黃 健,李占賢
(華北理工大學(xué) 河北省工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院,河北 唐山 063210)
在實(shí)際工程領(lǐng)域,很多應(yīng)用場(chǎng)合下不總是需要多自由度機(jī)器人的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),因此自由度少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)實(shí)用的串聯(lián)機(jī)構(gòu)早已引起國(guó)內(nèi)外研究者的濃厚興趣。隨著科技的進(jìn)步,人們涉足的領(lǐng)域越來(lái)越廣,這就必然要求我們對(duì)知識(shí)和理論不斷進(jìn)行創(chuàng)新[1]。目前,機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析有兩個(gè)問(wèn)題需要解決:運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題,即根據(jù)關(guān)節(jié)位移、速度、加速度和臂長(zhǎng)求末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題,即已知末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡和臂長(zhǎng)求解對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度[2]。平面2R串聯(lián)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析至關(guān)重要,它可以為多自由度的復(fù)雜結(jié)構(gòu)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析、軌跡規(guī)劃和控制方法的研究提供理論基礎(chǔ)。
平面2R機(jī)械臂主要由基座、大臂和小臂組成。基座固定不動(dòng),它的作用是固定機(jī)械臂,保持整個(gè)機(jī)械臂穩(wěn)定。大臂是通過(guò)大臂關(guān)節(jié)和底座連接的,它們之間構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副。小臂是通過(guò)小臂關(guān)節(jié)和大臂連接的,它們之間構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副,小臂末端通常會(huì)和手爪連接,整個(gè)機(jī)械臂在平面內(nèi)有兩個(gè)自由度[3]。平面2R機(jī)械臂結(jié)構(gòu)如圖1所示。
將平面2R機(jī)械臂機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)模型并建立坐標(biāo)系,如圖2所示。
圖2中,θ1和θ2均為矢量,規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?,順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。θ1>0為逆時(shí)針方向,θ2<0為順時(shí)針方向。
(1)
式(1)可以看成是坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。
將復(fù)合變換寫成矩陣形式:
(2)
依據(jù)Denavit-Htenberg法,用4×4的齊次變換矩陣描述相鄰兩連桿的空間關(guān)系,得到平面2R機(jī)械臂的連桿參數(shù),如表1所示。
表1 平面2R機(jī)械臂的連桿參數(shù)
表1中,Li-1表示連桿i-1的長(zhǎng)度;αi-1表示連桿i-1的扭角;di表示Li-1與軸線i的交點(diǎn)到Li與軸線i的交點(diǎn)的距離,沿軸線i測(cè)量;θi表示Li-1與Li之間的夾角,繞軸線i由Li-1到Li測(cè)量。
根據(jù)表1中的參數(shù),可得到連桿變換矩陣:
根據(jù)變換矩陣的乘法公式可知:
根據(jù)圖1可知:
解得:
(3)
式(3)稱為平面2R機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。
末端點(diǎn)坐標(biāo)與桿長(zhǎng)的三角形幾何關(guān)系如圖3所示。圖3中-π-θ2<0為順時(shí)針方向。
圖3 三角形幾何關(guān)系
由余弦定理可知:
解得:
(4)
將L2=x2+y2代入式(4)中,得:
或
工程實(shí)際當(dāng)中,多數(shù)情況下取θ2∈(-π,0),則:
(5)
將式(5)代入式(3)中,得:
綜上所述,求得θ1和θ2為:
操作臂的雅克比矩陣定義為它的操作速度與關(guān)節(jié)速度的線性變換,可以看成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比。操作臂的運(yùn)動(dòng)方程為:
x=x(q).
(6)
式(6)代表操作空間x與關(guān)節(jié)空間q之間的位移關(guān)系。將式(6)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo),即可得出q與x的微分關(guān)系:
x′=J(q)q′.
(7)
其中:x′稱為末端操作空間的廣義速度;q′為關(guān)節(jié)速度;J(q)是偏導(dǎo)數(shù)矩陣,稱為操作臂的雅克比矩陣[4]。
將平面2R機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),則得:
(8)
根據(jù)式(8)可以看出雅克比矩陣為:
則雅克比矩陣的逆矩陣為:
求得關(guān)節(jié)速度逆解為:
解得:
平面2R機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解表明末端點(diǎn)的位姿取決于大小臂長(zhǎng)和大小臂關(guān)節(jié)角度,當(dāng)臂長(zhǎng)確定時(shí),適當(dāng)改變關(guān)節(jié)角度可以使末端點(diǎn)到達(dá)設(shè)定位置;運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解表明關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)角速度和大小臂長(zhǎng)以及末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān),當(dāng)臂長(zhǎng)一定,末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡確定時(shí),在某時(shí)刻的角度和角速度是確定值,此時(shí)機(jī)械臂有確定的位置。通過(guò)對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解的分析可以很容易控制機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù),使其達(dá)到預(yù)定位置來(lái)滿足工作和使用要求。
參考文獻(xiàn):
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