歐陽(yáng)小穗，劉毅

同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092

壁板顫振研究始于20世紀(jì)50年代。Miles[1]和Jordan[2]最先對(duì)壁板顫振進(jìn)行了理論分析。Olson[3-4]最早用有限元法研究壁板顫振問(wèn)題，分析了超聲速流中二維壁板的顫振邊界。Kouchakzadeh等[5]研究了高速流場(chǎng)中復(fù)合材料層合板非線性氣動(dòng)彈性問(wèn)題，分析了面內(nèi)載荷、靜壓差、纖維方向和氣動(dòng)阻尼對(duì)壁板非線性氣動(dòng)彈性特性的影響。結(jié)果表明，纖維方向?qū)Π宓膭?dòng)力學(xué)特性有明顯影響，板的非對(duì)稱(chēng)特性改變了極限環(huán)振動(dòng)性能。Abdel-Motaglay 等[6]針對(duì)任意方向來(lái)流對(duì)復(fù)合材料板大振幅超聲速顫振的影響提出了一種有限元公式，并對(duì)偏航超聲速流中各向同性和正交各向異性復(fù)合材料板進(jìn)行了分析。Singha和Ganapathi[7]采用剪切變形有限元法研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)復(fù)合材料層合板的超聲速顫振特性的影響。估算了臨界動(dòng)壓隨板的傾斜角、纖維方向和邊界條件的變化；分析了氣動(dòng)力、結(jié)構(gòu)阻尼以及熱載荷對(duì)臨界動(dòng)壓的影響。國(guó)內(nèi)學(xué)者在復(fù)合材料壁板顫振方面也進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究。王曉慶等[8]采用4節(jié)點(diǎn)24自由度板單元研究不同溫度場(chǎng)的偏航壁板顫振問(wèn)題，進(jìn)行了考慮偏航壁板顫振速度和壁板重量的多目標(biāo)熱顫振優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到偏航壁板顫振隨溫升出現(xiàn)“跳躍”現(xiàn)象的結(jié)論。苑凱華和邱志平[9-10]采用有限元法研究了高速流場(chǎng)中復(fù)合材料壁板熱顫振問(wèn)題，考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性對(duì)壁板顫振的影響，提出用區(qū)間描述不確定性因素估計(jì)壁板顫振臨界風(fēng)速近似區(qū)間，以及發(fā)生極限環(huán)振動(dòng)時(shí)的振幅變化區(qū)間，數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性和可行性。楊智春等[11]采用分步求解方法研究了復(fù)合材料壁板的熱顫振，得到3種不同鋪層復(fù)合材料壁板顫振臨界速度和溫升間的關(guān)系。高揚(yáng)等[12]應(yīng)用有限元法研究氣流偏角和熱載荷對(duì)不同形狀復(fù)合材料壁板顫振特性的影響，分析了不同形狀復(fù)合材料壁板顫振臨界動(dòng)壓隨溫升和氣流偏角的變化規(guī)律。呂秀秀等[13]研究超聲速流場(chǎng)中鋪層方式和鋪層方位角對(duì)復(fù)合材料層合板顫振特性的影響。

傳統(tǒng)的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板采用的是直線纖維(如圖1(a)所示)，也就是說(shuō)纖維方向在單層內(nèi)是不變的；隨著自動(dòng)鋪放等先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展，利用自動(dòng)鋪放設(shè)備能夠改變鋪層的纖維方向,使得纖維方向在鋪層內(nèi)曲線變化(如圖1(b)所示)[14]。不同于傳統(tǒng)的直線纖維復(fù)合材料單層板，曲線纖維復(fù)合材料單層板中每一點(diǎn)的纖維方向都是不同的，隨位置變化而連續(xù)變化，單層內(nèi)不同位置處的剛度也隨纖維方向的變化而變化，呈現(xiàn)出變剛度的特點(diǎn)。這種含曲線纖維鋪層的復(fù)合材料稱(chēng)為變剛度復(fù)合材料。變剛度復(fù)合材料在減輕結(jié)構(gòu)重量和降低制造成本等方面已顯示出優(yōu)勢(shì)。

