劉嘉，沈正松，周長超

(1. 武漢理工大學 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070；2. 武漢理工大學 土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430070；3. 青島市市政工程管理處，山東 青島 266000)

鐵路鋼橋是鐵路客運交通中的重要設(shè)施，其對當前愈加嚴峻的客流運輸形勢起著至關(guān)重要的緩解作用。然而，在大軸重及高速度的列車荷載作用下，鐵路鋼橋的振動與疲勞壽命問題日益突出，并因此影響到了其安全性和耐久性。因此，有必要采取理論成熟且控制效果良好的主動控制以抑制其振動響應(yīng)，但是鐵路鋼橋結(jié)構(gòu)由于其粗大、自由度較多的特點使得該種結(jié)構(gòu)構(gòu)件物理參數(shù)具有不確定性以及易變性從而導致大多數(shù)主動控制算法對鐵路鋼橋結(jié)構(gòu)的振動抑制效果并不理想，相對而言，魯棒控制算法能夠有效處理以上的不確定性，因此對采取魯棒控制下鐵路鋼橋的振動響應(yīng)抑制效果展開深入研究非常必要。隨著振動控制理論的不斷深入，國內(nèi)外學者對魯棒控制的研究亦取得了令人矚目的成就[1?5]。Oucheriah[6]針對具有時變時滯且承受功能特性確定的未知邊界這樣一類不確定動力系統(tǒng)設(shè)計了一個自適應(yīng)魯棒控制器，研究表明在與時滯相關(guān)的矩陣范數(shù)約束滿足的條件下，該控制器所求得的解收斂；Claudio等[7]對裝置MRD半主動懸架系統(tǒng)采用 LQG/LTR魯棒控制算法，數(shù)值和試驗結(jié)果表明系統(tǒng)的安全性和舒適性得以改善；WANG等[8]針對風激勵下的高層建筑提出了一種魯棒濾波滑?？刂?，并通過對裝置有ATMD的76層建筑在風激勵下的基準問題應(yīng)用該方法來評估其性能，結(jié)果表明該方法與 LQG和其他滑?？刂品ㄏ啾葘τ诮Y(jié)構(gòu)剛度的不確定性具有更好的魯棒性；Luu等[9]為降低高速鐵路橋梁的共振響應(yīng)，提出了使用 H∞控制算法的半主動磁流變阻尼器，為提高該 MR阻尼器控制力的循跡能力引入相應(yīng)的權(quán)函數(shù)，最后通過對具有不確定和時滯參數(shù)的鐵路橋梁模型控制效果的分析與比較驗證所提方法的有效性。劉鵬飛等[10]研究了考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用時橋梁結(jié)構(gòu)的MRD半主動振動控制，分別采用LQR和H∞控制算法對比分析橋梁響應(yīng)的控制效果，結(jié)果表明在場地條件較差時，使用 H∞控制算法時其魯棒性更好，能獲得較好的控制效果；李志軍等[11]針對LQR 主動控制算法的缺陷，提出了對結(jié)構(gòu)參數(shù)和外部激勵的不確定性均有較好適應(yīng)性的魯棒 H∞最優(yōu)控制，結(jié)果表明其效果更好?；袅稚萚12]基于結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性設(shè)計了 H∞魯棒控制器，將其應(yīng)用于裝置AMD的兩層結(jié)構(gòu)模型的振動臺試驗，最終證明了該控制器能有效處理結(jié)構(gòu)的不確定性。綜上所述，雖然魯棒控制理論與實踐比較成熟，但是對于采用AMD的鐵路鋼橋在列車荷載下的魯棒振動控制研究相對較少。為此，對設(shè)置有AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋在不同速度列車荷載作用下使用魯棒控制算法的振動特性展開了研究。以某鐵路鋼橋為工程背景，建立了該橋在裝置AMD系統(tǒng)時承受列車荷載作用下的受控狀態(tài)方程和魯棒控制算法，同時，為了后續(xù)的魯棒疲勞延壽控制的深入展開，本文選取橋梁相關(guān)節(jié)點的位移和應(yīng)變作為研究指標，然而這兩個指標又具有粗糙性和精確性不匹配等特點，因此本文采用多尺度模型建立了全橋殼體模型以及下弦節(jié)點實體子模型，研究其在使用未受控制、LQR控制、魯棒控制算法下跨中節(jié)點位移振動響應(yīng)和危險點最大正應(yīng)變的控制效果，得到魯棒控制的優(yōu)勢，進而為后續(xù)的魯棒延壽控制做好準備。

