久剛[24]成功解決了Shen的遺憾，他們證明了在β＜時(shí)，離散的模型也可以無(wú)條件達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)，然而他們都沒(méi)有考慮通信時(shí)滯存在的情形。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于通信帶寬有限，網(wǎng)絡(luò)會(huì)出現(xiàn)通信信道堵塞、信息傳遞不對(duì)稱(chēng)以及信息傳遞有限等問(wèn)題，從而產(chǎn)生各類(lèi)時(shí)滯。因此，考慮通信時(shí)滯，尤其是時(shí)變時(shí)滯，是很有實(shí)際意義的。所以本文在之前文章的基礎(chǔ)上，考慮了通信時(shí)滯存在的情形，證明了在等級(jí)制度下，當(dāng) β＜時(shí)，離散的C-S模型中即使帶有時(shí)變時(shí)滯，系統(tǒng)仍然能無(wú)條件達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

2　模型描述

定義2.1一個(gè)群體{1,2,…,k}具有等級(jí)制度，如果對(duì)于所有的x∈Rn，鄰接矩陣Ax=(aij(x))滿足：

（1）aij≠0暗含 j＜i；

（2）對(duì)于所有i＞1，集合L(i)={j|aij＞0}是非空的。

稱(chēng)L(i)為個(gè)體i的領(lǐng)導(dǎo)集，稱(chēng)這樣的群體為等級(jí)群體。

考慮包含k個(gè)智能體的二階系統(tǒng)，第i個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)方程為：

這里aij(x)表示個(gè)體之間的連接強(qiáng)度，滿足定義2.1，具體表達(dá)形式為：

其中，n≥0，xi[n]，vi[n]∈R3分別表示為第i個(gè)個(gè)體在n時(shí)刻的位置和速度，τij[n]＞0表示在n時(shí)刻，智能體i和智能體 j之間的通信時(shí)滯，并且規(guī)定當(dāng)n＜minτij[n]時(shí)，智能體i不受領(lǐng)導(dǎo)集影響，以初始時(shí)刻的速度勻速運(yùn)動(dòng)，H為耦合系數(shù)。

定義2.2對(duì)于1≤i,j≤k，若系統(tǒng)（1）中的狀態(tài)xi[n]，vi[n]滿足：

則稱(chēng)系統(tǒng)（1）在n→∞時(shí)達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

3　帶有時(shí)變時(shí)滯的群集運(yùn)動(dòng)

則存在P,Q＞0，不依賴于n，滿足對(duì)所有n≥0，成立‖v[n]‖ ≤Qe-Pn。

由等級(jí)制度的定義可知，子群體{1,2,…,i-1}的行為是不依賴于個(gè)體i的。所以，當(dāng)子群體{1,2,…,i-1}差不多收斂到一個(gè)速度時(shí)，等級(jí)群體{1,2,…,i}相近于一個(gè)由兩個(gè)個(gè)體組成的簡(jiǎn)單群體，它實(shí)際上可以看作是由兩個(gè)個(gè)體的一個(gè)擾動(dòng)。

證明 對(duì)子群體{1,2,…,l}來(lái)研究，其中l(wèi)=2,3,…,k，用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。

首先，證明結(jié)論對(duì)子群體{1，2}成立。由等級(jí)群體的定義，有L(2)=1，因此a21＞0。由于個(gè)體1是整個(gè)群體的領(lǐng)導(dǎo)者，并且是勻速運(yùn)動(dòng)，即v1[n]=v1[n-τij[n]]=v1[0]。

4　數(shù)值仿真

本章先考慮智能體之間的沒(méi)有通信時(shí)滯時(shí)的收斂情況，與有通信時(shí)滯時(shí)的情形做比較，之后再通過(guò)幾個(gè)不同的耦合系數(shù)，運(yùn)用數(shù)值模擬驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性。由于在有限時(shí)間內(nèi)，不能達(dá)到一致，所以在仿真中如果滿足以下條件，就看作達(dá)到一致：當(dāng)t≥t0時(shí)，

