劉中流,任 超,甘祥前,梁春麗
(1. 桂林理工大學測繪地理信息學院,廣西 桂林 541004; 2. 廣西空間信息與測繪重點實驗室,廣西 桂林 541004)
GNSS精密定位技術已廣泛應用于測量改正的各個領域。然而GNSS信號穿過大氣層時會引起大氣延遲誤差,這往往對定位精度會產(chǎn)生很大的影響。大氣延遲誤差主要分為電離層延遲誤差和對流層延遲誤差。由于電離層對GNSS信號表現(xiàn)出色散介質特性,故產(chǎn)生的電離層延遲與GNSS信號頻率相關,因而目前在GNSS常規(guī)測量中常采用雙頻觀測方法來消除電離層延遲的影響,且在一定范圍內,其對電離層延遲的改正可達90%以上[1]。然而對流層對GNSS信號表現(xiàn)出了非色散介質特性,因此雙頻觀測方法不適用于對流層延遲改正。對對流層延遲改正的常用方法有外部修正法、參數(shù)估計法和模型改正法[2-3],它們可以通過采集或運算的方法估計出ZTD值,再代入GNSS觀測方程中便可進行延遲誤差改正[4]。
改進對流層模型一直是減弱對流層延遲影響的有效方法[5-6],而近年來,部分學者在預測估計ZTD的領域進行了研究,并獲得了一定的成效:王勇等使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡的方法,在試驗中取得了76%的預測值與真實值偏差(bias)在3 cm以內的成果[7];李劍鋒等在試驗中使用組合模型的方法,使得試驗中的平均預測值精度(均方根誤差,下同)達到了14.88 mm[8];呂慧珠等使用譜分析和AR補償結合的方法,使得試驗中的平均預測值精度達到了19.36 mm[9]。此類方法也可以較好地計算出對流層延遲,并代入觀測方程中進行誤差改正。許多學者將自回歸移動平均模型(ARIMA)應用到電離層電子含量的預測中,并取得了較好的成果[10-12],而在對流層預測中對其的應用卻很少有。ARIMA模型對非平穩(wěn)序列具有較好的預測效果,且適用范圍廣,但卻容易在捕捉序列線性與非線性復合性特征時出現(xiàn)精度下降[13]。針對上述情況,本文將ARIMA模型應用于ZTD預測,并引入一種基于季節(jié)性自回歸移動平均模型(SARIMA)的對流層延遲估計新方法,該方法可分別針對不同的原始ZTD序列進行參數(shù)構建,然后進行預測以得到最終結果;針對我國不同地區(qū)的ZTD值進行預測,并統(tǒng)計分析它們的預測精度。
ARIMA是一個可以衡量內生變量與其滯后性與改變量關系的系統(tǒng)模型,是對移動平均模型(ARMA)的擴展[14]。
ARIMA(p,d,q)的實質是ARMA(p,q)的d階單整(d次差分),其效果是將一個非平穩(wěn)的時間序列轉化為平穩(wěn)時間序列[15]。設Xt為等時間間隔的ZTD序列,則可將ARMA(p,q)模型表達為
φp(B)Xt=θq(B)εt
(1)
式中,B為滯后算子;εt為白噪聲序列;φp(B)為p階自回歸系數(shù)多項式,定義其相應特征方程為φp(x);θq(B)為q階滑動平均系數(shù)多項式,定義其相應特征方程為θq(x)。
當原ZTD序列{Xt}不平穩(wěn)時,可考慮通過式(10)進行差分
(2)
式中,u為差分算子;d為差分階數(shù)。{Xt}在經(jīng)過d次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列,即可建立ARIMA(p,d,q)模型的一般形式
(3)
SARIMA模型又是對ARIMA模型的拓展。雖然ARIMA(p,d,q)模型已經(jīng)可以解決許多時間序列的擬合預測問題,但在實際操作中,又另有許多時間序列的變化具有明顯的周期性特征,我們稱之為季節(jié)性時間序列。由于時間序列的周期性變化,它們在不同周期內的同時期數(shù)據(jù)將處于一個相當?shù)乃剑藭r可以恰當引入乘積季節(jié)性SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)模型[16]。當序列間的長期趨勢、季節(jié)效應和隨機波動間不是簡單的相加關系時,可以使用ARIMA模型提取短期相關性,用周期步長為S的SARIMA模型提取季節(jié)周期性,再采用二者的乘積組合模型對ZTD序列進行預測,從而得到乘積季節(jié)模型的完整結構為
(4)
圖1 SARIMA模型進行ZTD預測的基本流程
本文分別選取IGS中心發(fā)布的長春站(chan)和上海佘山站(shao)的2016年年積日1—30 d和92—121 d的ZTD數(shù)據(jù)作為本次分析的原始ZTD數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)時間分辨率變?yōu)? h。采用ARIMA和SARIMA模型分別對它們進行預測分析,并評定其精度。預測分析原則為,選取這兩個時段前29 d逐小時觀測的ZTD數(shù)據(jù)作為訓練數(shù)據(jù),并對未來24個ZTD值逐小時地進行預測。
