陳漢林

（重慶能源職業(yè)學(xué)院，重慶 402247）

0 引言

裂紋擴(kuò)展方式主要為Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂，這對(duì)于巖石材料復(fù)合型斷裂強(qiáng)度和裂紋延伸路徑等的研究意義重大［1-3］。較為經(jīng)典的斷裂準(zhǔn)則主要有最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則（MTS）［4］、最小應(yīng)變能密度因子準(zhǔn)則（S）［5］和最大能量釋放率準(zhǔn)則（G）［6］。在裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的分析中，大都采用Williams級(jí)數(shù)解的展開(kāi)式，包括奇異項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)以及若干高階項(xiàng)，其中T應(yīng)力為平行于裂紋方向的常數(shù)。以上經(jīng)典的斷裂準(zhǔn)則均未考慮過(guò)常數(shù)項(xiàng)（T應(yīng)力）的影響，其預(yù)測(cè)結(jié)果，特別是復(fù)合型裂紋起裂角存在較大誤差［7-8］。

研究表明［9-10］，當(dāng)非常接近裂尖時(shí)，奇異應(yīng)力項(xiàng)比T應(yīng)力大很多，此時(shí)T應(yīng)力可以忽略。但是材料的臨界裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑rc較大時(shí)，T應(yīng)力不能再忽略［11-12］。劉帥華等［9-14］研究了T應(yīng)力對(duì)脆性材料Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂韌性及裂紋擴(kuò)展路徑的影響，T應(yīng)力對(duì)Ⅱ型斷裂占主導(dǎo)地位的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子具有很大影響；唐世斌等［10］發(fā)現(xiàn)通過(guò)控制T應(yīng)力的大小，可以對(duì)裂紋擴(kuò)展方向加以控制，最大限度地防止材料斷裂。Ayatollahi等［12］發(fā)現(xiàn)：在T應(yīng)力作用下Ⅰ型和Ⅱ型斷裂韌性不再是常數(shù)，而是依賴于T應(yīng)力的數(shù)值，不同試件形狀測(cè)試的斷裂韌性值不統(tǒng)一；試件的尺寸和載荷加載形式?jīng)Q定了裂紋尖端常數(shù)項(xiàng)T應(yīng)力的大小。Larsson等［15］研究認(rèn)為T應(yīng)力方向和大小可以改變裂尖周圍塑性區(qū)的形狀和尺寸。 Cotterel等［16］及 Fleck［17］均發(fā)現(xiàn)，在Ⅰ型荷載條件下的斷裂分析中，T應(yīng)力控制著直裂紋擴(kuò)展路徑的穩(wěn)定性。Tvergaard等［18］還研究了塑性變形中T應(yīng)力對(duì)Ⅰ型裂紋擴(kuò)展阻力的影響。

為研究T應(yīng)力對(duì)斷裂的影響，建立更加精確的復(fù)合型斷裂準(zhǔn)則，本文在傳統(tǒng)的MTS準(zhǔn)則中加入了T應(yīng)力，建立廣義MTS準(zhǔn)則（GMTS），采用中心直裂紋半圓盤試件，加工不同裂紋傾角的試件后，施加三點(diǎn)彎曲應(yīng)力載荷，得到不同Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂裂紋的初始起裂角和斷裂韌性。根據(jù)GMTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)不同復(fù)合型斷裂裂紋的初始起裂角和斷裂韌性，將預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果對(duì)比，研究T應(yīng)力對(duì)巖石類材料的斷裂強(qiáng)度及裂紋擴(kuò)展方向的影響規(guī)律。

1 裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則

1.1 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)

Williams在1957年對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了分析，并給出裂紋尖端彈性應(yīng)力場(chǎng)的無(wú)限級(jí)數(shù)展開(kāi)式，其周向應(yīng)力分量為

式中：n為級(jí)數(shù)，值取到2，考慮T應(yīng)力的影響，忽略更高階對(duì)應(yīng)力的計(jì)算影響很小的量。

其中，裂紋尖端的Williams級(jí)數(shù)解的一階項(xiàng)系數(shù)A1和B1對(duì)應(yīng)于應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ和KⅡ，二階項(xiàng)系數(shù)A2對(duì)應(yīng)于T應(yīng)力，B2對(duì)應(yīng)的二階項(xiàng)為0，即：

式中：σθθ為裂紋尖端周向應(yīng)力，MPa；r 為圓心半徑，mm；θ為裂尖周向應(yīng)力方向，（°）；KⅠ，KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，；T 為應(yīng)力，MPa。

1.2 GMTS準(zhǔn)則

該準(zhǔn)則認(rèn)為，當(dāng)裂紋尖端以圓心rc為半徑的小圓周上的周向應(yīng)力達(dá)到臨界值σc時(shí)裂紋開(kāi)始擴(kuò)展，擴(kuò)展方向?yàn)榱鸭庵芟驊?yīng)力最大的方向，記為θc。MTS準(zhǔn)則為