曲線纖維復(fù)合材料最早由Hyer等[15-16]提出用來(lái)代替直線纖維以提高帶孔復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能。隨后，Gürdal等[17-20]提出了變剛度復(fù)合材料概念，研究中考慮固化過(guò)程產(chǎn)生的殘余熱應(yīng)力等因素，結(jié)果表明，曲線纖維復(fù)合材料層合板與傳統(tǒng)的直線纖維復(fù)合材料相比，屈曲性能有較大提高。Wu等[21-22]采用數(shù)值方法對(duì)曲線纖維復(fù)合材料的屈曲和后屈曲性能進(jìn)行了研究。杜宇等[23]采用有限元法研究了變剛度復(fù)合材料的失效性能。

迄今為止，對(duì)曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板力學(xué)性能的研究主要集中在屈曲問(wèn)題上，而對(duì)氣動(dòng)彈性問(wèn)題的研究還很少。Stodieck等[24-25]研究了矩形機(jī)翼的氣動(dòng)彈性性能，對(duì)曲線纖維復(fù)合材料進(jìn)行了氣動(dòng)彈性剪裁優(yōu)化，研究表明，采用曲線纖維復(fù)合材料層合板氣動(dòng)彈性性能更好，可以通過(guò)改變曲線纖維方向來(lái)提高氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性，減緩?fù)伙L(fēng)載荷。Stodieck等[26]利用三維有限元模型對(duì)直線鋪層和曲線鋪層蒙皮的性能進(jìn)行優(yōu)化，評(píng)估了全尺寸氣動(dòng)彈性剪裁機(jī)翼的減重能力。優(yōu)化結(jié)果表明，曲線纖維的減重效果比直線纖維更好。Haddadpour和Zamani[27]將曲線纖維復(fù)合材料機(jī)翼簡(jiǎn)化為薄壁梁進(jìn)行了氣動(dòng)彈性設(shè)計(jì)，對(duì)纖維方向沿展向線性變化的變剛度結(jié)構(gòu)進(jìn)行了最大氣動(dòng)彈性失穩(wěn)速度的優(yōu)化。結(jié)果表明變剛度機(jī)翼的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性比傳統(tǒng)不變剛度的機(jī)翼要好。Stanford等[28]對(duì)低速流場(chǎng)中曲線纖維懸臂平板進(jìn)行了氣動(dòng)彈性剪裁設(shè)計(jì)，采用遺傳算法確定靜氣彈變形和顫振邊界，研究了曲線和直線纖維方向和鋪層順序?qū)鈩?dòng)彈性剪裁的影響。

本文以曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板為研究對(duì)象，建立變剛度復(fù)合材料壁板顫振的氣動(dòng)彈性力學(xué)模型。研究高速流場(chǎng)中復(fù)合材料層合壁板的固有振動(dòng)特性、顫振穩(wěn)定性和非線性顫振響應(yīng)，分析邊界條件和鋪層方式對(duì)變剛度復(fù)合材料壁板顫振特性的影響。

1 曲線纖維變剛度復(fù)合材料單層板

對(duì)圖2所示的矩形單層板，其長(zhǎng)和寬分別為a和b，纖維方向用T0|T1表示，其中，T0為纖維在板中心處和x方向的夾角，T1為纖維在邊界(x=±a/2)處和x方向的夾角。

假設(shè)纖維方向從板的中心位置開(kāi)始呈線性變化，則任意位置處纖維方位角可表示為

(1)

曲線纖維路徑為

y(x)=

(2)

2 高速流場(chǎng)中復(fù)合材料層合板顫振方程

對(duì)于復(fù)合材料層合板的顫振問(wèn)題，考慮von-Karman非線性應(yīng)變-位移關(guān)系，即

(3)

橫向剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

式中：u0和v0分別為中面上的點(diǎn)沿x和y方向的位移；w為z方向的位移；θx和θy分別為中面繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角；εm為壁板中面面內(nèi)位移產(chǎn)生的應(yīng)變；εmb為考慮大變形時(shí)，撓度在壁板中引起的面內(nèi)附加應(yīng)變；κ為彎曲時(shí)壁板的曲率向量；z為壁板厚度方向的坐標(biāo)。

本構(gòu)關(guān)系可表示為

(5)

對(duì)于層數(shù)為NL的層合板，令ε0=εm+εmb，內(nèi)力表達(dá)式為

(6)

(7)