下面討論由6個(gè)個(gè)體組成的多智能體系統(tǒng)式（1），取一組初值，即當(dāng) n＜minτij[n]時(shí)，有：(x[0],v[0])=((105,6),(79,5),(51,8),(61,7),(43,4),(83,11))（其中每個(gè)個(gè)體都用不同的顏色注明）。

當(dāng)沒(méi)有時(shí)滯，耦合系數(shù)H=4時(shí)，觀察圖1知系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)群集運(yùn)動(dòng)，即最終6個(gè)智能體速度相等，任意兩個(gè)智能體的位移差恒定。利用MATLAB仿真求得收斂時(shí)刻n0=80。

觀察圖2知系統(tǒng)（1）可以達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)，仿真求得收斂時(shí)刻n0=87。

與例1對(duì)比可知，當(dāng)有通信時(shí)滯，其他條件不變時(shí)，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)群集運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間變長(zhǎng)。由此可以推測(cè)，當(dāng)系統(tǒng)中通信時(shí)滯τij[n]滿足定理3.1的條件，耦合系數(shù)和初值不變時(shí)，智能體之間具有通信時(shí)滯，系統(tǒng)的收斂特性不變，但收斂速度變長(zhǎng)。

例3通信時(shí)滯取例2中的函數(shù)，耦合系數(shù)H=5，時(shí)間步長(zhǎng)h=0.2，β=（見(jiàn)圖3）。

當(dāng)耦合系數(shù)H=5時(shí)，觀察圖3知系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)群集運(yùn)動(dòng)，仿真求得收斂時(shí)刻n0=73。

與例2對(duì)比可知，耦合系數(shù)H越大，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致所需要的時(shí)間越短。由此可以推測(cè)，當(dāng)系統(tǒng)中通信時(shí)滯和初值相同時(shí)，只有耦合系數(shù)變化時(shí)，耦合系數(shù)越大，實(shí)現(xiàn)一致的時(shí)間越短。

圖1　沒(méi)有通信時(shí)滯時(shí)，耦合系數(shù)H=4，系統(tǒng)達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)的情形

圖2　有通信時(shí)滯，耦合系數(shù)H=4，系統(tǒng)可以達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)

圖3　有通信時(shí)滯，耦合系數(shù)H=5，系統(tǒng)可以達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)

圖4　有通信時(shí)滯（與例2不同），耦合系數(shù)H=4，系統(tǒng)可以達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)

耦合系數(shù)H=4,系統(tǒng)可以達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。

觀察圖4知系統(tǒng)（1）可以達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)，仿真求得收斂時(shí)刻n0=95。

與例2對(duì)比可知，例4每一項(xiàng)的時(shí)滯函數(shù)系數(shù)都大于例2。當(dāng)其他條件不變，通信時(shí)滯函數(shù)系數(shù)變大，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)群集運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間變長(zhǎng)。根據(jù)例1、例2和例4可以推測(cè)，當(dāng)系統(tǒng)中通信時(shí)滯τij[n]滿足定理3.1的條件，耦合系數(shù)和初值不變時(shí)，智能體之間通信時(shí)滯函數(shù)系數(shù)越大，系統(tǒng)的收斂特性不變，但收斂時(shí)間越長(zhǎng)。

5　總結(jié)

本文對(duì)等級(jí)制度下離散的C-S模型具有時(shí)變時(shí)滯的情況進(jìn)行了分析，給出了系統(tǒng)達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)的充分條件，證明了在β＜時(shí)，可以無(wú)條件收斂，并且利用數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。同時(shí)通過(guò)仿真結(jié)果可知，當(dāng)系統(tǒng)中耦合系數(shù)和通信時(shí)滯滿足定理3.1的條件時(shí)，耦合系數(shù)越大，系統(tǒng)達(dá)到一致的時(shí)間越短，通信時(shí)滯的變化不影響系統(tǒng)的收斂特性，但會(huì)影響收斂速度。本文對(duì)β≥的情況未作分析，而且要求全局領(lǐng)導(dǎo)者的速度恒定。然而，在一些實(shí)際情況下，領(lǐng)導(dǎo)者的速度可能是變化的，因而對(duì)β＞的情況，全局領(lǐng)導(dǎo)者速度變化時(shí)，還有噪音干擾情況下的分析，將是今后研究的方向。

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