將式（1）代入式（3）可得：

對(duì)于純Ⅰ型斷裂，將 KⅡ=0代入式（4），式（5）可得：

由式（9）可以發(fā)現(xiàn)：在T應(yīng)力為負(fù)值的情況下，二次導(dǎo)數(shù)始終小于0，表明式（3）在θ=0°時(shí)恒成立。因此，若T＜0，則起裂角保持為0°，裂紋擴(kuò)展方向不發(fā)生轉(zhuǎn)向。在T應(yīng)力為正值時(shí)，裂紋擴(kuò)展方向只有在情況下不發(fā)生偏向。當(dāng)時(shí)，式（5）無(wú)法滿足，裂紋擴(kuò)展角可用式（3）來(lái)預(yù)測(cè)。

2 復(fù)合型裂紋擴(kuò)展分析

二維復(fù)合斷裂模型，在確定參數(shù)rc，KⅠ，KⅡ，T的情況下，可求出裂紋擴(kuò)展角。對(duì)式（4）無(wú)量綱化處理：

圖1 廣義最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則預(yù)測(cè)起裂角

實(shí)際工程中，一般只需對(duì) KⅠ＞0，KⅡ＞0 情況下材料的斷裂開(kāi)展研究。對(duì)于這種情況，首先根據(jù)式（8）獲得確定裂紋擴(kuò)展方向θc。對(duì)于純I型裂紋，KⅡ=T=0，代入式（4）可得：

式中：KⅠc為純Ⅰ型斷裂韌性，。

對(duì)于裂紋擴(kuò)展條件式（4），兩邊同除以 KⅠc，無(wú)量綱化處理得到：

利用式（11）對(duì)式（5）無(wú)量綱處理，兩邊同時(shí)除以KⅠc可得：

T應(yīng)力的正負(fù)和數(shù)值大小取決于試件幾何特征和加載情況。當(dāng)裂紋試件受復(fù)合Ⅰ/Ⅱ模型荷載時(shí)，雖然應(yīng)力強(qiáng)度因子能描述裂紋尖端的應(yīng)力奇異性，但是T應(yīng)力的正負(fù)和數(shù)值同樣影響著斷裂過(guò)程。引入無(wú)量綱參數(shù)：

Ψ值范圍為0～1，表示裂紋從純Ⅱ型0到純Ⅰ型1裂紋模型的變化過(guò)程。根據(jù)式（14）得到Ψ與起裂角θc的關(guān)系，本文選取幾個(gè)代表值進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)相同的，利用式（15）求得應(yīng)力強(qiáng)度因子空間中的裂紋擴(kuò)展條件，如圖2—3所示。

圖2 T應(yīng)力對(duì)裂紋開(kāi)裂角影響

圖3 T應(yīng)力在力強(qiáng)度因子空間中對(duì)裂紋擴(kuò)展條件的影響

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)概況

實(shí)驗(yàn)樣品選用致密砂巖進(jìn)行斷裂韌性測(cè)試。三點(diǎn)彎曲半圓盤見(jiàn)圖4。圖中：R為半圓盤半徑，a為預(yù)制裂縫長(zhǎng)度，2S為支撐點(diǎn)間距，p為施加載荷。為滿足三點(diǎn)彎曲半圓盤試件測(cè)試的尺寸要求，采用線切割法將直徑為50 mm圓柱巖心切割為2個(gè)半圓盤，然后采用XA5032立式升降銑床，切割裂縫，刀具厚度僅為0.4 mm，設(shè)置預(yù)制相對(duì)裂紋長(zhǎng)度為0.5 mm，相對(duì)支撐點(diǎn)間距S/R為0.6，裂紋傾角 α 為0°～50°共8種類型。 砂巖試件尺寸及基礎(chǔ)物性參數(shù)見(jiàn)表1。

圖4 三點(diǎn)彎曲半圓盤試件示意

實(shí)驗(yàn)采用自動(dòng)伺服材料試驗(yàn)機(jī)，法向最大載荷1 200 kN，行程100 mm，可用于測(cè)量巖石的單軸抗壓強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度、硬度等參數(shù)。選擇位移加載方式控制載荷的加載，加載速率為0.1 mm/min，滿足斷裂韌性測(cè)試要求的準(zhǔn)靜態(tài)加載要求［11］。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，靜力實(shí)驗(yàn)軟件可自動(dòng)采集載荷數(shù)據(jù)，加載至巖石發(fā)生斷裂，載荷曲線跌落時(shí)停止實(shí)驗(yàn)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

