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        基于交織技術(shù)的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集

        2018-04-04 08:43:08牛憲華胡夢(mèng)婷西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院四川成都610039
        關(guān)鍵詞:跳頻漢明交織

        凌 龍,牛憲華,胡夢(mèng)婷,呂 中(西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院,四川 成都 610039)

        跳頻擴(kuò)頻是擴(kuò)頻通信中一種很常見(jiàn)的擴(kuò)頻方式,具有較好的抗干擾性、安全性、多址性,被廣泛應(yīng)用于藍(lán)牙、軍事通信、移動(dòng)通信、雷達(dá)和聲納等系統(tǒng)[1-3]。所謂跳頻就是利用偽隨機(jī)序列來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)調(diào)制的載波中心頻率進(jìn)行控制,使其按照一定的順序和速率在一組頻率中進(jìn)行任意隨機(jī)的跳變,相應(yīng)地接收端也按照同樣的順序和速率來(lái)進(jìn)行接收并且解調(diào)[4]。通常情況下在碼分多址環(huán)境中,總是希望保持發(fā)射機(jī)之間的相互干擾在盡可能低的水平[5-8]。當(dāng)2個(gè)或多個(gè)發(fā)射機(jī)同時(shí)在同一頻率上傳輸時(shí)易發(fā)生相互干擾,相互干擾的程度和跳頻序列的漢明相關(guān)性緊密相連;因此,設(shè)計(jì)具有良好的漢明相關(guān)特性的跳頻序列(frequency hopping sequences,FHS)是研究跳頻技術(shù)的重要內(nèi)容。

        2003年Ye等[9]首次提出低碰撞區(qū)/零碰撞區(qū)(low hit zone/no hit zone,LHZ/NHZ)跳頻序列的概念。LHZ跳頻序列是一種具有特殊性質(zhì)的跳頻序列,序列在LHZ的漢明相關(guān)性能決定了系統(tǒng)抗多址干擾的能力。有關(guān)LHZ跳頻序列集(frequency hopping sequences sets, FHSS)構(gòu)造的研究有重要意義并取得了一些成果[10-13],但現(xiàn)有成果中構(gòu)造的序列集序列數(shù)目還不夠大,不能充分利用帶寬。本文基于交織技術(shù)構(gòu)造得到了序列數(shù)目更大的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集。

        1 預(yù)備知識(shí)

        首先給出跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)的定義。設(shè)F={f0,f1,…,fq-1}是一個(gè)大小為q的頻隙集,S是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合。

        定義1設(shè)頻隙集F={f0,f1,…,fq-1},令x={x0,x1,…,xN-1},y={y0,y1,…,yN-1},(xi,yi∈F,i=0,1,…,N-1)為頻隙集F上2個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列,x和y在相對(duì)時(shí)延τ的周期漢明互相關(guān)函數(shù)為

        (1)

        式中:i+τ按模N運(yùn)算;當(dāng)x=y時(shí),H(x,y;τ)稱為周期漢明自相關(guān)函數(shù);當(dāng)x≠y時(shí),H(x,y;τ)稱為周期漢明互相關(guān)函數(shù)。

        對(duì)于已知的跳頻序列集S,序列集的最大周期漢明自相關(guān)Ha(S)、最大周期漢明互相關(guān)Hc(S)和最大周期漢明相關(guān)Hm(S)分別定義為:

        Ha(S)=max{H(x,x;τ)|x∈S,0<τ

        簡(jiǎn)記為Ha=Ha(S),Hc=Hc(S),Hm=Hm(S)。

        在2004年,Peng等[14]建立了FHSS的最大周期漢明相關(guān)值的下界。

        引理1(Peng-Fan界) 令F是一個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,有

        (2)

        對(duì)于任意跳頻序列集S,令整數(shù)Ha≥0,Hc≥0,F是一個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的低碰撞區(qū)跳頻序列構(gòu)成的集合,那么S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū)LH、自相關(guān)低碰撞區(qū)LAH和互相關(guān)低碰撞區(qū)LCH分別定義為:

        當(dāng)Ha=Hc=0時(shí),LH稱為S的零碰撞區(qū),亦表示成NH。一個(gè)具有LH≥0(或NH≥0)的跳頻序列集S稱為L(zhǎng)HZ FHSS(或NHZ FHSS)。有關(guān)LHZ或NHZ FHSS構(gòu)造的研究有重要意義并取得了豐富的成果[15-18]。