式中：A為拉伸剛度矩陣；B為耦合剛度矩陣；D為彎曲剛度矩陣；AS為剪切剛度矩陣；N、M和R分別為面內(nèi)力、面內(nèi)力矩和橫向剪切力。

對(duì)于曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板，每一點(diǎn)的纖維方向都是不同的，因此變剛度板的剛度不再是常量，而是隨著不同位置處纖維方位角的變化而變化。采用有限元法分析時(shí)，需要通過(guò)增加網(wǎng)格密度來(lái)模擬由于纖維方位角的變化而帶來(lái)的剛度變化，才能保證分析結(jié)果的精度。

對(duì)高速流場(chǎng)(Ma>1.6)中的壁板顫振，可由一階準(zhǔn)定常活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力，壁板表面氣流沿x方向時(shí)，有

(8)

由虛功原理可得高速流場(chǎng)中壁板的運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

式中：w為位移向量；M為質(zhì)量矩陣；C為氣動(dòng)阻尼矩陣；Ka為氣動(dòng)剛度矩陣；KL為線彈性剛度矩陣；N1和N2為大變形產(chǎn)生的非線性剛度矩陣。

高速流場(chǎng)中考慮幾何非線性的壁板顫振方程采用Newmark法求解。

為便于后續(xù)分析，對(duì)壁板顫振動(dòng)壓和頻率等參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化，無(wú)量綱動(dòng)壓λ和無(wú)量綱頻率ω*分別為[29]

(10)

式中：D=E2t3，E2為橫向彈性模量，t為板的厚度；ρ為板的密度；ω為振動(dòng)頻率。

(11)

式中：W為無(wú)量綱振幅；x和y為坐標(biāo)值。

3 算法驗(yàn)證

3.1 正確性驗(yàn)證

用文獻(xiàn)[30]中的四邊簡(jiǎn)支碳/環(huán)氧復(fù)合材料層合板對(duì)本文算法及程序的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。材料屬性如表1所示，板的尺寸a=b=0.305 m，板厚為1.27 mm，鋪層為[0/45/-45/90]s。采用考慮橫向剪切的3節(jié)點(diǎn)Mindlin(MIN3)板單元進(jìn)行有限元分析，整個(gè)板用10×10的網(wǎng)格表示，共劃分為200個(gè)MIN3板單元。分析結(jié)果與文獻(xiàn)[30]的結(jié)果對(duì)比如圖3所示?？梢钥闯霰疚慕Y(jié)果與文獻(xiàn)[30]的結(jié)果吻合較好。

表1 復(fù)合材料層合壁板材料性能Table1 Material properties of composite laminates

3.2 網(wǎng)格收斂性研究

考慮四邊固支曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合壁板，其材料屬性見(jiàn)表1。幾何尺寸為a×b=0.2 m×0.3 m，單層厚度為0.15 mm，鋪層為 [0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，來(lái)流方向平行于x軸。采用有限元法進(jìn)行分析，單元為考慮橫向剪切的3節(jié)點(diǎn)Mindlin(MIN3)板單元。

表2 曲線纖維復(fù)合材料層合板無(wú)量綱顫振動(dòng)壓網(wǎng)格收斂性Table 2 Mesh convergence of non-dimensional flutter dynamic pressure of composite laminates with curvilinear fibers

注：表中的誤差以網(wǎng)格100×100為基準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算。

綜合考慮非線性壁板顫振的計(jì)算精度和效率，本文后續(xù)計(jì)算采用32×15共960個(gè)MIN3板單元的網(wǎng)格劃分。

4 復(fù)合材料層合板顫振穩(wěn)定性分析

4.1 動(dòng)力學(xué)特性分析

考慮到壁板的動(dòng)力學(xué)特性與顫振特性有密切關(guān)系，首先對(duì)層合復(fù)合材料壁板的固有振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

計(jì)算不同鋪層曲線和直線纖維復(fù)合材料層合板動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)[0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，考慮T0=0°～45°、T1=45°和T0=45°、T1=45°～90°這2種情況，前6階固有頻率計(jì)算結(jié)果分別如表3和表4所示。

從表3和表4可以看出，T0和T1對(duì)曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的固有頻率均有一定影響。當(dāng)T1相同而T0不同時(shí)，1、4和5階固有頻率隨T0增大而減小，而2、3和6階固有頻率隨T0的增大而增大。當(dāng)T0相同而T1不同時(shí)，1、2、4和5階頻率隨T1增大而減小，而3階和6階固有頻率隨T1增大而增大。這是由于變剛度復(fù)合材料層合板內(nèi)纖維方向的變化而導(dǎo)致剛度不再是常量，而是隨著位置的變化而變化引起的。利用這一特點(diǎn)，可以通過(guò)調(diào)整纖維方向改變復(fù)合材料層合壁板的固有振動(dòng)特性。