ISRM給出的三點(diǎn)彎曲半圓盤斷裂參數(shù)的計(jì)算公式為

式中：B 為圓盤厚度，mm；YⅠ，YⅡ和 T*為裂紋無(wú)量綱斷裂參數(shù)（僅與試件尺寸有關(guān)）。

表1 三點(diǎn)彎曲試件基本參數(shù)

可見(jiàn)，斷裂韌性和T應(yīng)力需要無(wú)量綱斷裂參數(shù)及斷裂時(shí)的最大載荷共同確定，無(wú)量綱斷裂參數(shù)一般采用有限元方法獲得。本文采用ABAQUS軟件建立了不同裂紋傾角的三點(diǎn)彎曲半圓盤試件模型，計(jì)算了裂紋長(zhǎng)度比0.5、支撐點(diǎn)間距比0.6的SCB試件無(wú)量綱斷裂參數(shù)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)［11］。

用GMTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)材料斷裂韌性時(shí)，應(yīng)確定裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑，Schmidt給出了裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的計(jì)算公式。無(wú)量綱參數(shù)α由裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑rc和裂紋初始長(zhǎng)度a共同來(lái)決定。對(duì)于半圓盤試樣，其裂紋擴(kuò)展區(qū)尺寸可為

式中：KⅠf為巖石Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的臨界值，，表征混合型加載下材料的斷裂阻力，此處用純Ⅰ型斷裂韌性代替；σt為巖石抗拉強(qiáng)度，MPa。

假定裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑保持不變。利用式（18）求得實(shí)驗(yàn)樣品的裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑為3.6mm。

采用本文建立的GMTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)三點(diǎn)彎曲半圓盤的起裂角，并在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)預(yù)測(cè)出半圓盤試件的斷裂條件，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5—6所示。同時(shí)，為研究T應(yīng)力對(duì)裂紋起裂和擴(kuò)展路徑的影響，將傳統(tǒng)的MTS準(zhǔn)則及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)同樣繪于圖中。

從圖中可以看出，不考慮T應(yīng)力影響的最大周向應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際斷裂韌性實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果存在很大誤差，而沒(méi)有忽略T應(yīng)力影響的修正最大周向應(yīng)力裂紋擴(kuò)展判別準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果更加接近實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)。在裂紋傾角較小時(shí)，傳統(tǒng)MTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果偏小，而傾角較大時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果偏大。在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)，Ⅰ型斷裂占主導(dǎo)地位時(shí)，傳統(tǒng)MTS準(zhǔn)則低估了斷裂時(shí)刻的應(yīng)力強(qiáng)度因子；在Ⅱ型斷裂占主導(dǎo)地位時(shí)，傳統(tǒng)MTS準(zhǔn)則高估了斷裂時(shí)刻的應(yīng)力強(qiáng)度因子。通過(guò)考慮T應(yīng)力的廣義MTS準(zhǔn)則、傳統(tǒng)的MTS準(zhǔn)則及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，可見(jiàn)不考慮T應(yīng)力影響的傳統(tǒng)MTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大誤差，特別是對(duì)于Ⅱ型斷裂占主導(dǎo)地位的復(fù)合型斷裂，誤差更大。

圖5 T應(yīng)力對(duì)半圓盤砂巖試樣起裂角的影響

圖6 T應(yīng)力對(duì)半圓盤砂巖試樣I/II復(fù)合型斷裂韌性影響

4 結(jié)論

1）在純Ⅰ型斷裂情況下，當(dāng)B超過(guò)臨界值后，裂紋不再沿裂紋面即θ=0°繼續(xù)擴(kuò)展，且擴(kuò)展角可能達(dá)到80°以上；當(dāng)B＜0時(shí)，不同K值時(shí)的裂紋起裂角隨B的增大改變不明顯，當(dāng)B＞0時(shí)，起裂角變化加劇。

2）當(dāng)T＞0時(shí)，裂紋起裂角高于不考慮T應(yīng)力時(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果，測(cè)試斷裂強(qiáng)度低于MTS準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果；而在T＜0時(shí)，預(yù)測(cè)起裂角小于不考慮T應(yīng)力的預(yù)測(cè)結(jié)果，斷裂時(shí)刻的臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子大于MTS準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果。負(fù)的T應(yīng)力會(huì)增大巖石斷裂強(qiáng)度，抑制裂紋擴(kuò)展。

3）傳統(tǒng)的MTS準(zhǔn)則僅考慮了Williams級(jí)數(shù)解的第1項(xiàng)，即應(yīng)力強(qiáng)度因子，裂紋起裂角和斷裂韌性預(yù)測(cè)結(jié)果存在較大誤差，而本文建立的廣義最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則由于考慮了T應(yīng)力的影響，用該準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加吻合，提高了預(yù)測(cè)精度。

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