1　鐵路鋼橋魯棒控制理論

1.1　設(shè)置AMD系統(tǒng)的受控狀態(tài)方程

在列車荷載作用下，鐵路鋼橋以豎向振動為主，且其跨中振動位移最大，所以應(yīng)將AMD系統(tǒng)設(shè)置在跨中，圖1所示為該AMD系統(tǒng)的動力學模型。在列車豎向荷載F(t)，以及AMD系統(tǒng)提供的控制力U(t)作用下，鐵路鋼橋結(jié)構(gòu)的受控運動方程可表示為[13]：

圖1　AMD系統(tǒng)模型Fig. 1　AMD system model

式中：M，C和K分別是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X，X˙和X˙分別是結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度向量。Ds和Bs分別表示相應(yīng)的位置向量。

式中：Y(t)為輸出向量；C0是輸出矩陣；D0和 B0是直接傳遞矩陣。

1.2　鐵路鋼橋魯棒控制

使用振型疊加法，則在正規(guī)坐標下x=Φq，對方程(1)兩邊同乘TΦ可得[14]：

本文以頻率變化Δω作為不確定參數(shù)進行研究，于是根據(jù)式(5)可得其受控下的運動方程為：

根據(jù)文獻[15]，可知鋼橋結(jié)構(gòu)的受控狀態(tài)方程為：

可得：

式中：ri為第i階頻率的變化參數(shù)；r(t)為對角矩陣，可令于是有：

推論 對系統(tǒng)(8)，存在狀態(tài)反饋-U=GZ，使閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定的充要條件為：存在一個常數(shù)ε＞0，使得下面代數(shù)Riccati方程：

如果解存在，則閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律，亦即魯棒控制的控制力為：

對于常數(shù) ε，其為任意小值，本身并無實際含義，其取值滿足方程(9)使其存在正定對稱解P，采用人為假設(shè)對其初始值進行確定，在滿足方程(9)后，代入方程(11)進行控制力的求解，由此可知控制后的振動狀態(tài)，不斷對ε的取值進行調(diào)整以得到優(yōu)良的控制效果，本研究中最終確定的 ε取值為1.0×10?4。

2　魯棒控制算例

2.1　工程背景

以某鐵路鋼橋為研究背景，對不同速度列車荷載作用下使用魯棒控制算法時其豎向位移振動響應(yīng)和下弦節(jié)點最大正應(yīng)變的抑制效果進行了研究。該橋主體為焊接鋼桁架結(jié)構(gòu)，總長度為480 m，由四跨組成，各跨跨長均為120 m，高度和寬度分別為14.5 m和13 m，各跨桁架均有10個節(jié)間，節(jié)間長度為12 m，桁架主跨如圖2所示(圖中限于篇幅只畫出兩跨，對稱兩跨并未畫出)。桁架腹桿為寬翼緣H型鋼，上下弦桿為箱型截面，鋼橋縱橫梁以及上下平聯(lián)等構(gòu)件均采用H型鋼，上下弦節(jié)點為焊接整體式，各桿件與節(jié)點采用螺栓連接，跨中下弦大節(jié)點如圖2所示，其高度為1.5 m，長度3.5 m，板厚40 mm，下弦箱梁截面尺寸為800 mm×800 mm。

2.2　有限元模型

以該橋的結(jié)構(gòu)設(shè)計圖紙為依據(jù)，使用有限元分析軟件ANSYS建立該鐵路鋼桁架橋梁的有限元模型，如圖3所示，模型構(gòu)件均采用實際尺寸，對該橋梁全橋模型采用shell63殼體單元模擬，模型總單元數(shù)為106 137，而對跨中下弦大節(jié)點采用solid185單元模擬，模型總單元數(shù)為28 834。采用模態(tài)分析法對該結(jié)構(gòu)的振型和自振頻率進行求解。

圖2　鋼橋桁架主跨及下弦節(jié)點板示意圖Fig. 2　Diagrammatic sketch of main span of steel bridge truss and lower-chord node plate

圖3　鋼橋整體殼體模型及下弦節(jié)點實體子模型Fig. 3　Steel bridge integral shell model and lower-chord node entity submodel

