仇智鵬，魯富榮，杜亞星，錢(qián)宇華+

1.山西大學(xué) 大數(shù)據(jù)科學(xué)與產(chǎn)業(yè)研究院，太原 030006

2.山西大學(xué) 計(jì)算智能與中文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030006

3.山西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，太原 030006

1　引言

隨著對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的深入研究，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、演化以及動(dòng)力學(xué)問(wèn)題已經(jīng)獲得許多重要的突破[1-4]。對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究，其最終目標(biāo)是如何控制一個(gè)網(wǎng)絡(luò)以達(dá)到期待的目標(biāo)狀態(tài)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可控性問(wèn)題是近年來(lái)提出的重要研究熱點(diǎn)之一。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制方面主要的工作包括牽制控制[5-6]和結(jié)構(gòu)控制[3,7]等。近期的工作主要包括復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可觀測(cè)性[8]、目標(biāo)可控性[9]、控制能量[10]、精確可控性[11]及多層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[12]等方面的研究[13-19]。對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)而言，控制的目的是如何通過(guò)恰當(dāng)?shù)妮斎朐谟邢迺r(shí)間內(nèi)使得網(wǎng)絡(luò)在自身動(dòng)力學(xué)機(jī)制下演化到任意想要的狀態(tài)[20-21]。2011年，Liu等人[3]通過(guò)將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的完全可控問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖論中的最大匹配問(wèn)題，找到了控制網(wǎng)絡(luò)的最少驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)。2013年，Yuan等人[11]基于可控性的PBH秩判據(jù)提出了對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的精確控制，從而簡(jiǎn)化了對(duì)于無(wú)向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)的計(jì)算。然而，對(duì)于真實(shí)網(wǎng)絡(luò)而言，對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行完全控制有時(shí)是費(fèi)時(shí)費(fèi)力的，甚至是不可行的，例如微生物網(wǎng)絡(luò)和一些社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，它們規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜。出于這個(gè)考慮，Gao等人[9]基于結(jié)構(gòu)控制理論，利用貪婪算法提出了對(duì)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)控制。該算法首先選擇一部分節(jié)點(diǎn)作為需要控制的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，再通過(guò)迭代使用匹配算法最終找到了驅(qū)動(dòng)該部分目標(biāo)節(jié)點(diǎn)達(dá)到理想狀態(tài)的最小驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)及其數(shù)目。

度相關(guān)性[22]是刻畫(huà)網(wǎng)絡(luò)屬性的一個(gè)重要指標(biāo)，反映節(jié)點(diǎn)與其相鄰節(jié)點(diǎn)之間度的聯(lián)系。本文考慮的是有向網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性，具體為入度-入度相關(guān)性、入度-出度相關(guān)性、出度-入度相關(guān)性、出度-出度相關(guān)性。如果網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊連接情況與兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的度值無(wú)關(guān)，稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)不具有度相關(guān)性。如果度值較大的節(jié)點(diǎn)傾向于連接度值較大的節(jié)點(diǎn)，那么就稱(chēng)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是同配的。反之，如果度值較大的節(jié)點(diǎn)傾向于連接度值相對(duì)較低的節(jié)點(diǎn)，那么就稱(chēng)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是異配的。

