沈春芳,楊 劉,解大鵬

(合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽合肥 230601)

1　引言

本文研究如下三階常微分方程m點邊值問題

(H)f∈C([0,1]×[0,+∞),(?∞,+∞)),f(t,0)≥0,t∈[0,1]且不恒為0.

三階常微分方程邊值問題廣泛出現(xiàn)在流體力學(xué)、天文學(xué)、彈性振動等問題中[1],對相關(guān)問題正解的研究近年來受到人們廣泛的關(guān)注.利用非線性泛函分析方法,對三階微分方程邊值問題正解與多個正解的存在性的研究取得了豐富的結(jié)果,可參考文獻(xiàn)[2–12].Anderson[2]研究如下三階三點邊值問題

其中f:R→ [0,+∞)連續(xù),1/2≤t2＜1,文中建立了問題至少三個正解的存在性結(jié)果.Palamides[3]利用范數(shù)形式的錐拉伸錐壓縮不動點定理,證明了三階三點邊值問題

多個正解的存在性.Guo[5]利用錐上不動點定理證明了三階三點邊值問題

正解的存在性,其中f非負(fù)且滿足超線性或次線性條件.但在這些文獻(xiàn)中,均要求問題中非線性項非負(fù),非線性項變號時,所得結(jié)論不再適用.目前,對具變號非線性項的三階常微分方程多點邊值問題正解的討論比較少見.本文首先建立與問題(1.1)等價的算子方程,利用錐上不動點定理,給出了問題(1.1)正解與多個正解的存在性結(jié)論.文中允許非線性項變號,因此所得結(jié)果不同于已有文獻(xiàn).最后,文中給出了具體的例子解釋了結(jié)論的應(yīng)用性.

2　預(yù)備知識

定義2.1設(shè)E為實Banach空間.非空閉凸集P?E稱為E上的錐,如果滿足

(1)au∈P,對u∈P,a≥0;

(2)u,?u∈P,u=0.

定義2.2函數(shù)x稱為[0,1]上的凸泛函,如果

引理2.1(見文獻(xiàn)[14])設(shè)K是Banach空間X上的錐,D為X上有界開子集,滿足設(shè)全連續(xù)且x/=Ax對x∈?DK,有如果iK(A,DK)=1,iK(A,UK)=0或iK(A,DK)=0,iK(A,UK)=1,則A在

(1) 如果‖Ax‖≤ ‖x‖,x∈ ?DK,則iK(A,DK)=1.

(2)若存在e∈K{0}使得x/=Ax+λe,x∈?DK,λ＞0,則iK(A,DK)=0.

(3)設(shè)U是X中有界開集中至少有一不動點.

3　主要結(jié)果與證明

首先考慮三階微分方程邊值問題

引理3.1記ξ0=0,ξm?1=1,β0= βm?1=0,y(t)∈ C[0,1],問題(3.1),(3.2)等價于

其中

證(3.1)式兩側(cè)積分并考慮條件x′′(1)=0,有

設(shè)G(t,s)是邊值問題

的Green函數(shù),由(3.4)式,可設(shè)由Green函數(shù)定義及性質(zhì),結(jié)合邊值條件(3.5),有

這樣

考慮(3.3)式,問題(3.1),(3.2)等價于

引理3.2函數(shù)G(t,s)滿足G(t,s)≥0,t,s∈[0,1].

證對 ξi?1≤ s ≤ ξi,i=1,2, ···,m ?1,t≤ s,

對 ξi?1≤ s ≤ ξi,i=1,2, ···,m?1,t≥ s,

綜上,G(t,s)≥0,t,s∈[0,1].

引理3.3設(shè)y(t)≥0,t∈[0,1],x(t)是邊值問題(3.1),(3.2)的解,則有

其中

證由 x′′′(t)=y(t) ≥ 0,t ∈ [0,1]知 x′′(t) 在 [0,1]上單調(diào)遞增.考慮到 x′′(1)=0,有x′′(t)≤ 0,t∈ (0,1). 結(jié)合 x′(0)=0,必有

由x(t)的凸性,

上式兩端乘以βi,i=1,2,···,m?1,結(jié)合邊值條件,有

定義

引理3.4?ρ具有如下性質(zhì):

(1)?ρ?Kρ是Kρ中開集.

(2)設(shè)x∈ ??ρ,則δρ≤ x(t)≤ρ,t∈[0,1].

記

定理3.1假定條件(H)成立.此外,若條件(H1)成立:

(H1) 存在正常數(shù)ρ1,ρ2,ρ3∈ (0,∞)滿足ρ1＜ δρ2＜ ρ2＜ ρ3使得

則問題(1.1)在K 中至少有三個解.假定條件(H)成立.此外,若條件(H2)成立:

(H2)存在正常數(shù)ρ1,ρ2,ρ3∈(0,∞)滿足ρ1＜ρ2＜ρ3使得

則問題(1.1)在K中至少有兩個解.

證 首先設(shè)條件(H1)成立.定義輔助函數(shù)f?(t,x)∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)):

考慮如下輔助邊值問題

定義算子

顯然T:K→K是全連續(xù)的.由條件(H1),有

這表明ρ2≥ρ2+λ0,矛盾.由引理2.1,iK(T,?ρ2)=0.同理可證這樣,輔助邊值問題存在三個正解x1,x2,x3使得

易驗證輔助邊值問題(?)在[ρ1φ(t),∞)中存在三個正解x1,x2,x3,這說明邊值問題(1.1)存在至少三個正解.條件(H2)成立時,正解的存在性同理可證.完全類似定理3.1,可證得如下結(jié)論.

定理3.2設(shè)條件(H)成立.此外,下列條件之一成立:

(H3)存在正常數(shù)ρ1,ρ2∈(0,∞)滿足ρ1＜δρ2使得

(H4)存在正常數(shù)ρ1,ρ2∈(0,∞)滿足ρ1＜ρ2使得

則邊值問題(1.1)在K中至少有一正解.

4　例子

考慮如下三階四點邊值問題

其中

計算可得函數(shù)G(t,s)由下式給出

取 ρ1=1,ρ2=11, ρ3=122,有易驗證f(t,x)滿足條件(H)和

這樣定理3.1的所有條件均滿足,因此,問題(4.1)至少存在三個單調(diào)遞增的凸正解.

注 問題(4.1)中非線性項是變號的,已有文獻(xiàn)中對三階邊值問題正解存在性的討論,就作者所知,均無法適用此問題.

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