        在2004年,Peng等[19]推導(dǎo)了LHZ跳頻序列集的周期漢明相關(guān)理論界。

        引理2(Peng-Fan-Lee界) 令F是一個(gè)大小為q的頻隙集,S為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,LH是序列集S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的LHZ。對(duì)于任意整數(shù)Z,0≤Z≤LH,有

        (3)

        在本文中:用(N,q,l,Hm)表示一個(gè)序列長(zhǎng)度為N,頻隙大小為q,序列數(shù)目為l,最大漢明相關(guān)為Hm的FHSS;用(N,q,l,L,Hm)表示一個(gè)序列長(zhǎng)度為N,頻隙大小為q,序列數(shù)目為l,LHZ為L(zhǎng),最大漢明相關(guān)為Hm的FHSS。

        2 交織序列理論

        交織序列理論在1995年由Gong首先提出[20]。

        設(shè)A={a0,a1,…,al-1}是一個(gè)(N,q,l,Hm) FHSS,e=(e0,e1,…,el-1)是ZN上長(zhǎng)度為l的移位序列,則由序列a和移位序列e可以構(gòu)成一個(gè)N×l的矩陣

        其中下標(biāo)按模N運(yùn)算。把矩陣U中的元素按行讀出,可以得到一個(gè)周期為Nl的序列u=(u0,u1,…,uNl-1)。將a稱為基序列,e稱為移位序列,u稱為交織序列。矩陣U是序列u的矩陣表示。為了簡(jiǎn)化,把交織序列u表示為

        u=I(Le0(a0),Le1(a1),…,Lel-1(al-1))。

        其中I表示交織操作。令g=(g0,g1,…,gl-1)為ZN上長(zhǎng)度為l的移位序列,可生成交織序列

        v=I(Lg0(a0),Lg1(a1),…,Lgl-1(al-1))。

        對(duì)于時(shí)延τ=lτ1+τ2(0≤τ1

        Lτ(v)=I(Lτ1+gτ2(a),…,Lτ1+gl-1(a),

        Lτ1+g0+1(a),…,Lτ1+gτ2-1+1(a)),

        那么交織序列u和v在時(shí)延τ時(shí)的漢明相關(guān)函數(shù)可以表示為

        特別地,當(dāng)τ2=0時(shí),有

        從式(5)和式(6)中,當(dāng)且僅當(dāng)τ2=0時(shí),交織序列u和v是移位等價(jià)的,等式(7)成立。

        ei-gi=ej-gj,0≤?i,j

        (7)

        定義2Zn上任意2個(gè)移位序列e=(e0,e1,…,el-1),g=(g0,g1,…,gl-1),若等式(7)不成立,則e和g被稱為不等價(jià)移位序列。

        引理3基于上述分析,如果交織序列u和v是循環(huán)不等價(jià)的,而且e和g是不等價(jià)移位序列,則Huv(τ)=lHm。

        3 最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造

        此節(jié)將基于上述交織技術(shù)構(gòu)造具有新參數(shù)的最優(yōu)LHZ FHSS。

        設(shè)F={f0,,f1,…,fq-1}是一個(gè)大小為q的頻隙集,LHZ FHSS的構(gòu)造如下。

        構(gòu)造1最優(yōu)LHZ FHSS的構(gòu)造。

        步驟1,選擇一個(gè)在F={f0,,f1,…,fq-1}上的最優(yōu)A(N,q,l,Hm),

        步驟2,令M,w為2個(gè)正整數(shù),且滿足

        構(gòu)造移位序列集H={E,G},有

        其中0

        步驟3,構(gòu)造最優(yōu)LHZ FHSSS={SA,SB}。

        L(j+2l-2)w+(2l-2)(ai)),

        其中x=iM+j(0≤i

        L(j+r)w+r(al-1)),

        其中 0≤j

        證明

        首先,根據(jù)交織技術(shù)的原理,得出S的序列長(zhǎng)度為lN,頻隙大小為q。

        其次,序列個(gè)數(shù)MS表示為

        MS=MA+MB=lM+((w-1)-(2l-2))M=

        (w-l+1)M。

        證畢。

        定理2構(gòu)造1中,如果參數(shù)滿足

        則得到的FHSSS是最優(yōu)的(lN,q,(w-l+1)M,l-1,lHm)FHSS。

        證明

        頻隙集F的大小為q,令Z=LH。FHSSS的最大漢明相關(guān)