由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目多，連邊復(fù)雜度高，不能像低維小系統(tǒng)一樣通過(guò)遍歷的方法來(lái)尋找控制輸入位置。因此，如何有效地確定所需要獨(dú)立控制的節(jié)點(diǎn)數(shù)目和控制輸入的位置，以滿足復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性的要求就成為網(wǎng)絡(luò)控制需要解決的首要問(wèn)題。對(duì)于控制而言，除了探究其控制的機(jī)理，提出有效的控制手段之外，探究影響該控制方法效率的因素也是一個(gè)重要的方面。度相關(guān)性對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控具有重要的影響已經(jīng)被證實(shí)[23]。在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，例如電力網(wǎng)絡(luò)、生物網(wǎng)絡(luò)，其度相關(guān)性呈現(xiàn)出一定的異配性，而社會(huì)網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出一定的同配性，網(wǎng)絡(luò)的同配性與異配性會(huì)影響這些網(wǎng)絡(luò)控制的效率。而目標(biāo)控制是采用貪婪算法，在結(jié)構(gòu)控制的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)對(duì)于網(wǎng)絡(luò)部分節(jié)點(diǎn)的控制，因此本文選取度相關(guān)性作為目標(biāo)控制的影響因素進(jìn)行研究。探究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制的影響因素，能夠更好地認(rèn)識(shí)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)于網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制的影響，同時(shí)也能夠在此基礎(chǔ)上改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)使得網(wǎng)絡(luò)更易于被目標(biāo)控制。

本文探究了各種度相關(guān)性對(duì)于目標(biāo)控制效率的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在目標(biāo)控制的機(jī)制下，出度-入度相關(guān)性對(duì)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)控制效率影響較大，而隨著出度-入度相關(guān)性的逐步增加，驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例呈逐步下降趨勢(shì)。

2　相關(guān)內(nèi)容

2.1　目標(biāo)控制

本文采用的目標(biāo)控制策略是由Gao等人[9]提出的，研究的是線性時(shí)不變系統(tǒng)的目標(biāo)控制：

其中，x∈RN,u∈RM,y∈RS，這3個(gè)變量分別代表了系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量以及輸出向量。A∈RN×N，B∈RN×M，C∈RS×N，分別表示狀態(tài)矩陣、輸入矩陣以及輸出矩陣。A描述的是系統(tǒng)的線性連接關(guān)系；B決定了外部輸入信號(hào)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系；u是隨時(shí)間變化的輸入信號(hào)；C是所需要控制的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)N={1,2,…,N}，所需要控制的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)集合是C={c1,c2,…,cS}，其中，S=|C|=fN。表示輸出的矩陣C=[I(c1),I(c2),…,I(cS)]，其中I(i)表示一個(gè)N×N單位矩陣的第i行。如果給定一個(gè)時(shí)變的輸入向量u(t)=(u1(t),u2(t),…,uM(t))T，這樣一個(gè)輸入向量可以使得目標(biāo)節(jié)點(diǎn)變成任意期望的最終狀態(tài)，那么就說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)是目標(biāo)可控的。目標(biāo)控制可以被看作一種（A,B,C）特殊的輸出可控，而且在滿足如下條件的情況下：

如果滿足（2），對(duì)于任意的初始狀態(tài)x(0)，就可以計(jì)算出最優(yōu)化的輸入向量u(t)使得網(wǎng)絡(luò)可以在有限時(shí)間tˉ>0達(dá)到任意最終狀態(tài)yˉ，也就是說(shuō)最終y(tˉ)≡yˉ。

為了解決目標(biāo)控制問(wèn)題，采用“K-walk theory”。該理論的原理是：一個(gè)節(jié)點(diǎn)可以控制這樣的一組目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，即從驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)到任意目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度是互不相同的。使用“K-walk theory”就可以確定這樣的一個(gè)受控節(jié)點(diǎn)的集合。對(duì)于需要超過(guò)一個(gè)控制輸入的網(wǎng)絡(luò)，采用貪婪算法（圖1），來(lái)找到最少的輸入節(jié)點(diǎn)。圖1（a）中對(duì)一個(gè)小型網(wǎng)絡(luò)施加目標(biāo)控制。網(wǎng)絡(luò)中一共7個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn){x3,x4,x6,x7}為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)（紅圈標(biāo)出）。在圖1（b）中使用貪婪算法來(lái)解決網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)控制問(wèn)題。首先，將原網(wǎng)絡(luò)映射成一個(gè)二分圖的形式。目標(biāo)節(jié)點(diǎn)是{x3,x4,x6,x7}，通過(guò)紅線所示的第一次迭代之后，找到匹配節(jié)點(diǎn){x2,x3,x5,x6}，將這些節(jié)點(diǎn)作為第二次迭代的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。通過(guò)3次迭代，最終得出{x1,x5}是{x3,x4,x6,x7}的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)。

