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        立體幾何復(fù)習(xí)要點(diǎn)例析*

        2018-04-04 03:00:06三山高級(jí)中學(xué)浙江慈溪315300慈溪市教育局教研室浙江慈溪315300
        關(guān)鍵詞:平面角二面角三視圖

        ●  (三山高級(jí)中學(xué),浙江 慈溪 315300) ●  (慈溪市教育局教研室,浙江 慈溪 315300)

        1 知識(shí)內(nèi)容

        《浙江考試》2018年第1期公布了“2018年浙江省普通高考考試說明(數(shù)學(xué))”,明確2018年高考必考科目數(shù)學(xué)考試說明內(nèi)容與2017年相同.關(guān)于立體幾何與空間向量部分,建議關(guān)注以下內(nèi)容與要求:

        1)理解柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征,會(huì)計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積;

        2)掌握三視圖所表示的空間幾何體,會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖;

        3)理解空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的定義,掌握4個(gè)公理、1個(gè)定理;

        4)理解空間線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理;

        5)理解直線與平面所成角的概念,了解二面角及其平面角的概念;

        6)了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,了解空間距離、夾角公式、平面法向量、方向向量;

        7)了解求兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的向量求法.

        2 命題分析

        回顧近4年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題,有關(guān)立體幾何與空間向量的試題分布如下:

        2014年考查了3道題共24分:其中一道選擇題5分(考查三視圖求表面積)、一道填空題4分(考查求線面角)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角);

        2015年考查了4道題共29分:其中兩道選擇題均為5分(分別考查三視圖求體積、翻折問題和二面角的平面角)、一道填空題4分(考查線線角)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角);

        2016年考查了4道題共30分:其中一道選擇題5分(考查位置關(guān)系)、兩道填空題分別為6分(考查三視圖求體積和表面積)和4分(考查四面體的體積最大值)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角);

        2017年考查了3道題共23分:其中兩道選擇題均為4分(分別考查三視圖求體積、二面角的平面角大小比較)、一道解答題15分(考查線面平行和線面角).

        2018年預(yù)測(cè)會(huì)有3~4個(gè)試題,分值在25分左右:選擇題、填空題主要涉及空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判斷,結(jié)合三視圖求體積、表面積(可結(jié)合數(shù)學(xué)文化),簡(jiǎn)單的空間角計(jì)算(兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的平面角),翻折問題,動(dòng)態(tài)軌跡問題;解答題主要考查在空間幾何體(特別是組合體)中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(平行和垂直)及空間角(主要是線面角)的計(jì)算.

        3 典例剖析

        考點(diǎn)1空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判斷.

        例11)設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是

        ()

        A.若α⊥β,l∥α,則l⊥β

        B.若l∥α,l∥β,則α∥β

        C.若l⊥α,l∥β,則α∥β

        D.若l⊥α,l⊥β,則α∥β

        (浙江省湖州、衢州、麗水三地市2018年1月高三數(shù)學(xué)期末試題第3題)

        2)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的

        ()

        A.充分不必要條件

        B.必要不充分條件

        C.充分必要條件

        D.既不充分也不必要條件

        (浙江省嵊州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第5題)

        分析1)答案為D.選項(xiàng)A中l(wèi)⊥β,l?β,l∥β,l與β斜交均有可能;選項(xiàng)B中α∥β,α與β相交均有可能;選項(xiàng)C中α∥β錯(cuò)誤,應(yīng)為α⊥β;選項(xiàng)D正確.也可以直接用結(jié)論“和同一直線垂直的兩個(gè)不重合平面平行”得到.

        評(píng)注空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系考查是命題者比較關(guān)注的一個(gè)方向,往往以選擇題形式出現(xiàn),若干個(gè)命題組合進(jìn)行真假判斷或者結(jié)合充要條件考查,屬于容易題,可以“證明結(jié)論正確”與“舉反例否定(畫草圖排除)”相結(jié)合來解決.復(fù)習(xí)沖刺查漏補(bǔ)缺時(shí)要關(guān)注概念、定理的準(zhǔn)確性,比如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,記憶要求清楚,特別是條件的增刪,會(huì)影響結(jié)論的正確性.

        考點(diǎn)2三視圖與體積、表面積.

        例21)《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三視圖如圖1所示,俯視圖中虛線平分矩形的面積,則該“塹堵”的側(cè)面積為

        ()

        (浙江省上虞市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第5題)

        圖1   圖2

        2)某幾何體的三視圖如圖2所示(單位:cm),則該幾何體的表面積(單位:cm2)是

        ()

        (浙江省嘉興市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第6題)

        分析1)根據(jù)題意,結(jié)合三視圖可以判斷該“塹堵”是直三棱柱(如圖3),△ABC的周長(zhǎng)為

        故選C.