實現(xiàn)對各個ZTD分量序列的SARIMA模型構建后,選取前29 d的數(shù)據(jù)進行擬合分析,并對后24 h的數(shù)據(jù)進行預測。本文引入精度指標:均方根誤差(root mean square error,RMSE)、平均絕對誤差(mean absolute error,MAE)、平均相對誤差(mean relative error,MRE),它們的數(shù)學表達式分別為
(5)
(6)
(7)
在進行擬合預測前,應對SARIMA模型(或ARIMA模型)進行定階。此處以上海佘山站1—29 d 原始ZTD數(shù)據(jù)為例進行模型構建分析,此時段數(shù)據(jù)如圖2所示。
圖2 上海佘山站年積日1—29 d ZTD數(shù)據(jù)
通過觀察易于發(fā)現(xiàn),該序列波幅在趨勢上下波動且無明顯增大或減小傾向,應屬于趨勢平穩(wěn)(trend stationary),此時再引入ADF單位根檢驗法,判斷序列是否嚴平穩(wěn)。ADF檢驗結果見表1。
表1 ZTD序列ADF檢驗結果
結果顯示,原序列即使在10%的置信水平上也不能拒絕單位根假設。此時需要對原序列進行一階差分,并再次進行ADF檢驗,結果見表2。
表2 一階差分ZTD序列ADF檢驗結果
此時結果顯示,即使在1%的置信水平下,也可以拒絕單位根假設,代表序列平穩(wěn),故d值取1。下一步應進行相關性分析,作出該一階差分序列滯后36階的ACF、PACF函數(shù)如圖3所示。
由圖3可知,其ACF、PACF函數(shù)均表現(xiàn)出拖尾性,滿足AR(p)、MA(q)過程。此處PACF值三步截尾,一階滯后處PACF值較為顯著,且24階滯后處再次上升至一個相對峰值,隨后更高階滯后的自相關系數(shù)明顯減小,此類型表明AR(3)×SAR(24)基本符合該序列(此處SAR(24)僅為計算機的取向概念,告知計算機季節(jié)組中的每24 h為一個周期,而該模型應正確描述為p=3,P=1),同理可得q=8,P=1。故可基本選定SARIMA(3,1,1)×(8,0,1)模型。但此時定階的模型僅代表它能很大程度上迫近原序列,并不代表就是最優(yōu)模型,此時可選取該模型已確認參數(shù)的一定鄰域內的正整數(shù)替換原參數(shù),并一起進行AIC準則運算,選擇使得AIC最小的參數(shù)組合確認為最優(yōu)模型參數(shù)。本文通過AIC驗證最終確認模型為SARIMA(3,1,1)×(8,0,1),并以此進行回歸,再進行殘差白噪聲檢驗,殘差ACF、PACF函數(shù)圖如圖4所示。
圖3 一階差分ZTD序列ACF、PACF圖
顯而易見,殘差為白噪聲序列,故可認為該模型可靠,可進一步用于ZTD數(shù)據(jù)預測。同理,其他序列也以此過程進行模型定階,并作預測分析。
對所準備的原始序列進行預測分析,最終得到兩模型預測精度對比分別見表3、表4、表5。
圖4 殘差序列ACF、PACF圖
表4 兩模型預測成果MAE對比 mm
表5 兩模型預測成果MRE (%)
本文對上述各表的預測結果進行分析,并總結得到以下結論:
(1) 加入季節(jié)性分析后,對ZTD序列的預測精度有較好的提高,對年積日1—30 d的數(shù)據(jù)預測結果顯示,平均RMSE降低了27.7%,對年積日92—121 d的數(shù)據(jù)預測結果總體精度較前者雖有所下降,但同期平均RMSE也降低了25.7%。
(2) SARIMA模型預測結果顯示,平均偏差不大,且占原值比很小,年積日92—121 d的數(shù)據(jù)預測結果的平均MRE僅1%左右,年積日1—30 d的數(shù)據(jù)預測結果平均MRE僅0.15%。
(3) SARIMA模型對ZTD數(shù)據(jù)的總體估計精度較領域內當前的其他模型(前文提及)的估計精度要高,總體平均RMSE降低了19.9%。
(4) 在部分時期、地區(qū)出現(xiàn)了預測精度降低的情況,由于對流層延遲受濕度影響較大,故本文猜測與同期氣象變化存在關系,但不于此處進行研究。
本文綜合分析了中國長春、上海地區(qū)的ZTD變化,并分別以ARIMA和SARIMA模型,對兩個地區(qū)不同時期的ZTD序列進行了短期(24 h)預測。綜合不同地區(qū)、時段的預測成果,結論如下:
(1) ARIMA和SARIMA模型對ZTD序列均有較好的預測效果,而由于ZTD序列存在一定的季節(jié)性特征,故總體而言加入季節(jié)性分析后預測精度均有較大提高。
(2) 本文在定階試驗時發(fā)現(xiàn),存在個別ZTD序列不具有較強的季節(jié)性特征的情況,此時不能盲目加入季節(jié)性影響,否則將降低模型精度。
(3) SARIMA模型對ZTD序列的預測精度較高,可滿足許多ZTD數(shù)值估計的需求,具有一定的實用意義。
(4) 關于SARIMA模型在不同地區(qū)、時期對ZTD序列的預測的應用效果需要進一步研究。
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