劉　攀，馮長煥

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000）

針對單變量時(shí)間序列預(yù)測的傳統(tǒng)模型，主要有曲線趨勢外推模型、指數(shù)平滑模型、ARMA模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等. 單一模型通常只是反應(yīng)數(shù)據(jù)序列在某一兩個(gè)方面的特點(diǎn)，不能對序列的所有特征進(jìn)行反應(yīng).如GM（1，1）模型對序列的趨勢性特征反映較好，但對序列的周期性及波動(dòng)性的反映較差，而ARMA模型對序列的周期性和波動(dòng)性反映較好，但對序列的趨勢性反映較差，如果建立GM（1，1）－ ARMA組合模型，二者正好可以互補(bǔ). 近年來，諸多學(xué)者越來越關(guān)注組合預(yù)測模型在單變量時(shí)間序列中的應(yīng)用. 楊小力等[1]建立GM（1，1）－ARMA組合預(yù)測模型對2013年1—4月某紡織品的出口量進(jìn)行了預(yù)測；戴鈺[2]通過建立最優(yōu)組合預(yù)測模型對“深發(fā)展A”在 2007年的證券價(jià)格進(jìn)行了預(yù)測；龍會(huì)典、嚴(yán)廣樂[3]建立SARMA－GMBP的組合模型，對2009—2010年中國季度GDP進(jìn)行了預(yù)測；彭乃池、黨婷[4]運(yùn)用ARMA－GM－ BP組合預(yù)測模型，對2014—2015年中國 GDP進(jìn)行了預(yù)測等. 這些研究的結(jié)果均表明組合預(yù)測模型比單一模型預(yù)測效果更好、精度更高. 人均GDP是衡量一個(gè)國家或地區(qū)一定時(shí)期內(nèi)經(jīng)濟(jì)實(shí)力和市場規(guī)模狀況的核心指標(biāo)，它也是單變量時(shí)間序列的典型代表，本文以江蘇省人均GDP為例，提出IGOWTA算子，據(jù)此建立新的組合預(yù)測模型，以期提高預(yù)測的精度.

1　GM（1，1）模型

GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)理論的核心模型，它對呈近指數(shù)增長趨勢的數(shù)據(jù)序列建立灰色微分方程，通過數(shù)據(jù)擬合，能對未來序列值進(jìn)行預(yù)測[5]. GM（1，1）模型的建模步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)準(zhǔn)備與序列生成

（2）模型的適用性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)原始序列和它的累加生成序列的光滑性及是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律等. 本文使用級(jí)比檢驗(yàn)法. 若級(jí)比范圍內(nèi)，則檢驗(yàn)通過. 若級(jí)比不在此范圍內(nèi)，說明原始數(shù)據(jù)不具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律、不適合GM（1，1）模型，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，數(shù)據(jù)變換后再進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn).

（3）灰色微分方程的建立與求解

建立灰色微分方程

其中a、b滿足白化方程根據(jù)最小二乘法求出參數(shù)向量. 其中

得到式（1）的解為

2　ARMA模型

ARMA模型（即自回歸移動(dòng)平均模型）在20世紀(jì)70年代由Box和Jenkins提出，是時(shí)間序列分析中一種常用的模型，它通過描述未來數(shù)據(jù)值與過去數(shù)據(jù)值的聯(lián)系，對一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程{xt}，建立ARMA（p，q）模型[6]：

其中，p為自回歸項(xiàng)數(shù)，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù).ARMA（p，q）模型的步驟如下：

（1） 序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn). 根據(jù)時(shí)間序列的散點(diǎn)圖、自相關(guān)系數(shù)圖及ADF單位根等檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn).如果不平穩(wěn)，需要對序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理，如取對數(shù)處理和差分處理等.

（2） 模型的識(shí)別與參數(shù)估計(jì). 利用Eviews等軟件進(jìn)行模型的識(shí)別并建立相應(yīng)的AR、MA、或ARMA模型；然后對模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并檢驗(yàn)參數(shù)與0是否具有顯著性差異.

（3） 模型的殘差檢驗(yàn)與預(yù)測. 檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲序列，若檢驗(yàn)通過，進(jìn)行樣本空間的擴(kuò)展，利用該模型對序列進(jìn)行預(yù)測.

3　RBF模型

近年來，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在許多領(lǐng)域都得到廣泛的應(yīng)用. 前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（包括BP網(wǎng)絡(luò)和RBF網(wǎng)絡(luò)等）是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的一種典型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它以其強(qiáng)大的并行處理能力、自學(xué)習(xí)能力及非線性映射能力，被廣泛應(yīng)用于函數(shù)逼近、模式分類等方面. 目前，BP網(wǎng)絡(luò)使用最多，但是BP網(wǎng)絡(luò)在函數(shù)逼近時(shí)容易陷入局部最小且收斂速度緩慢，RBF網(wǎng)絡(luò)在函數(shù)逼近及學(xué)習(xí)速度方面比BP網(wǎng)絡(luò)更優(yōu)秀，已經(jīng)證明RBF網(wǎng)絡(luò)能夠以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)[7]. RBF模型，即徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，它根據(jù)一個(gè)3層（輸入層、隱層和輸出層）的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，建立從輸入到輸出的非線性映射.