Fig.1　Progress of target control圖1　目標(biāo)控制過(guò)程

2.2　度相關(guān)性

度相關(guān)性可以度量節(jié)點(diǎn)之間的連接趨勢(shì)，而且它可以有多種表示形式。本文采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)度相關(guān)性：

2.3　度相關(guān)性影響

本文所研究的是度相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制的影響。如圖2所示，從一個(gè)簡(jiǎn)單的角度考慮一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。在圖2（a）中，該矩陣為隨機(jī)重連之前網(wǎng)絡(luò)的連接矩陣，左半部分代表源節(jié)點(diǎn)（即有向邊的出節(jié)點(diǎn)），右半部分代表終節(jié)點(diǎn)（即有向邊的指入點(diǎn)）中N=7。圖2（b）展示的是隨機(jī)重連之后網(wǎng)絡(luò)的連接矩陣。

Fig.2　Connection matrix of networks before and after change圖2　網(wǎng)絡(luò)重連前后的連接矩陣

Fig.3　Effect of degree correlations on target control圖3　度相關(guān)性對(duì)目標(biāo)控制驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的影響

在圖3（a）～（d）中，所要控制的是{x3,x4,x6,x7}4個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖（a）是初始網(wǎng)絡(luò)的連邊圖，圖（b）通過(guò)目標(biāo)控制算法找出的網(wǎng)絡(luò)最終驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn){x1,x5}，圖（c）是隨機(jī)重連之后生成的網(wǎng)絡(luò)連邊圖，圖（d）為改變度相關(guān)性之后，通過(guò)目標(biāo)控制算法找出的網(wǎng)絡(luò)最終驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)變?yōu)閧x5}，從而使得驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目降低。因此，網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)可控性會(huì)受到度相關(guān)性的影響。

3　度相關(guān)性影響的實(shí)驗(yàn)分析

3.1　模擬退火算法

為了探索度相關(guān)性對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制的影響，本文采用模擬退火算法，使得在保持度分布不變的情況下，改變度相關(guān)性到任意期望的目標(biāo)值。

（1）設(shè)定了初始溫度T和每個(gè)溫度下的迭代次數(shù)iter，以及能量函數(shù)E(r)=|r-r*|；

（2）采用隨機(jī)擾動(dòng)的方法，每次從網(wǎng)絡(luò)中任取兩條邊，交換兩條連邊的終節(jié)點(diǎn)，該操作的目的是使得網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的出度和入度保持不變；

（3）計(jì)算出E(r)的值，看是否小于閾值，如果小于閾值，則已經(jīng)達(dá)到所需要的r值范圍；

（4）繼續(xù)迭代，直到達(dá)到所需要的r值范圍，或者溫度T小于所設(shè)定的最小溫度t。

3.2　度相關(guān)性對(duì)E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)驗(yàn)分析

圖4為在E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中度相關(guān)性對(duì)目標(biāo)控制的影響(nD=ND/(N×p))。其中，nD為目標(biāo)控制驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例，ND為驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目，N為節(jié)點(diǎn)數(shù)，p為選擇的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)比例。本文研究的是度相關(guān)性對(duì)網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制的影響，因此每次隨機(jī)選取一半的節(jié)點(diǎn)(p=50%)為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。該E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的平均度為=1(red),=2(green),=3(blue),=5(black)。圖中每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為5次實(shí)驗(yàn)取平均值。圖4（a）考慮了入度-入度相關(guān)性(rin-in)和驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例(nD)的關(guān)系；圖4（b）考慮了入度-出度相關(guān)性(rin-out)和驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例(nD)的關(guān)系；圖4（c）考慮了出度-入度相關(guān)性(rout-in)和驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例(nD)的關(guān)系；圖4（d）考慮了出度-出度相關(guān)性(rout-out)和驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例(nD)的關(guān)系。