2.3　AMD系統(tǒng)設(shè)置

在列車荷載作用下，鐵路鋼橋的豎向振動與水平方向上的響應(yīng)相比其反應(yīng)更大，且豎向響應(yīng)最大部位位于每跨跨中部位，所以為減小列車荷載作用下主梁的豎向振動位移，在鋼橋每跨跨中布置AMD系統(tǒng)，將跨中兩側(cè)各放置10個AMD系統(tǒng)，則在四跨主梁中AMD系統(tǒng)的總數(shù)為80個。參考喻梅等[16?17]結(jié)合鋼橋的工作環(huán)境，對AMD系統(tǒng)采取懸掛式進行布置，其立面布置圖如圖4所示。

圖4　AMD系統(tǒng)立面布置圖Fig. 4　Elevation layout of AMD system

2.4　魯棒控制效果

2.4.1參數(shù)選取

由于實際參數(shù)的不確定性獲取非常困難，為驗證魯棒控制的適應(yīng)性，顯示該算法在強烈變化作用下仍有良好的控制效果，所以選取時間相關(guān)型的正弦函數(shù)表示其變化規(guī)律，表達式為 r(t)=Aωsin(2π fωt)，式中，對于參數(shù)Aω和fω范圍的確定，到目前為止，并沒有相關(guān)的文獻說明結(jié)構(gòu)的變化幅度和頻率的取值規(guī)律，為了研究的方便以說明魯棒控制的有效性，人為選取較為可能的范圍進行分析，因此本文 Aω的取值為 0～0.15，fω的取值為 0～1.0 Hz，為研究fω的取值，可首先對Aω取最大值0.15，因魯棒控制是與LQR控制進行比較，所以對正弦式中fω應(yīng)首先研究其變化對 LQR控制性能的影響。圖 5給出了參數(shù)fω在不變和變化時，采用LQR算法時鋼橋跨中節(jié)點在列車荷載下的豎向位移響應(yīng)，容易看出，fω不變時，LQR主動控制效果不變，fω發(fā)生變化且取值為 0.6時，位移響應(yīng)達到最大值 12.78 mm，LQR控制效果最差。因此，為研究魯棒控制對振動響應(yīng)的抑制效果，應(yīng)取fω=0.6進行對比分析，于是有r(t)=0.15sin(2π×0.6t)，利用該式可以對LQR主動控制以及魯棒控制的效果進行分析。鑒于該鐵路鋼橋線路主要用于進行貨物的運輸，其設(shè)計時速為100 km/h，本文為更好地驗證魯棒振動控制效果的有效性并使所得結(jié)果具有更廣的適用性，使用72，90和108 km/h 3種速度的列車荷載進行對比分析并相互驗證以獲得預(yù)期的目標。

圖5　參數(shù)fω與豎向振動位移控制效果的關(guān)系Fig. 5　Relationship between parameter fω and control effect of vertical vibration displacement

2.4.2全橋殼體模型跨中節(jié)點豎向振動控制效果

圖6給出了在不確定性r(t)=0.15 sin(2π×0.6t)下，設(shè)置AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋當采用魯棒控制算法、LQR主動控制算法和不控制時，在速度為 72 km/h的列車荷載作用下，其跨中節(jié)點豎向位移響應(yīng)的時程曲線。可以看出，在列車荷載作用下，該橋梁結(jié)構(gòu)因為采用了AMD系統(tǒng)進行抑制，2種主動控制算法下跨中節(jié)點的響應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的相比均得到明顯的控制，從數(shù)據(jù)上看，使用 LQR主動控制算法后跨中節(jié)點豎向位移的最大值由控制前的15.44 mm減少到12.75 mm，而魯棒控制算法下其對應(yīng)的最大值從15.44 mm降低到9.83 mm，二者的控制率分別為17.42%和36.33%。

為了驗證魯棒控制的有效性，從平均角度說明魯棒控制的效果，取相應(yīng)位移最大值的均方根(RMS)值進行輔助性分析，通過不同算法下的位移時程曲線可以求得，不受控制、主動控制、魯棒控制時位移最大值對應(yīng)的RMS值分別為8.1，4.6和4.3 mm。

