王菁菁，浩文明，劉志彬

（湖南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 株洲 412000）

0　引言

自1972年Yao提出結(jié)構(gòu)控制概念以來，結(jié)構(gòu)控制技術(shù)在土木工程領(lǐng)域迅速發(fā)展。結(jié)構(gòu)控制[1]可分為被動、主動、半主動和混合控制，其中，結(jié)構(gòu)被動控制[2]具有不需要外部能源輸入、安裝維護(hù)方便等優(yōu)點，在工程實踐中應(yīng)用最為廣泛。非線性能量阱[3]（Nonlinear Energy Sink，簡稱NES）是一種新型的被動控制方法，由一個質(zhì)量或一組質(zhì)量組成，通過阻尼單元和非線性彈簧單元與主體結(jié)構(gòu)相連。由于NES具有本質(zhì)非線性回復(fù)力，在主體結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生變化后依然能保持較高的減振性能。以往研究的NES[4]大多利用幾何方法實現(xiàn)NES的非線性，本文所研究的軌道非線性能量阱（Track Nonlinear Energy Sink，簡稱軌道NES）通過附加質(zhì)量塊沿特殊設(shè)計的軌道運動產(chǎn)生非線性回復(fù)力，較以往研究的NES展現(xiàn)出更強的非線性。Wang 等人[5-7]對兩自由度主體結(jié)構(gòu)附加軌道NES在脈沖荷載作用下的減振性能進(jìn)行了數(shù)值模擬和試驗研究，NES軌道形狀采用四階多項式。研究發(fā)現(xiàn)，軌道NES能夠有效降低結(jié)構(gòu)在脈沖荷載下的響應(yīng)，但在地震作用下，使用脈沖荷載優(yōu)化得到的軌道NES減震性能器與脈沖荷載作用下的減振性能存在一定差距。本文推導(dǎo)軌道NES的回復(fù)力表達(dá)式、軌道NES系統(tǒng)運動方程，并通過數(shù)值模擬考察兩自由度主體結(jié)構(gòu)附加軌道NES在地震作用下的響應(yīng)。由于通過脈沖荷載優(yōu)化得到的軌道NES在地震作用下減震性能尚待改進(jìn)，本文對地震作用下軌道NES進(jìn)行了優(yōu)化并考察了軌道形狀函數(shù)對其減震性能的影響。結(jié)果表明，針對地震作用優(yōu)化后的軌道NES展現(xiàn)出優(yōu)越的減震性能，軌道形狀函數(shù)采用三階多項式較四階多項式控制效果更佳，更利于實現(xiàn)。

1　軌道非線性能量阱

軌道NES是一種新型的NES，軌道NES以非線性實現(xiàn)方法為出發(fā)點，通過特殊設(shè)計的軌道提供非線性回復(fù)力，可將其視為沿軌道運行的小車（圖1）。軌道NES的軌道形狀函數(shù)采用高階多項式，在初始位置附近，其切線剛度很小，隨著NES位移的增大，其切線剛度也隨之呈多階冪增大。

假設(shè)NES質(zhì)量塊不發(fā)生轉(zhuǎn)動且時刻與軌道保持接觸，即在求解NES回復(fù)力表達(dá)式時不考慮其轉(zhuǎn)動慣量且回復(fù)力連續(xù)，軌道NES的自由體受力圖如圖2所示。其中，mN為NES質(zhì)量，uN和vN分別為NES相對于軌道中心最低點的水平位移和豎向位移，z為軌道的水平位移，h（uN）是軌道的形狀函數(shù)，和vN相等，可以通過uN表示。FNomal是NES作用在軌道上的法向反力，θ為軌道切線角度，可通過對軌道形狀函數(shù)h（uN）求導(dǎo)得到，g為重力加速度。

軌道NES的回復(fù)力表達(dá)式和運動方程[8]可通過拉格朗日方法得到：

圖1　軌道NES示意圖Fig.1　 Conceptual model of track NES

圖2　軌道NES自由體受力圖Fig.2　 Free body diagram of track NES

此處暫不考慮軌道NES阻尼，對式（2）和（4）求偏導(dǎo)并展開，可得：

將式（5）、（6）、（7）和（8）分別帶入拉格朗日方程，可得 NES 的運動方程為：

除去運動方程中慣性力項和軌道加速度作用的外力項，可求得軌道NES的回復(fù)力表達(dá)式為：

2　系統(tǒng)運動方程

本文使用一兩自由度鋼框架結(jié)構(gòu)作為主體結(jié)構(gòu)，軌道NES置于結(jié)構(gòu)頂層。該主體結(jié)構(gòu)第一、二層質(zhì)量分別為24.3kg和24.2kg，第一、二層剛度分別為6820 N/m和8220 N/m，結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比為0.1%，結(jié)構(gòu)第一、二階固有頻率分別為1.63Hz和4.56Hz。模型示意圖如圖3所示，其中，m1和m2分別為第一、二層的質(zhì)量，k1和k2分別為第一、二層結(jié)構(gòu)剛度，c1和c2分別為第一、二層阻尼系數(shù)，cN為軌道NES阻尼系數(shù)，x1和x2分別為第一、二層質(zhì)量相對地面的位移，其它符號含義與圖2相同。