實(shí)驗(yàn)表明對(duì)于目標(biāo)控制而言，在4種度相關(guān)性中，出度-入度相關(guān)性的影響最為明顯。

對(duì)于E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，首先從入度-入度相關(guān)性角度來(lái)看，在網(wǎng)絡(luò)處于異配的情況(rin-in<0)，網(wǎng)絡(luò)中入度較大的節(jié)點(diǎn)連接網(wǎng)絡(luò)中入度較小的節(jié)點(diǎn)，而該入度較小的節(jié)點(diǎn)連接網(wǎng)絡(luò)中入度較大的節(jié)點(diǎn)。從形成匹配的角度來(lái)看，該結(jié)構(gòu)會(huì)在形成二階路徑的過(guò)程中，浪費(fèi)大量的入邊，從而抑制了網(wǎng)絡(luò)中其他匹配的形成，加大了網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)可控的難度。

Fig.4　Correlations betweennDand all kinds ofrin random network圖4　隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例和各種相關(guān)性的關(guān)系

因此，網(wǎng)絡(luò)異配性較強(qiáng)(r<-0.3)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例較大。通過(guò)模擬退火算法改變網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性后，網(wǎng)絡(luò)在逐步變?yōu)橥|(zhì)網(wǎng)絡(luò)(rin-in>0)的過(guò)程中，相關(guān)性逐步上升，由二階路徑所帶來(lái)的對(duì)于匹配的抑制性降低，所以網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例逐步下降。而當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的入度-入度相關(guān)性逐步增加時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中入度較高的節(jié)點(diǎn)相互連接，使得網(wǎng)絡(luò)中入邊存在較大的浪費(fèi)，所以在度相關(guān)性增高的后半階段，目標(biāo)控制的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例逐步上升。因此，隨著網(wǎng)絡(luò)入度-入度相關(guān)性的增加，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例首先會(huì)逐步降低，在網(wǎng)絡(luò)入度-入度相關(guān)性增高的后半階段，網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例逐步上升。

從入度-出度相關(guān)性的角度來(lái)看，在求網(wǎng)絡(luò)中目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)時(shí)，所考慮的是節(jié)點(diǎn)之間的匹配關(guān)系。以連邊兩端的節(jié)點(diǎn)考慮，對(duì)于源節(jié)點(diǎn)而言，考慮的是源節(jié)點(diǎn)的出度，而對(duì)于連邊另一端的節(jié)點(diǎn)，考慮的是其入度，以此衡量網(wǎng)絡(luò)中的匹配數(shù)目。這樣的一個(gè)匹配數(shù)目與網(wǎng)絡(luò)的入度-出度相關(guān)性幾乎無(wú)關(guān)，因此網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)可控性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)的入度-出度相關(guān)性沒(méi)有體現(xiàn)出很強(qiáng)的依賴(lài)關(guān)系。

從出度-入度相關(guān)性的角度來(lái)看，因?yàn)橛邢蚓W(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為匹配問(wèn)題，而匹配本身從源節(jié)點(diǎn)的角度看就是出邊，從終節(jié)點(diǎn)的角度看就是入邊，所以網(wǎng)絡(luò)本身體現(xiàn)出對(duì)于該相關(guān)性很高的依賴(lài)性。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)體現(xiàn)出很高的異配性時(shí)（網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的出度很高而入度很低時(shí)），因?yàn)樵摮龆雀叩墓?jié)點(diǎn)只能控制其中一個(gè)入度低的節(jié)點(diǎn)，所以想要控制其他入度低的節(jié)點(diǎn)就需要另外施加控制輸入，網(wǎng)絡(luò)的異配性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)可控體現(xiàn)出較高的抑制性。因此，對(duì)于目標(biāo)控制而言，其驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例會(huì)相對(duì)較高。反之，如果網(wǎng)絡(luò)有良好的同配性，則對(duì)于出度較低的節(jié)點(diǎn)，其入度也會(huì)較低，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中出邊或者入邊的利用率較高，在形成匹配的過(guò)程中，目標(biāo)節(jié)點(diǎn)易處于一條有向路徑中。因此，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)同配性越來(lái)越高時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例會(huì)降低。

