李浪，張愛萍

（西安建筑科技大學(xué)，西安 710055）

0　引言

近年來，環(huán)境問題日趨嚴(yán)重，在重度霧霾天氣條件下，監(jiān)控系統(tǒng)所采集到的圖像飽和度差、對比度低，無法滿足人們的需求。因此，研究霧霾等極端天氣對數(shù)字圖像的影響以及對圖像進(jìn)行清晰化處理，已成為圖像去噪的一種趨勢。目前國內(nèi)外對圖像去霧霾算法的研究主要分為基于模型的圖像復(fù)原方法和非模型的圖像增強(qiáng)方法[1]，其中基于模型的圖像復(fù)原方法通常是針對霧霾天成像的光學(xué)模型，在場景的深度信息已知的條件下，通過反推成像過程，還原出無霧情況下的場景信息，達(dá)到圖像去霧的目的，因而需要通過多幅圖像或者輔助信息進(jìn)行去霧處理[2]，因此對于單幅圖像，在缺少輔助信息的情況下，這類方法并不適用。而非模型的圖像增強(qiáng)方法[3-5]主要是通過增強(qiáng)降質(zhì)圖像的對比度來突出圖像中的細(xì)節(jié)信息的，從而達(dá)到清晰化圖像的目的，文獻(xiàn)[3]提出基于高斯加權(quán)函數(shù)的直方圖規(guī)定化的圖像去霧算法，該算法能夠增強(qiáng)圖像的局部細(xì)節(jié)，但霧霾信息的去除不夠明顯。文獻(xiàn)[4]提出的同態(tài)濾波的圖像增強(qiáng)方法可以很好地去除圖像的霧霾信息，但是它也會在一定程度上造成原有圖像細(xì)節(jié)信息的丟失。文獻(xiàn)[5]提出一種基于小波變換的霧霾天閾值確定模型，能夠較好地增強(qiáng)圖像細(xì)節(jié)信息，但閾值的二值化性決定了圖像必定會失真。同態(tài)濾波和小波變換都是典型的非模型的圖像增強(qiáng)方法，能夠增強(qiáng)圖像的對比度，通過減少低頻成分，增加高頻成分，實(shí)現(xiàn)濾波去噪的目的。但同態(tài)濾波在銳化圖像邊緣的同時(shí)不可避免的造成低頻信息的丟失。小波變換是一種多分辨率的分析方法，它將原始圖像分解成不同的分辨率，使其具有代表信號在頻域和時(shí)域的局部特征的能力，因此通過小波重建可以有效的改善處理后的圖像質(zhì)量。本文結(jié)合小波分析和同態(tài)濾波的優(yōu)點(diǎn)，將含有霧霾信息的圖像經(jīng)小波分解成高頻帶和低頻帶，對高頻子帶采用非線性增強(qiáng)的方法，提高圖像的細(xì)節(jié)信息，低頻子帶采用同態(tài)濾波的方法來去除霧霾信息，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明小波重構(gòu)后的圖像清晰度有明顯提升。

1　經(jīng)典的同態(tài)濾波算法和小波分析算法

1.1　經(jīng)典的同態(tài)濾波算法

同態(tài)濾波是一種把數(shù)字圖像的灰度變換和頻率過濾相結(jié)合的圖像處理方法[6]。依據(jù)“照度—反射”圖像生成的模型，一幅完整的圖像 f(x,y)可以表示為入射分量i(x,y)和反射分量r(x,y)乘積的形式，關(guān)系如下：

其中 i(x,y)∈(0,∞)，r(x,y)∈(0,1)。

由于入射分量取決于外界光源照射在物體上的能量強(qiáng)度，表示了景物的照明，一般變化緩慢，在頻域中表現(xiàn)為低頻成分；而反射分量取決于物體表面的反射率，表示了景物的細(xì)節(jié)，因此在頻域中表現(xiàn)為高頻成分。

由于兩個(gè)函數(shù)乘積的傅立葉變換是不可分的，因此將其轉(zhuǎn)為對數(shù)域中進(jìn)行運(yùn)算，對式（1）取對數(shù)運(yùn)算有：

從而將（1）式的乘性分量變?yōu)榧有苑至俊Γ?）式兩端進(jìn)行快速傅立葉變換（FFT），則有：

其中，F(xiàn)(u,v)、I(u,v)和 R(u,v)分別為 lnf(x,y)、lni(x,y)和lnr(x,y)的傅立葉變換。該式表明，通過上述方法可以將入射分量的頻譜與反射分量的頻譜分離開，因而通過求解這兩個(gè)分量就可以得到增強(qiáng)的圖像。

設(shè)計(jì)一個(gè)同態(tài)濾波函數(shù)H(u,v)，使得在對數(shù)域中衰減頻譜的低頻部分，增強(qiáng)高頻部分，從而衰減圖像的入射分量并增強(qiáng)反射分量，用此濾波函數(shù)對（3）式進(jìn)行處理，得到：