綜上可以看出，在列車荷載作用下，該鐵路鋼橋跨中節(jié)點豎向位移響應(yīng)最大值的魯棒控制效果明顯優(yōu)于LQR主動控制，且從RMS值也可以看出魯棒控制效果略優(yōu)于LQR控制。

圖6　跨中節(jié)點豎向振動位移時程曲線Fig. 6　Vertical vibration displacement time history curve of midspan node

圖7　不確定參數(shù)Aω與豎向位移最大值的關(guān)系Fig. 7　Relationship between Aω and maximum value of vertical displacement

對于以上的分析，其不確定性r(t)中Aω取為固定值0.15，為進一步說明該鐵路鋼橋在不確定性參數(shù)變化時魯棒控制的效果優(yōu)于 LQR主動控制，所以應(yīng)分析當 Aω發(fā)生變化時，該橋梁在 2種主動控制算法下跨中節(jié)點豎向位移最大值的變化規(guī)律，選取不確定性參數(shù) r(t)=Aωsin(2π×0.6t)，其中，fω=0.6時，LQR主動控制的效果最差，作為對比，fω取為固定值0.6，而對于Aω其變化范圍是0～0.15，可將其變化幅度取為0.03進行分析。圖7給出了兩種主動控制算法下該鐵路鋼橋跨中節(jié)點豎向位移最大值與Aω之間的變化規(guī)律，容易看出：隨著Aω的增大，2種主動控制算法下的最大位移均不斷增加，在 LQR主動控制算法下跨中節(jié)點豎向最大位移變化范圍是10.26～12.75，變化幅度平均為0.50，而在魯棒控制算法下對應(yīng)的變化范圍是7.99～9.83，變化幅度平均為0.37，且在同一Aω下，LQR控制下的最大位移始終大于魯棒控制的最大位移，由此可以說明魯棒控制的效果優(yōu)于 LQR主動控制，且之前對于豎向振動位移的分析選取 Aω=0.15是符合邏輯的。

2.4.3下弦大節(jié)點實體子模型危險點正應(yīng)變控制效果

為了驗證魯棒控制效果的正確性，同時為了后續(xù)的魯棒延壽控制研究做好準備，對該鐵路鋼橋下弦大節(jié)點實體子模型中危險點使用魯棒控制算法、LQR主動控制算法和不控制時的最大正應(yīng)變狀態(tài)進行分析，以上一節(jié)作為參照，首先取不確定性r(t)=0.15sin(2π×0.6t)，圖8給出了車速為72 km/h下2種控制算法下最大正應(yīng)變時程曲線。容易看出，相比于不受控制的情況，2種主動控制算法下危險點最大正應(yīng)變均得到一定的抑制效果。具體而言，當不受控制時，其最大值為 5.54×10?4，最小值為3.28×10?4，使用LQR主動控制算法時其最大值為5.35×10?4，最小值為 3.74×10-4，而魯棒控制算法下最大值為 5.17×10?4，最小值為 3.53×10?4。通過不同算法下的最大正應(yīng)變時程曲線可以求得，不受控制、主動控制、魯棒控制時最大正應(yīng)變對應(yīng)的RMS 值分別為 4.69×10?4，4.61×10?4和 4.56×10?4。對比可知，對于危險點最大正應(yīng)變的控制，魯棒控制的效果比LQR主動控制更好。

與上一節(jié)的分析內(nèi)容一致，為了進一步說明該鐵路鋼橋在不確定性參數(shù)變化時其下弦大節(jié)點實體子模型危險點最大正應(yīng)變的魯棒控制效果優(yōu)于LQR主動控制，仍需對Aω的變化進行分析，其變化范圍是0～0.15，則變化幅度仍取為0.03。圖9給出了2種主動控制算法下危險點最大正應(yīng)變的最大值與Aω之間的變化規(guī)律，容易看出：隨著Aω的變化，2種主動控制算法下正應(yīng)變最大值均不斷增加，在 LQR主動控制算法下正應(yīng)變最大值的變化范圍是 3.75×10?4～5.35×10?4，平均變化幅度為 0.32，而在魯棒控制算法下對應(yīng)的變化范圍是3.67×10?4～5.17×10?4，平均變化幅度為 0.30，且在同一Aω下，LQR控制下的正應(yīng)變最大值始終大于魯棒控制下的最大值，所以魯棒控制的效果優(yōu)于LQR主動控制，且本節(jié)開始對于最大正應(yīng)變控制的分析中選取Aω=0.15是符合邏輯的。