對(duì)于出度-出度相關(guān)性而言，網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例體現(xiàn)出和入度-入度相關(guān)性良好的吻合。因?yàn)槿绻麑⒃W(wǎng)絡(luò)中所有的連邊反向，則網(wǎng)絡(luò)中的匹配性質(zhì)不會(huì)發(fā)生變化，即網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例不會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的出度-出度相關(guān)性等價(jià)于原來(lái)的入度-入度相關(guān)性，所以網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例與入度-入度相關(guān)性圖所體現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律一致。

3.3　度相關(guān)性對(duì)S-F無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的實(shí)驗(yàn)分析

如圖5所示，對(duì)于該無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，其平均度=1,=2,=3,=5,γ=3,N=5 000。目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的選擇也是每次隨機(jī)選擇總節(jié)點(diǎn)數(shù)目的一半(p=50%)。每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都是取了5次實(shí)驗(yàn)的平均值。圖5表示了驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例和4種度相關(guān)性之間的關(guān)系。對(duì)于S-F無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，度相關(guān)性對(duì)于其影響表現(xiàn)出和E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)類(lèi)似的性質(zhì)。

Fig.5　Correlations betweennDand all kinds ofrin scale-free network圖5　無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例和各種相關(guān)性的關(guān)系

從入度-入度相關(guān)性和出度-出度相關(guān)性的角度來(lái)看，在目標(biāo)控制中，所體現(xiàn)的性質(zhì)與E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)相差不大。然而，因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)為S-F無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，不考慮網(wǎng)絡(luò)中具體連邊的方向，網(wǎng)絡(luò)本身體現(xiàn)出較高的異配性，即使網(wǎng)絡(luò)的入度-入度相關(guān)性逐步增加，網(wǎng)絡(luò)本身也很難有較高的同配性，所以不容易構(gòu)成入度-入度相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)形成匹配的抑制，從而網(wǎng)絡(luò)在入度-入度相關(guān)性由-1到+1的過(guò)程中都保持驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例逐步降低。而當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的入度-入度相關(guān)性極高時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中入度較高的節(jié)點(diǎn)相互連接，使得網(wǎng)絡(luò)中入邊存在較大的浪費(fèi)，所以在度相關(guān)性接近+1的時(shí)候，目標(biāo)控制的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例存在上升的趨勢(shì)。因此，隨著網(wǎng)絡(luò)入度-入度相關(guān)性的增加，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例首先會(huì)逐步降低，在網(wǎng)絡(luò)入度-入度相關(guān)性極高時(shí)，網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例存在逐步上升的趨勢(shì)。

從入度-出度和出度-入度相關(guān)性的角度來(lái)看，入度-出度相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例幾乎沒(méi)有影響，而出度-入度相關(guān)性對(duì)S-F無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)影響較大，且隨著出度-入度相關(guān)性的增加，驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例逐步降低。

3.4　真實(shí)網(wǎng)絡(luò)

本節(jié)用真實(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制效率的影響。所用的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示，表格內(nèi)從左到右的內(nèi)容依次為真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的編號(hào)、類(lèi)型、名字、節(jié)點(diǎn)數(shù)目以及連邊數(shù)目。

Table 1　Data of real networks表1　真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)