濾波后，對上式進(jìn)行傅立葉反變換（IFFT），就可從頻域轉(zhuǎn)換到空間域有：

對式（5）進(jìn)行指數(shù)變換，得到經(jīng)過同態(tài)濾波后的圖像：

對于霧霾圖像，霧霾信息通常變化緩慢，在頻率域中通常集中在低頻部分，而有效的圖像信息對應(yīng)于高頻部分，因此，削弱低頻信息或者增強(qiáng)高頻信息可以有效的增強(qiáng)圖像的對比度。選用合適的同態(tài)濾波函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對這些分量的理想控制。

通常同態(tài)濾波的濾波效果與濾波傳遞函數(shù)H(u,v)的選擇有關(guān)，同態(tài)濾波函數(shù)如圖1所示：

圖1中，H(u,v)為同態(tài)濾波函數(shù)，γH代表的是高頻增益，γL代表的是低頻增益，D(u,v)表示為頻率(u,v)到濾波中心(u0,v0)的距離，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

對于霧霾天氣下受光照不均勻干擾的圖像，采用n階巴特沃斯高通濾波器作為同態(tài)濾波函數(shù)，表達(dá)式為[4]：

其中，D0表示截止頻率。一幅M×N的圖像D0的計(jì)算公式為：

選擇好合適的參數(shù)可以減小低頻和增加高頻，從而使得圖像的對比度增強(qiáng)。本文在后面的部分采用同態(tài)濾波對霧霾天氣下的圖像進(jìn)行增強(qiáng)，并對其結(jié)果進(jìn)行了分析。

圖1　同態(tài)濾波函數(shù)曲線

1.2　經(jīng)典的小波分析算法

同態(tài)濾波中，傅立葉變換采用的是一種全局的變換思想，它可以將信號從時(shí)域完全轉(zhuǎn)換到頻域，因此它無法表達(dá)出信號同時(shí)在時(shí)域和頻域的區(qū)域特性。小波變換是一種時(shí)間—尺度分析方法，具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)域和頻域都有著很好的局部化特性[7]，因而被廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域。

小波變換中各個(gè)層次分別對應(yīng)于不同的頻率和分辨率，相應(yīng)的小波逆變換可以完成圖像的精確重構(gòu)[8]。一維小波變換可以通過張量積推廣到二維圖像的情況，也就是分別對圖像的水平和垂直方向進(jìn)行小波變換。根據(jù)Mallat快速分解算法，一幅大小為M×N的圖像 f(x,y)可以表示為[9]：

式中，j0為任意開始的尺度，通常情況下取 j0=0，W?系數(shù)為 f(x,y)在尺度 j0處的近似，對于 j＞j0，系數(shù)附加了水平、垂直和對角方向上的細(xì)節(jié)，?（x,y)和ψ（x,y)分別為二維小波函數(shù)和尺度函數(shù)。

對含有霧霾信息的原始圖像經(jīng)過一級小波分解，可以得到高頻細(xì)節(jié)圖像cH1，cV1，cD1和一個(gè)低頻近似圖像cA1，僅對低頻子帶cA1進(jìn)行二級的小波分解得到cH2，cV2，cD2和cA2，依次進(jìn)行可以得到多級的小波分解 cHi，cVi，cDi（i=1,2,...,τ）和 cAτ。可以選擇一個(gè)適合的分解級數(shù)τ，使圖像因霧霾而引起的噪聲主要體現(xiàn)在cAτ低頻區(qū)域的小波系數(shù)中。圖2為三層小波分解的示意圖：

圖2　三層小波分解的示意圖

圖像經(jīng)過二維離散小波分解后，高頻部分體現(xiàn)了圖像的細(xì)節(jié)特征,由于低頻部分集中了絕大部分能量，因此反映了圖像的整體面貌。通常情況下，按照一定的規(guī)則來修改各個(gè)分解級的小波系數(shù)，然后做相對應(yīng)的小波逆變換就可得到處理后的圖像。本文采用文獻(xiàn)[10]中小波系數(shù)的非線性增強(qiáng)方法來實(shí)現(xiàn)霧霾天的圖像增強(qiáng)效果，小波系數(shù)的變換函數(shù)為：

其中a和b都是正實(shí)數(shù)，a決定了其整體增益的幅度，b則決定了各個(gè)分解級之間的幅度差。

2　霧霾天氣下圖像增強(qiáng)算法設(shè)計(jì)

在霧霾天氣條件下，監(jiān)控系統(tǒng)所采集到的圖像飽和度差、對比度低，為了能夠在有效去霧的同時(shí)保留圖像的整體面貌，提高圖像的整體對比度，本文提出如圖3的圖像增強(qiáng)過程。該方法結(jié)合小波分析和同態(tài)濾波方法各自的優(yōu)點(diǎn)，高頻帶用非線性增強(qiáng)增加圖像的細(xì)節(jié)信息，低頻區(qū)用同態(tài)濾波和對比度拉伸的方法去除霧霾信息，小波重構(gòu)后的圖像為去霾后清晰的圖像。