        根據(jù)Peng-Fan-Lee 界,F(xiàn)HSSS的最優(yōu)漢明相關(guān)Hmo應(yīng)為

        所以,當(dāng)

        (8)

        成立時(shí),有

        因此當(dāng)式(8)成立時(shí),序列集S是最優(yōu)的(lN,q,(w-l+1)M,l-1,lHm)LHZ FHSS。

        證畢。

        注1:在構(gòu)造1中,發(fā)現(xiàn)有移位等價(jià)的情況,接下來(lái)將消除等價(jià)的移位性。

        算法1

        輸入:常數(shù)w,M。

        輸出:移位序列集H。

        步驟1,生成初始移位序列

        步驟2,生成等價(jià)的移位序列

        步驟3,生成不等價(jià)的移位序列,H′={E′,G′}。

        對(duì)E={ej|0≤j

        說(shuō)明:對(duì)移位序列集E={ej|0≤j1)列執(zhí)行置換變換,得到新的不等價(jià)移位序列集E′,G′都是移位不等價(jià)的。

        下面給出一個(gè)實(shí)例。

        例1選擇一個(gè)(56,13,3,4)的FHSSA={a0,a1,a2}如下:

        a0={2,2,6,12,1,0,8,12,4,11,3,8,10,1,10,10,4,8,5,0,1,8,7,3,2,1,1,5,11,11,7,1,12,0,5,1,9,2,10,5,3,12,3,3,9,5,8,0,12,5,6,10,11,12,2,8};

        a1={4,4,12,11,2,0,3,11,8,9,6,3,7,2,7,7,8,3,10,0,2,3,1,6,4,2,9,10,9,9,1,2,11,0,10,2,5,4,7,10,6,11,6,6,5,10,3,0,11,10,12,7,9,11,4,3};

        a2={8,8,11,9,4,0,6,9,3,5,12,6,1,4,1,1,3,6,7,0,4,6,2,12,8,4,5,7,5,5,2,4,9,0,7,4,10,8,1,7,12,9,12,12,10,7,6,0,9,7,11,1,5,9,8,6}。

        令M=4,w=14,得到移位序列集H={E,G},根據(jù)構(gòu)造1的步驟2得到移位序列集E和G,為

        根據(jù)構(gòu)造1的步驟3,利用交織技術(shù)得到以下FHSSS:

        ?

        ?

        根據(jù)漢明相關(guān)性的定義,得到最大漢明自相關(guān)和最大漢明互相關(guān),如圖1所示。當(dāng)τ<3時(shí),Hm=12,S是一個(gè)(168, 13, 48,2,12) FHSS。

        注2:觀察圖1,S的最大漢明互相關(guān)最大為168,發(fā)生了移位等價(jià)的情況。

        圖1 S的最大漢明相關(guān)函數(shù)

        接下來(lái)消除移位等價(jià)。根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的構(gòu)造3方法,替換E的最后2列,得到新的移位序列E′,根據(jù)文獻(xiàn)[11]中的構(gòu)造2,修改G中的最后2列,得到移位不等價(jià)序列集G′,其中E′和G′矩陣表示為:

        交織后得到不等價(jià)的移位序列集

        ?

        ?

        根據(jù)漢明相關(guān)性的定義,得到最大漢明自相關(guān)和最大漢明互相關(guān),如圖2所示。當(dāng)τ<3時(shí),Hm=12,S′是一個(gè)(168,13,48,2,12)FHSS,并且S′中所有序列是移位不等價(jià)的。

        圖2 S′的最大漢明相關(guān)函數(shù)

        注3:觀察圖2,S的最大漢明相關(guān)小于序列長(zhǎng)度,說(shuō)明移位等價(jià)的情況已經(jīng)被消除。

        4 結(jié)論

        基于交織技術(shù),本文提出一種新的構(gòu)造方法,與文獻(xiàn)[12]和[13]相比,該方法所構(gòu)造出的序列集具有新的參數(shù)。本文構(gòu)造的序列集,其序列數(shù)目比已有文獻(xiàn)的序列數(shù)目更大,且所有序列都是移位不等價(jià)的。通過(guò)選擇一些已知的最優(yōu)FHSS,滿足特定條件可以構(gòu)造出最優(yōu)的LHZ FHSS。通過(guò)使用不同的移位序列,可以構(gòu)造出參數(shù)設(shè)置更靈活的LHZ FHSS。該FHSS可以應(yīng)用到準(zhǔn)同步的跳時(shí)/跳頻碼分多址系統(tǒng)中,用于消除多址干擾。

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