一共考慮了7個(gè)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)，依舊隨機(jī)選擇總節(jié)點(diǎn)的一半節(jié)點(diǎn)(p=50%)作為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，其中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)重復(fù)5次實(shí)驗(yàn)取平均值，所得出的關(guān)系如圖6所示。

對(duì)于選取的TRN-EC-Alon、TRN-EC-RDB64、TRNYeast-Alon而言，入度-入度相關(guān)性整體變化趨勢(shì)不明顯，但是在度相關(guān)性極高時(shí)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例是增高的。而入度-出度相關(guān)性在該類(lèi)型網(wǎng)絡(luò)上幾乎沒(méi)有影響。出度-入度相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例影響較為明顯，隨著相關(guān)性的逐步增加，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例逐步減少。由于真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的限制，網(wǎng)絡(luò)在出度-出度相關(guān)性上無(wú)法有很大范圍的變化，然而在小范圍內(nèi)的變化是伴隨度相關(guān)性的增加先降低后增高。

對(duì)于S420、S838網(wǎng)絡(luò)而言，從入度-入度的角度看，在度相關(guān)性為負(fù)時(shí)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例浮動(dòng)不大，而當(dāng)度相關(guān)性取正值的時(shí)候網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例隨度相關(guān)性的增加而逐步上升。入度-出度相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例的影響不大。而伴隨網(wǎng)絡(luò)出度-入度相關(guān)性的增加，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例迅速下降，對(duì)于出度-出度相關(guān)性而言，網(wǎng)絡(luò)體現(xiàn)出和入度-入度相關(guān)性良好的匹配，在負(fù)值時(shí)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例變化不大，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)度相關(guān)性逐步變?yōu)?1的過(guò)程中，網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例逐步上升。

對(duì)于Dolphins、Prisoninmate網(wǎng)絡(luò)而言，伴隨著網(wǎng)絡(luò)入度-入度相關(guān)性的增加，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例先是逐步下降，然后逐步上升。入度-出度相關(guān)性對(duì)其幾乎沒(méi)有影響，伴隨著出度-入度相關(guān)性的增加，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例逐步降低。出度-出度相關(guān)性與入度-入度相關(guān)性的表現(xiàn)幾乎一致。

4　結(jié)論

通過(guò)對(duì)E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、S-F無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，本文最終能得出各種度相關(guān)性對(duì)網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制效率影響的結(jié)論。

（1）對(duì)于絕大部分網(wǎng)絡(luò)而言，在入度-入度相關(guān)性由-1變?yōu)?1的過(guò)程中，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例先是逐步降低，在度相關(guān)性為0的附近，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例取得最低，并且在度相關(guān)性很小范圍內(nèi)幾乎保持不變。隨后，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性增大，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例也隨之上升。

（2）入度-入度相關(guān)性，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例幾乎沒(méi)有影響。

（3）出度-入度相關(guān)性，伴隨著出度-入度相關(guān)性的增大，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例逐步降低，且該相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例的影響最大。

（4）出度-出度相關(guān)性，該相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例影響與入度-入度相關(guān)性幾乎一致，都是隨著網(wǎng)絡(luò)度相關(guān)性的增大，驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例先降低后升高。

Fig.6　Correlations betweennDand all kinds ofrin real networks圖6　真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例和各種相關(guān)性的關(guān)系

5　展望

本文研究了在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，4種度相關(guān)性對(duì)于目標(biāo)控制的影響，其中網(wǎng)絡(luò)的出度-入度相關(guān)性對(duì)于網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)可控性具有較強(qiáng)的影響，并揭示了對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)控制的影響因素，及其帶來(lái)的一些問(wèn)題。接下來(lái)的研究方向主要包括：如何通過(guò)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)使得在目標(biāo)控制的情況下，網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目盡可能得少；探究各種度相關(guān)性影響的內(nèi)在機(jī)理；對(duì)于真實(shí)網(wǎng)絡(luò)，如何調(diào)整才能使其更易被控制等。

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