系統(tǒng)的運動方程采用拉格朗日方法得到。系統(tǒng)的總動能為：

圖3　軌道NES系統(tǒng)示意圖Fig.3　 Phenomenological Model of track NES system

系統(tǒng)的總勢能為：

非保守力所做虛功為：

分別對式（11）、（12）和（13）求x1、x2和uN的偏導(dǎo)可以得到第一、二層和NES的運動方程為：

3　軌道非線性能量阱數(shù)值優(yōu)化

主體結(jié)構(gòu)附加軌道NES的數(shù)值優(yōu)化使用MATLAB計算軟件，通過State-Space模塊和Differential Equation Editor模塊建立Simulink模型。優(yōu)化使用脈沖荷載，通過設(shè)置主體結(jié)構(gòu)初始速度（0.15m/s）施加。軌道形狀函數(shù)采用高階多項式，考慮到軌道NES回復(fù)力的非線性程度、軌道NES的減振效率和軌道NES試驗制作等因素，軌道形狀函數(shù)選用四階多項式，NES阻尼[9-10]根據(jù)已有試驗經(jīng)驗取經(jīng)驗值1.6 N·s·m-1。對軌道NES軌道形狀函數(shù)系數(shù)a和NES質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化，使用層間位移指標(biāo)作為優(yōu)化指標(biāo)，當(dāng)層間位移指標(biāo)最小時，認(rèn)為此時軌道系數(shù)a和NES質(zhì)量為最優(yōu)值。經(jīng)過優(yōu)化，得到軌道NES的參數(shù)：軌道形狀函數(shù)為 ，NES質(zhì)量[11]為2.425kg，占主體結(jié)構(gòu)質(zhì)量5%。

圖4對比了軌道NES系統(tǒng)和鎖住系統(tǒng)在初始速度為0.15m/s時的第一層層間位移響應(yīng)。鎖住系統(tǒng)將NES附加質(zhì)量與頂層鎖住，作為未受控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比。經(jīng)過脈沖荷載優(yōu)化后的軌道NES減振效果明顯，15s內(nèi)即可降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)70%以上。

圖5對比了軌道NES系統(tǒng)（通過脈沖荷載優(yōu)化得到）和鎖住系統(tǒng)在地震作用下（Imperial Valley, 1940, El Centro，PGA為0.32m/s2）的層間位移響應(yīng)。為了使結(jié)構(gòu)響應(yīng)在合理范圍內(nèi)，本文對選用的地震均乘以相應(yīng)的縮小比例系數(shù)。軌道NES能夠降低結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)，特別是在10s～20s內(nèi)，軌道NES減震效果非常明顯，結(jié)構(gòu)響應(yīng)僅為鎖住系統(tǒng)的30%以下，但25s后，結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)一直保持在較高水平，容易造成結(jié)構(gòu)破壞。

經(jīng)脈沖荷載優(yōu)化得到的軌道NES能夠降低結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)，但與脈沖荷載作用下軌道NES 15s內(nèi)降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)70%相比尚有一定差距。其主要原因在于地震作用包含的頻率成分復(fù)雜，根據(jù)簡單脈沖荷載優(yōu)化得到的軌道NES難以達(dá)到最佳的減震性能。

圖4　0.15m/s初始速度的層間位移Fig.4　 Story drift under 0.15 m/s initial velocity

4　地震作用下參數(shù)優(yōu)化

本研究選用12條美國加州地區(qū)的地震記錄（表1）。同時，為對比不同軌道形狀函數(shù)下軌道NES的減震性能，分別對三階多項式、四階多項式和五階多項式軌道NES進(jìn)行了優(yōu)化。二階多項式軌道NES的回復(fù)力-位移關(guān)系幾乎呈線性，未納入本文的非線性控制研究。地震作用下軌道NES待優(yōu)化參數(shù)包括軌道形狀函數(shù)系數(shù)和NES阻尼，優(yōu)化主要分為以下三步：