表3 曲線纖維復(fù)合材料層合板無(wú)量綱固有頻率隨T0的變化(T1=45°)Table 3 Non-dimensional natural frequency of composite laminates with curvilinear fibers with various T0 (T1=45°)

表4 曲線纖維復(fù)合材料層合板無(wú)量綱固有頻率隨T1的變化(T0=45°)Table 4 Non-dimensional natural frequency of composite laminates with curvilinear fibers with various T1 (T0=45°)

4.2 模態(tài)耦合分析

對(duì)不同鋪層曲線和直線纖維復(fù)合材料層合板耦合模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。考慮5種曲線纖維和1種直線纖維層合板，鋪層分別取 [0/90/0|15/0|-15]s、[0/90/0|30/0|-30]s、[0/90/0|45/0|-45]s、 [0/90/15|45/-15|-45]s、[0/90/30|45/-30|-45]s和[0/90/±45]s，耦合模態(tài)分析結(jié)果如圖4所示。以[0/90/0|45/0|-45]s和[0/90/±45]s為例進(jìn)行耦合特性分析，其模態(tài)如圖5所示?？梢钥闯觯?dāng)T0相同而T1不同或者當(dāng)T1相同而T0不同時(shí)，顫振均由1階模態(tài)和4階模態(tài)耦合引起。即對(duì)上述層合板，耦合模態(tài)與T0和T1無(wú)關(guān)。

4.3 邊界條件的影響

對(duì)不同邊界條件下曲線纖維和直線纖維復(fù)合材料層合板顫振特性進(jìn)行計(jì)算?？紤]6種不同鋪層曲線纖維和1種直線纖維層合板，鋪層分別取 [0/90/0|45/0|-45]s、[0/90/15|45/-15|-45]s、[0/90/30|45/-30|-45]s、[0/90/45|60/-45|-60]s、[0/90/45|75/-45|-75]s、[0/90/45|90/-45|-90]s和[0/90/±45]s，馬赫數(shù)為3，四邊簡(jiǎn)支和四邊固支下的計(jì)算結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，邊界約束越強(qiáng)，層合板的穩(wěn)定性越好，顫振臨界動(dòng)壓越大。無(wú)論是直線纖維還是曲線纖維，四邊固支層合板的顫振臨界動(dòng)壓均明顯高于四邊簡(jiǎn)支層合板。

4.4 曲線纖維方向的影響

計(jì)算不同鋪層曲線纖維和直線纖維復(fù)合材料層合板顫振特性。對(duì)[0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，考慮T1不變、T0=-90°～90°和T0不變、T1=-90°～90°這2種情況，馬赫數(shù)取3，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

可以看出，T0和T1對(duì)曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的顫振均有一定影響。T1不變時(shí)，顫振臨界動(dòng)壓隨T0的變化規(guī)律一致。當(dāng)纖維方向逼近x方向時(shí)顫振臨界動(dòng)壓增加，這是由于層合板x方向的剛度增加。T0不變、T1變化時(shí)的變化規(guī)律與T1不變、T0變化的情況相同。當(dāng)T0=T1=0°時(shí)，層合板x方向的剛度最大，顫振臨界動(dòng)壓達(dá)到最大值?？梢?jiàn)，通過(guò)調(diào)整曲線纖維的路徑可以改變曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的顫振臨界動(dòng)壓。

5 變剛度復(fù)合材料層合板的非線性顫振

5.1 變剛度復(fù)合材料層合板的非線性顫振響應(yīng)