第一階段，數(shù)據(jù)由輸入層向隱層傳播，把高斯函數(shù)作為隱層節(jié)點(diǎn)的激勵(lì)函數(shù). 第p輸入樣本在第i個(gè)隱層神經(jīng)元的輸出為：

式（4）中，ci為隱層結(jié)點(diǎn)的中心，為隱層結(jié)點(diǎn)的方差，i=1,2,…,h為隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)，表示與ci之間的歐式距離.

第二階段，數(shù)據(jù)由隱層層向輸出層傳播，RBF的輸出為隱層輸出的線性加權(quán)組合

4　GOWTA算子和IGOWTA算子在組合預(yù)測模型中的應(yīng)用

傳統(tǒng)組合預(yù)測模型以真實(shí)值與組合預(yù)測值的誤差平方和為準(zhǔn)則，最終的組合預(yù)測值是各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測值的加權(quán)組合，賦權(quán)的方法有殘差平方和倒數(shù)法、均方誤差倒數(shù)法、最優(yōu)權(quán)法（最小二乘法）等[8－9]. 20世紀(jì)80年代Yager提出了IOWA算子[10]，此后陳華友[11]、周禮剛[12]等學(xué)者提出了系列誘導(dǎo)有序信息集成算子，并運(yùn)用到組合預(yù)測. 本文將正切函數(shù)與集成算子結(jié)合，提出GOWTA算子和IGOWTA算子，建立新的組合預(yù)測模型.

4.1　GOWTA和IGOWTA算子的定義

定義1設(shè)為m元函數(shù)，是與有關(guān)的加權(quán)向量，滿足若

其中bi是a1,a2,…,am中按從大到小的順序排列的第i個(gè)大的數(shù)，則稱函數(shù)GOWTAW為m維廣義有序加權(quán)正切平均算子，簡記為GOWTA算子.

定義2設(shè)為m個(gè)二維數(shù)組，令

其中v?index(i)是v1,v2,…,vm中按從大到小的順序排列的第i個(gè)大的數(shù)的下標(biāo)，則稱函數(shù)IGOWTAW是由v1,v2,…,vm誘導(dǎo)產(chǎn)生的m維誘導(dǎo)有序加權(quán)正切平均算子，簡記為IGOWTA算子，vi稱為ai的誘導(dǎo)值. 其他符號(hào)說明同定義1.

GOWTA算子和IGOWTA算子的共同點(diǎn)是都對已知數(shù)據(jù)序列進(jìn)行重新排列，對新的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行集結(jié). 不同之處在于GOWTA算子排序的依據(jù)是ai的大小順序，而IGOWTA算子排序的依據(jù)是vi的大小順序. 根據(jù)文獻(xiàn)[11]，誘導(dǎo)型集成算子通常比普通型集成算子的預(yù)測精度更高，本文只探討基于IGOWTA算子的組合預(yù)測模型.

4.2　IGOWTA算子的性質(zhì)

文獻(xiàn)[12]P37－42已經(jīng)證明廣義有序加權(quán)對數(shù)平均（GOWLA）算子具有單調(diào)性、置換不變性、冪等性、介質(zhì)性等優(yōu)良性質(zhì). 容易證明IGOWTA算子也具有類似性質(zhì)，篇幅所限，本文略去證明方法.

性質(zhì)1（單調(diào)性）設(shè)f為IGOWTA算子，若，則

性質(zhì)2（置 換不變性）設(shè)f為IGOWTA算子為二維數(shù)組的任意置換后的數(shù)組，則

性質(zhì)3（冪等性）設(shè)f為IGOWTA算子，若ai=a,i=1,2,…,m，則

性質(zhì)4（介質(zhì)性）設(shè)f為IGOWTA算子，則

4.3　組合預(yù)測模型的建立與求解

設(shè)某個(gè)單變量數(shù)據(jù)序列的實(shí)際值為xt,t=1,2,…,n，有m種單一預(yù)測方法對其進(jìn)行預(yù)測，xit為第i種單一預(yù)測方法在第t時(shí)刻的預(yù)測值，vit為第i種單一預(yù)測方法在第t時(shí)刻的預(yù)測精度.

定義3令則稱為由精度序列誘導(dǎo)產(chǎn)生的IGOWTA預(yù)測值.

定義4稱為第i種預(yù)測方法在第t時(shí)刻的反正切λ次冪的預(yù)測誤差，稱為IGOWTA組合預(yù)測在第t時(shí)刻的反正切λ次冪的預(yù)測誤差.