圖8　臨界面最大正應(yīng)變時程曲線Fig. 8　Maximum normal strain time history curve of critical plane

圖9　不確定參數(shù)Aω與正應(yīng)變最大值的關(guān)系Fig. 9　Relationship between parameter Aω and maximum of normal strain

2.4.4不同車速下的控制效果

圖10給出了在不確定性r(t)=0.15sin(2π×0.6t)下，設(shè)置AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋當采用魯棒控制算法、LQR主動控制算法和不控制時，在90 km/h和108 km/h(圖中由上至下)2種不同速度的列車荷載作用下，其跨中節(jié)點豎向位移響應(yīng)的時程曲線?？梢钥闯?，在不同車速荷載下，該橋梁結(jié)構(gòu)因為采用了AMD系統(tǒng)進行抑制，2種主動控制算法下跨中節(jié)點的響應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的相比均得到明顯的控制，從數(shù)據(jù)上看，當車速為90 km/h時，使用LQR主動控制算法后相對應(yīng)的最大值由控制前的15.57 mm減少到 12.66 mm，而魯棒控制算法下該最大值從15.57 mm降低到 9.81 mm，二者的控制率分別為18.69%和36.99%；當車速為108 km/h時，使用LQR主動控制算法后對應(yīng)的最大值由控制前的 15.47 mm減少到12.75 mm，而魯棒控制算法下該最大值從15.47 mm降低到9.55 mm，二者的控制率分別為17.58%和38.27%。通過以上對比分析可知，對于參數(shù)不確定的鐵路鋼橋承受不同時速的列車荷載時，其節(jié)點豎向位移的響應(yīng)在魯棒控制算法下的控制效果明顯優(yōu)于LQR主動控制；結(jié)合圖6可知，對于不同時速下的列車荷載作用，魯棒控制的效果相差較小。

圖10　不同車速下跨中節(jié)點豎向振動位移時程曲線Fig. 10　Time history curve of vertical vibration displacement node under different vehicle speeds

圖11給出了在不確定性r(t)=0.15sin(2π×0.6t)下，設(shè)置AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋當采用魯棒控制算法、LQR主動控制算法和不控制時，在90 km/h和108 km/h(圖中由上至下)2種不同速度的列車荷載作用下，危險點正應(yīng)變最大值的時程曲線。容易看出，當車速為90 km/h時，相應(yīng)的最大正應(yīng)變在不受控制時，其最大值為5.55×10?4，最小值為3.25×10?4，使用LQR主動控制算法時其最大值為5.35×10?4，最小值為 3.74×10?4，而魯棒控制算法下最大值為 5.17×10?4，最小值為 3.54×10?4；當車速為108 km/h時,該最大正應(yīng)變不受控制時，其最大值為5.53×10?4，最小值為 3.31×10?4，使用 LQR 主動控制算法時其最大值為 5.35×10?4，最小值為3.74×10?4，而魯棒控制算法下最大值為 5.17×10-4，最小值為3.53×10?4。對比可知：LQR主動控制與魯棒控制算法均能在一定程度上抑制危險點最大正應(yīng)變，且魯棒控制相比 LQR主動控制而言，控制效果更好；結(jié)合圖8可知，魯棒控制的效果對速度變化不敏感。

圖11　不同車速下臨界面最大正應(yīng)變時程曲線Fig. 11　Time history curve of maximum of critical plane positive strain under different vehicle speeds

3　結(jié)論

1) 對于參數(shù)不確定的鐵路鋼橋，應(yīng)采取魯棒控制以應(yīng)對其在列車荷載作用下產(chǎn)生的振動響應(yīng)。

2) 在列車荷載作用下，LQR主動控制與魯棒控制均能夠有效抑制鋼橋節(jié)點的豎向位移以及下弦大節(jié)點危險點的最大正應(yīng)變，但魯棒控制的效果明顯比 LQR主動控制的效果更好，而且其效果對速度變化不敏感。

3) 本文所做的研究工作對后續(xù)的魯棒疲勞延壽的研究具有重要的先導與準備作用，相關(guān)設(shè)置AMD的鐵路鋼橋疲勞裂紋萌生魯棒延壽控制的研究將另文專述。

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