        圖3   圖4

        2)根據(jù)三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成(如圖4),其中上半部分為正方體,下半部分為正四棱臺(tái),正方體中5個(gè)面的面積之和為

        S1=5×(2×2)=20,

        正四棱臺(tái)的下底面面積為S2=16 cm2,正四棱臺(tái)的側(cè)面積為

        因此,該幾何體的表面積為

        故選B.

        評(píng)注根據(jù)三視圖求體積、表面積每年必考,以選擇題或者填空題的形式考查,命題方向可以以數(shù)學(xué)文化、組合體為載體,或以棱柱、棱錐中的某一部分(幾何體殘缺)為載體,考查三視圖的知識(shí)和幾何體的體積、表面積計(jì)算,試題難度有容易也有中等,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.對(duì)幾何體殘缺的還原,一般方法是從俯視圖出發(fā),結(jié)合正視圖、側(cè)視圖來還原,特殊情況需構(gòu)造正方體(或長(zhǎng)方體),使所求的幾何體為正方體(或長(zhǎng)方體)的一部分.教師在平時(shí)講評(píng)三視圖題目時(shí),建議學(xué)生加強(qiáng)識(shí)圖訓(xùn)練,多動(dòng)手畫畫.

        考點(diǎn)3簡(jiǎn)單的空間角計(jì)算.

        例31)如圖5,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E分別是BC,AB的中點(diǎn),AB≠AC,且AC>AD.設(shè)PC與DE所成角為α,PD與平面ABC所成角為β,二面角P-BC-A為γ,則

        ()

        A.α<β<γB.α<γ<β

        C.β<α<γD.γ<β<α

        (2017學(xué)年浙江省杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第8題)

        圖5   圖6

        ()

        A.α>γ>βB.γ>β>α

        C.γ>α>βD.β>α>γ

        (金華十校2018屆第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第9題)

        tanγ>tanβ>tanα,

        亦即

        γ>β>α.

        故選A.

        2)如圖7,記AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,聯(lián)結(jié)OB1,OE,易知AC⊥平面BDD1B1.作FH⊥平面BDD1B1,則點(diǎn)H在OO1上;作HM⊥OB1于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)FM;作HN⊥OE于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)FN,易得

        FM⊥OB1,FN⊥OE,FO1⊥B1D1,

        從而

        ∠FMH=α,∠FNH=β,∠FO1H=γ,

        圖7   圖8

        在圖8中不難發(fā)現(xiàn)HN

        tanβ>tanα>tanγ,

        亦即

        β>α>γ.

        故選D.

        評(píng)注立體幾何中角的大小比較問題,有多種解法,常見的是直接法,即利用“作證算”,結(jié)合空間問題平面化的技巧,計(jì)算簡(jiǎn)單的空間角(兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的平面角).第2)小題亦可以用極端思想簡(jiǎn)化問題,快捷、正確:當(dāng)點(diǎn)F無限接近點(diǎn)A時(shí),容易發(fā)現(xiàn)γ最小,直接排除選項(xiàng)A,B,C.

        考點(diǎn)4動(dòng)態(tài)問題.

        (浙江省嘉興市2017年3月高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第17題)

        圖9   圖10

        (浙江省臺(tái)州市2017年高三年級(jí)第一次調(diào)考數(shù)學(xué)試題第17題)

        分析1)如圖11,取CD的中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)AH,BH,易知∠AHB為二面角A-CD-B的平面角,于是

        圖11   圖12

        (1)

        代入式(1)得到

        故|L|表示周長(zhǎng),值為π.

        評(píng)注動(dòng)態(tài)的立體幾何問題包括變量取值范圍、軌跡、不變性、存在性等問題.解決此類問題需要靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí),建立一些數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行推理、論證及代數(shù)運(yùn)算.可以從幾何角度入手,也可以從建系入手,要善于挖掘問題所隱藏的數(shù)學(xué)模型,然后解決問題,如發(fā)現(xiàn)軌跡是圓、圓錐曲線、圓錐等,可以利用它們的性質(zhì)進(jìn)行解答.關(guān)注經(jīng)典結(jié)論,如最小角定理(斜線與平面所成的角是斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角)應(yīng)用.

        考點(diǎn)5翻折問題.