（1）選擇具有組合出最佳減震性能潛能的軌道形狀函數(shù)系數(shù)和NES阻尼范圍；

（2）分別對這12條地震波作用下主體結(jié)構(gòu)附加不同參數(shù)組合（軌道形狀函數(shù)系數(shù)-NES阻尼）的軌道NES進(jìn)行模擬，得到不同參數(shù)組合下的層間位移指標(biāo)；

（3）對同一參數(shù)組合，取這12條地震波作用下的層間位移指標(biāo)平均值，即得到平均層間位移指標(biāo)，當(dāng)平均層間位移指標(biāo)最小時，認(rèn)為此時對應(yīng)的NES參數(shù)為最優(yōu)參數(shù)。

經(jīng)優(yōu)化得到三階多項式、四階多項式和五階多項式軌道形狀函數(shù)系數(shù)分別為130、4900和96000，NES阻尼為8 N.s.m-1。由于阻尼優(yōu)化值相差較小，不同軌道形狀函數(shù)的軌道NES阻尼取值相同。

表1　不同軌道形狀函數(shù)軌道NES系統(tǒng)的層間位移響應(yīng)

表1列出了各地震波作用下三階多項式、四階多項式和五階多項式軌道NES與鎖住系統(tǒng)的層間位移響應(yīng)比值。觀察原始剛度下軌道NES減震性能發(fā)現(xiàn)，三階多項式軌道NES的減震性能最優(yōu)，大多數(shù)地震波作用下響應(yīng)可降至鎖住系統(tǒng)響應(yīng)的20%以下。當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度下降至原始剛度50%時，多數(shù)地震波作用下軌道NES的減震性能出現(xiàn)不同程度的退化，但仍具有一定的減震性能，不同軌道形狀的軌道NES減震性能相當(dāng)。

圖5　使用原始參數(shù)地震作用下結(jié)構(gòu)層間位移Fig.5　 Story driftunder seismic excitation using original optimized parameters

圖6和圖7分別對比了優(yōu)化后三階多項式軌道NES系統(tǒng)和鎖住系統(tǒng)在1號地震波作用下原始結(jié)構(gòu)剛度和50%結(jié)構(gòu)剛度的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。當(dāng)主體結(jié)構(gòu)剛度保持不變時，軌道NES的減震效果非常明顯，能夠減小結(jié)構(gòu)響應(yīng)70%以上；當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度下降至原始剛度的50%時，軌道NES仍能保持較高的減震性能，具有較好的頻率魯棒性，能夠起到保護(hù)結(jié)構(gòu)的作用。

圖6　地震波作用下原始剛度結(jié)構(gòu)層間位移Fig.6　 Story drift of original stiffness structures under seismic excitation

圖7　地震波作用下50%剛度結(jié)構(gòu)層間位移Fig.7　 Story drift of 50% stiffness structures under seismic excitation

圖8和圖9為4號地震波作用下的NES相對頂層的位移時程和不同軌道形狀函數(shù)下的軌道形狀真實比例圖。4號地震波作用下NES相對位移最大，峰值接近0.06m?？紤]到在設(shè)計NES過程中要預(yù)留一定的安全距離，因此，圖9按真實比例繪制了0.07m內(nèi)的軌道形狀，從圖中可以看出，四階多項式和五階多項式軌道形狀極為陡峭，只有三階多項式軌道形狀較為平緩，便于實際軌道NES的制作與加工。因此，在本文所考察的地震波作用下，應(yīng)使用三階多項式軌道NES進(jìn)行減震控制。

圖8　4號地震波作用下的軌道NES位移Fig.8　 Relative displacement of track NES under earthquake No.4

圖9　真實比例軌道形狀Fig.9　 Track shapes in real proportion

5　結(jié)論

通過對兩自由度主體結(jié)構(gòu)附加軌道NES進(jìn)行數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)：

（1）通過脈沖荷載優(yōu)化的軌道NES減震效果尚待提高，不能完全使用脈沖荷載優(yōu)化設(shè)計參數(shù)對軌道NES進(jìn)行減震設(shè)計；

（2）通過地震優(yōu)化的軌道NES展現(xiàn)出了優(yōu)越的減震性能且對結(jié)構(gòu)剛度變化展現(xiàn)出較高的魯棒性，在本文所考察的大多數(shù)地震波作用下，可減小結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)達(dá)70%以上；

（3）通過對比不同階次多項式軌道形狀發(fā)現(xiàn)，三階多項式軌道NES減震性能最佳且其軌道形狀較容易在試驗中實現(xiàn)，在軌道NES減震設(shè)計中，應(yīng)考慮使用三階多項式軌道形狀。

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