根據(jù)定義3～4，得

即，IGOWTA組合預(yù)測在第t時(shí)刻的反正切λ次冪的預(yù)測誤差在單一方法在第t時(shí)刻的反正切λ次冪的預(yù)測誤差的最小值與最大值范圍內(nèi)，IGOWTA組合預(yù)測是合理的.

要使得n個(gè)時(shí)刻組合預(yù)測值的反正切λ次冪的預(yù)測誤差的平方和s最小，其中

從而，基于IGOWTA算子的組合預(yù)測模型可以表示為如下優(yōu)化模型：

上式利用LINGO、MATLAB等軟件可以求解權(quán)重，再根據(jù)式（8）可以求得IGOWTA預(yù)測值.

5　實(shí)證分析

本文把1990—2009年江蘇省人均GDP數(shù)據(jù)作為擬合數(shù)據(jù)，2010—2014年的數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)，對2015—2017年江蘇人均GDP進(jìn)行預(yù)測. 數(shù)據(jù)來源于《2016年江蘇省統(tǒng)計(jì)年鑒》.

5.1　GM（1，1）模型

取α=0.1，得到序列P=(p(1),p(1),…,p(n))，此時(shí)級(jí)比檢驗(yàn)通過. 對序列P建立GM（1，1）模型，得到模擬方程：

5.2　ARMA模型

為了使序列平穩(wěn)，先對原始序列X(0)對數(shù)化處理，再進(jìn)行一階差分處理，記平穩(wěn)處理后的序列為dlnX經(jīng)過多次試驗(yàn)及綜合考慮AIC、SC最小準(zhǔn)則等，最終建立了ARMA（2，2）模型

文獻(xiàn)[14]也對1990—2009年江蘇人均GDP進(jìn)行了時(shí)間序列分析，對dlnX建立了ARMA（1，1）模型. 根據(jù)AIC、SC、HQ準(zhǔn)則及擬合度R2的考慮，ARMA（2，2）模型比ARMA（1，1）模型更適合模擬1990—2009年的江蘇人均GDP，具體見表1.

表1　ARMA（1，1）和ARMA（1，2）模型擬合情況對比

5.3　RBF模型

把1990—2009年江蘇人均GDP數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本，每 3 年的人均 GDP 值作為輸入向量， 第 4年人均 GDP 值作為輸出向量. 如1990—1992年的人均GDP值作為輸入，1993年人均GDP值作為輸出. 為了加快收斂速度，先將輸入向量和輸出向量標(biāo)準(zhǔn)化.

在MATLAB軟件中利用newrb（X，T，GOAL，SPREAD，MN，DF）函數(shù)構(gòu)建RBF網(wǎng)絡(luò). 其中X為輸入向量，T為輸出向量，GOAL為網(wǎng)絡(luò)的均方誤差，SPEAD為徑向基擴(kuò)展常數(shù)，MN為神經(jīng)元的最大個(gè)數(shù)，DF為訓(xùn)練過程中的顯示頻率. 反復(fù)試驗(yàn)后，確立本文的參數(shù)設(shè)置為：GOAL＝1e－3，SPEAD＝7，MN＝20，DF＝10.

5.4　組合預(yù)測模型

針對上述3種單一模型，基于IGOWTA算子建立組合預(yù)測模型，根據(jù)式（16），當(dāng)參數(shù)λ=16時(shí)，組合預(yù)測值的反正切λ次冪的預(yù)測誤差的平方和s最小，利用MATLAB求得GM（1，1）、ARMA、RBF模型的權(quán)重系數(shù)分別為0.3629，0.3452和0.2919.

為了進(jìn)行模型的對比，本文使用以下3種誤差對模型進(jìn)行評價(jià)（時(shí)間為1990—2014年）均方誤差，平均絕對誤差均方百分比誤差. 結(jié)果見表2.

由表2可知，本文基于IGOWTA算子建立的組合預(yù)測模型比單一模型的誤差更小，效果更好，并且本文的組合預(yù)測模型比文獻(xiàn)[14]的MAE和MSPE更小.

表2　不同模型預(yù)測誤差比較

為了增強(qiáng)預(yù)測的時(shí)效性，將驗(yàn)證期2010—2014年江蘇省人均GDP數(shù)據(jù)代入以上單一模型和組合預(yù)測模型. 得到2015—2016年江蘇省人均GDP預(yù)測結(jié)果如表3所示.

表3　本文單一模型與IGOWTA組合預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果

6　結(jié)束語

本文在文獻(xiàn)[10－12]的基礎(chǔ)上提出了IGOWTA算子的概念，建立了新的組合預(yù)測模型，預(yù)測效果比單一模型更好，誤差更小. 本文基于正切和反正切函數(shù)提出了誘導(dǎo)有序加權(quán)正切平均算子，取得了較好的效果. 后續(xù)還可以考慮把其他三角函數(shù)引入到誘導(dǎo)信息集成算子中，以建立新的組合預(yù)測模型.

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