        例51)如圖13,點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),將△DAE沿AE折起得到△D′AE,且平面D′AE與平面ABCE異面.記二面角D′-AE-B的平面角為α,CD′與平面ABC所成角為β,則在D′的運(yùn)動(dòng)過程中,使得|tanα|=2tanβ成立的不同β有

        ()

        A.0個(gè)或1個(gè)B.1個(gè)或2個(gè)

        C.0個(gè)或2個(gè)D.0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)

        (浙江省諸暨市2016學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第10題)

        圖13

        (浙江省寧波市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第17題)

        圖14   圖15

        當(dāng)點(diǎn)P,M,Q共線且PQ⊥平面BGHC時(shí),等號(hào)成立.故所求最小值為1.

        評(píng)注翻折問題是將一個(gè)平面圖形通過翻折變成空間幾何體.平面圖形在翻折過程中,抓住折疊過程中變與不變的幾何量:某些幾何量(長(zhǎng)度、角度等)保持不變,或某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系(垂直關(guān)系等)不變,這些定值、定性問題是翻折前后立體幾何中的重要問題.一般翻折后仍在同一平面內(nèi)的相關(guān)幾何量的位置及大小不變,在解決立體幾何問題時(shí)仍然是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,在限時(shí)應(yīng)試中,我們要利用選擇題、填空題的特點(diǎn)來解題,即“小題小做”.

        考點(diǎn)6解答題中的證明與計(jì)算問題.

        例6如圖16,四棱錐S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2,BC=CD=SD=1,側(cè)面SAB為等邊三角形.

        1)證明:AB⊥SD;

        2)求直線SC與平面SAB所成角的正弦值.

        (金華十校2018屆第一學(xué)期高三期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題第19題)

        圖16   圖17

        評(píng)注高考立體幾何解答題一般分兩個(gè)小題.過去分文理科的時(shí)候,關(guān)于空間角的計(jì)算,理科考查二面角的平面角,文科考查線面角;現(xiàn)在文理不分后,考查線面角的概率很高.建議立體幾何解答題復(fù)習(xí)做好以下3點(diǎn):1)在復(fù)習(xí)時(shí)空間幾何體的類型要豐富,要多樣化.2)第1)小題主要是平行與垂直的證明,對(duì)于平行問題盡量用傳統(tǒng)法,對(duì)于垂直問題既可以用傳統(tǒng)法,也可以轉(zhuǎn)化為線線垂直后利用數(shù)量積為0.在答題書寫時(shí)要特別突出平行和垂直的轉(zhuǎn)化思想.3)對(duì)于第2)小題的解答用向量法比較熟練,但要注意合理的建系,寫好關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo),并與傳統(tǒng)法的結(jié)合,加強(qiáng)分析從而達(dá)到減少計(jì)算、提高計(jì)算準(zhǔn)確率的目的.

        4 精題集萃

        1.“直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的

        ()

        A.充分不必要條件

        B.必要不充分條件

        C.充分必要條件

        D.既不充分也不必要條件

        (2016年12月浙江省考試院數(shù)學(xué)測(cè)試卷第3題)

        2.如圖18,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱AA1,CC1的中點(diǎn),過EF的平面與棱BB1,DD1分別交于點(diǎn)G,H.設(shè)BG=x,其中x∈[0,1].

        ①四邊形EGFH一定是菱形;

        ②AC∥平面EGFH;

        ③四邊形EGFH的面積S=f(x)在區(qū)間[0,1]上具有單調(diào)性;

        ④四棱錐A-EGFH的體積為定值.

        以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是

        ()

        A.4B.3C.2D.1

        (浙江省嘉興市2017學(xué)年第一學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第10題)

        圖18   圖19

        3.如圖19,已知正四面體A-BCD,P是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)CP=tCD(其中t∈(0,1)),分別記AP與BC,BD所成角為α,β,則

        ()

        A.α≥βB.α≤β

        (浙江省嵊州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第9題)

        4.已知在四面體SABC中,二面角B-SA-C,A-SB-C,A-SC-B的平面角的大小分別為α,β,γ,則

        ()

        C.π<α+β+γ<3π

        D.2π<α+β+γ<3π

        (浙江省紹興市柯橋區(qū)2018屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題第10題)

        5.如圖20,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為BD1,BB1上的動(dòng)點(diǎn),則△C1PQ周長(zhǎng)的最小值為

        ()

        (浙江省名校協(xié)作體2017學(xué)年第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第9題)

        圖20   圖21

        6.某幾何體的三視圖如圖21所示(單位:cm),則該幾何體的體積是______cm3,表面積是______cm2.

        (2017年4月湖州、衢州、麗水三地市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第13題)

        7.圖22是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的體積為______,表面積為______.

        (2017學(xué)年浙江省杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第14題)

        圖22   圖23

        (浙江省臺(tái)州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第17題)

        參考答案

        1.B2.B3.D4.C5.B

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