高速流場(chǎng)中曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板在給定初始擾動(dòng)下，若在顫振臨界動(dòng)壓以下,層合板的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間減小，則響應(yīng)是收斂的；當(dāng)超過(guò)臨界動(dòng)壓，層合板的振幅隨時(shí)間增大直到最大振幅，則形成極限環(huán)振動(dòng)。圖8和圖9分別表示[0/90/±45]s和[0/90/0|45/0|-45]s復(fù)合材料層合板的顫振時(shí)間歷程和相平面圖(所取點(diǎn)位于 (0.75a, 0.5b)處)。從圖8可以看出，對(duì)傳統(tǒng)的直線纖維層合板[0/90/±45]s，當(dāng)λ=510時(shí)，壁板受到初始擾動(dòng)后，振動(dòng)是收斂的，表明動(dòng)壓未達(dá)到顫振臨界動(dòng)壓；當(dāng)λ=520時(shí)，壁板受到初始擾動(dòng)后，處于極限環(huán)振動(dòng)，此時(shí)動(dòng)壓超過(guò)顫振臨界動(dòng)壓，層合板做周期振動(dòng)，出現(xiàn)顫振。從圖9可以看出，對(duì)曲線纖維層合板[0/90/0|45/0|-45]s；當(dāng)λ=550時(shí)，壁板受到初始擾動(dòng)后，隨著時(shí)間的增加振動(dòng)是收斂的，表明動(dòng)壓未達(dá)到顫振臨界動(dòng)壓；當(dāng)λ=560時(shí)，壁板受到初始擾動(dòng)后，處于極限環(huán)振動(dòng)，此時(shí)動(dòng)壓超過(guò)顫振臨界動(dòng)壓，層合板做周期振動(dòng)，出現(xiàn)顫振。圖10表示t=0.255 s時(shí)，[0/90/±45]s和[0/90/0|45/0|-45]s這2種層合板的極限環(huán)顫振變形，最大值出現(xiàn)在(0.75a, 0.5b)處。

5.2 曲線纖維方向?qū)Ψ蔷€性顫振響應(yīng)的影響

對(duì)不同鋪層的曲線纖維和直線纖維復(fù)合材料層合板非線性顫振進(jìn)行分析。鋪層為[0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，考慮T0=0°～45°、T1=45°和T0=45°、T1=45°～90°這2種情況，馬赫數(shù)取3。T0和T1對(duì)振幅的影響如圖11所示。

可以看出，T0和T1對(duì)曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的顫振均有一定影響。當(dāng)T1相同而T0不同時(shí)，壁板的極限環(huán)振幅隨T0的增大而增大；當(dāng)纖維T0相同而T1不同時(shí)，壁板的極限環(huán)振幅隨T1增大而增大。

圖12表示不同鋪層的變剛度復(fù)合材料層合板在不同邊界條件時(shí)，顫振幅值隨動(dòng)壓的變化?？梢钥闯霾煌亴雍筒煌吔鐥l件下的顫振幅值隨動(dòng)壓的變化趨勢(shì)基本一致，極限環(huán)振幅隨動(dòng)壓的增加而增大。不同邊界條件下，由于復(fù)合材料不同方向的剛度影響，壁板的振幅隨T0或T1的增加而增大。固支情況下，T0和T1對(duì)振幅的影響更大。

6 結(jié) 論

1)T0和T1對(duì)曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的固有振動(dòng)特性有一定影響，可以通過(guò)調(diào)整T0和T1改變壁板的固有振動(dòng)特性。

2)T0或T1對(duì)曲線纖維復(fù)合材料層合壁板顫振耦合模態(tài)的影響不大。

3) 邊界條件對(duì)復(fù)合材料層合壁板的顫振臨界動(dòng)壓有較大影響，邊界約束越強(qiáng)，壁板的穩(wěn)定性越好，顫振臨界動(dòng)壓越大。

4)T0和T1對(duì)壁板的顫振臨界動(dòng)壓有較大影響，隨著T0或T1的增大，顫振臨界動(dòng)壓減小。

5) 直線纖維鋪層和曲線纖維鋪層的顫振極限環(huán)變形最大值都出現(xiàn)在(0.75a, 0.5b)處。

6) 相同的動(dòng)壓下，隨著T0或T1的增大，曲線纖維復(fù)合材料層合板的極限環(huán)振幅增大。

7) 曲線纖維復(fù)合材料層合壁板顫振幅值隨動(dòng)壓的變化趨勢(shì)基本一致，極限環(huán)振幅隨動(dòng)壓的增加而增大，且固支條件下T0和T1對(duì)振幅的影響更大。

綜上所述，高速流場(chǎng)中，邊界條件對(duì)曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的非線性顫振特性有明顯影響，采用曲線鋪層可根據(jù)需要調(diào)整壁板的非線性顫振特性，進(jìn)一步提高復(fù)合材料的可設(shè)計(jì)性。

參 考 文 獻(xiàn)

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