李中朝 李連國(guó)

摘 要 剖析概率中的一種特殊分布——二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，理論結(jié)合實(shí)際，說(shuō)明二項(xiàng)分布的這些特點(diǎn)，本文借助例題，進(jìn)一步挖掘二項(xiàng)分布的內(nèi)涵，讓讀者對(duì)二項(xiàng)分布更進(jìn)一步了解。

關(guān)鍵詞 二項(xiàng)分布；概率；伯努利試驗(yàn)

中圖分類號(hào)：F224.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）24-0229-01

二項(xiàng)分布是應(yīng)用最廣泛的離散型隨機(jī)變量概率模型，也是高考?？嫉牡闹攸c(diǎn)內(nèi)容之一。對(duì)其探究很有價(jià)值和意義。學(xué)生在學(xué)習(xí)此塊內(nèi)容時(shí)，往往會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取何值時(shí)概率最大？實(shí)際上，高中數(shù)學(xué)教科書的選修2-3（人教A版）第58頁(yè)思考題就是該問(wèn)題。問(wèn)題如下：如果ξ～B（n，p），其中0

我查閱了和本書配套教學(xué)參考書，教學(xué)參考書沒(méi)有對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行專門解釋。下面對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行研究。

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用ξ表示事件 發(fā)生的次數(shù)，如果事件發(fā)生的概率是p，則不發(fā)生的概率q=1-p，N次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生K次的概率

那么就說(shuō)ξ服從二項(xiàng)分布，其中P稱為成功概率，記作ξ～B（n，p），其期望：Eξ=np

ξ的分布列如下：

容易驗(yàn)證其各項(xiàng)概率之和恒為1，即 =

由此可見，二項(xiàng)分布的概率 恰好是二項(xiàng)式 的展開式中的第 項(xiàng)，這也正是二項(xiàng)分布這個(gè)名稱的由來(lái)。

二項(xiàng)分布是離散型分布，已知 ，x為不連續(xù)變量。下面用概率直方圖研究。

圖像有如下性質(zhì)：

1.當(dāng) 時(shí)，不論 大小，圖形都是對(duì)稱的。

例如， ， ，此時(shí) 。

=

2.當(dāng) 時(shí)，概率直方圖圖形是偏斜的。當(dāng)p<0.5時(shí)左偏，當(dāng)p>0.5時(shí)右偏。如果 很大，即使 ，圖像也逐漸趨于對(duì)稱分布。隨著n變大其圖像逼近正態(tài)分布。何謂 很大呢？一般規(guī)定：當(dāng) 且 ，或 且 時(shí)，認(rèn)為 很大。可以用正態(tài)分布的概率作為其近似值。此時(shí)p（ξ=k）概率隨 值增加而變大，其達(dá)到最大值后再遞減，圖像近似滿足關(guān)于期望 對(duì)稱。

下面解決開始的問(wèn)題：一般地，如果 ，其中 。

k需滿足{ 解得：

由結(jié)論可知：

（1）當(dāng) 不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P{X=k}在k=[（n+1）p]時(shí)達(dá)到最大值；

（2）當(dāng) 為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P{X=k}在k=（n+1）p和k=（n+1）p-1時(shí)達(dá)到最大值。

注：[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù)。

下面通過(guò)一個(gè)例題體會(huì)一下：

例1.當(dāng) ，試求 分別為以上五種情況時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 取何值時(shí)，p（ξ=k）最大？

解：（因較好理解，本題不再配圖。）由于

（1）當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 .此時(shí)概率的最大值在左端點(diǎn)，圖像嚴(yán)重左偏。

（2）當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 。和（1）比較，此時(shí)圖像左偏情況減弱。

（3）當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 。此時(shí)圖像比較對(duì)稱，概率最大值分布在np= 兩側(cè)。

（4）當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 。和（3）比較，圖像向右偏移。

（5）當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 。此時(shí)概率的最大值在右端點(diǎn)，圖像嚴(yán)重右偏。

下面用概率條形圖研究：

看 和 時(shí)，（1）n=5和（2）n=10 和（3）n=30共四個(gè)的頻率分布條形圖如下

說(shuō)明：上圖中的 就是 。

觀察上面四個(gè)圖，可以看出在概率分布條形圖中，也呈現(xiàn)出和概率分布直方圖相同的性質(zhì)。

如果以上問(wèn)題明白了，像下面的問(wèn)題可以直接秒殺。

1.如果 ， 取得最大值時(shí)， ____

2.如果 ， 取得最大值時(shí)， _____

答案：1.8 2.6或7