圖3　霧霾圖像的增強(qiáng)過程

從頻譜分析的角度來講，小波變換的結(jié)果是原始信號在一系列倍頻程劃分的頻帶上的多個(gè)高頻帶和一個(gè)低頻帶[8]。I.M.Johnstone等人證明了平穩(wěn)相關(guān)噪聲的小波變換在每一個(gè)分辨率層的各個(gè)子帶上仍是平穩(wěn)的[11]，因此可以對各個(gè)分辨率下的小波分解系數(shù)進(jìn)行近似的高通濾波處理，衰減其低頻信息，增強(qiáng)高頻信息，以達(dá)到消除霧霾噪聲的目的，而且小波變換的空頻特性在一定程度上保證了圖像整體面貌[12]。

2.1　高頻子帶處理

在高頻帶，定義一個(gè)如下的變換函數(shù)，用來作為高頻子帶的增益倍數(shù)：

式中，i為小波分解的級數(shù)，a和b都是正實(shí)數(shù)，a決定了其整體增益的幅度，b則決定了各個(gè)分解級之間的幅度差。對每一個(gè)高頻帶上的小波系數(shù)進(jìn)行非線性調(diào)整，調(diào)整方式為各個(gè)高頻子帶的圖像乘以其相對應(yīng)的增益倍數(shù)，即cH′i=cHi*H(i)等，得到與之相對應(yīng)的高頻細(xì)節(jié)圖像。調(diào)整后的高頻細(xì)節(jié)圖像與原細(xì)節(jié)圖像相比，高頻信息得到增強(qiáng)，低頻信息得以減弱，削弱了霧霾對圖像的影響，對圖像的細(xì)節(jié)信息也有所增強(qiáng)。考慮到設(shè)備的抖動等其他一系列原因的影響，高頻部分也可能摻雜有部分噪聲，所以高頻子帶的增益倍數(shù)也不宜過分增大。式（12）定義的高頻帶變換函數(shù)符合各級小波分解系數(shù)的頻域倍頻程特性，而且通過調(diào)整a和b的取值可以控制各級分解系數(shù)的增益大小，在保持圖像原始面貌的同時(shí)增強(qiáng)局部對比度，消除霧霾信息的影響。

2.2　低頻子帶處理

對于低頻子帶cAτ，由于霧霾引起的低頻信息主要體現(xiàn)在此區(qū)域的小波系數(shù)中，因此，采用n階巴特沃斯高通濾波相對應(yīng)的自適應(yīng)濾波傳遞函數(shù)作為同態(tài)濾波函數(shù)，其表達(dá)式為：

其中，常數(shù)c在γH與γL之間過渡，用來控制濾波器函數(shù)斜面的銳化，c∈[0,1]；m、n為動態(tài)算子。當(dāng)γH＞1，0＜γL＜1時(shí)，圖像的低頻分量減弱，高頻分量增加，對比度提高。用式（13）對低頻近似圖像cAτ進(jìn)行高通濾波，進(jìn)一步消除低頻子帶中的低頻信息，考慮到同態(tài)濾波會壓縮圖像的動態(tài)范圍，使得濾波后圖像的灰度值過于集中，因此可以采用線性拉伸的方法來提高濾波后的低頻子帶的全局對比度，分別截?cái)?.5%的最大灰度值和最小灰度值，確定對比度拉伸下限r(nóng)min=530和上限r(nóng)max=1220，將低頻子帶的數(shù)值從[530,1220]分段線性拉伸到[500,1300]，其分段線性變換函數(shù)為：

3　結(jié)果與分析

采用巴特沃斯高通濾波器、小波分析及改進(jìn)的算法，基于 MATLAB軟件，采用（8）式、（11）式及改進(jìn)后（12）、（13）和（14）式對原圖像進(jìn)行增強(qiáng)處理，效果如圖4所示。其中(a)圖像為尚未處理的原始霧霾圖像；(b)圖像為同態(tài)濾波處理后的圖像，濾波函數(shù)采用的是如式（8）的二階巴特沃斯高通濾波函數(shù)，濾波器參數(shù)為：γH=2.0；γL=0.8；c=0.8；n=2；D0=180；(c)圖像是經(jīng)過小波分析處理過后的圖像，小波變換采用的是‘db4’小波進(jìn)行分解和重構(gòu)，小波增益系數(shù)采用式（11）的變換函數(shù),分解級數(shù) j=3，高頻增益參數(shù)為a=0.8，b=2；(d)圖像為結(jié)合小波分析和同態(tài)濾波處理后的圖像，圖像經(jīng)小波分解后，在高頻的各個(gè)子帶，采用式（12）的增益倍數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)，增益參數(shù)為在低頻子帶，首先經(jīng)過如式（12）的n階巴特沃斯高通濾波相對應(yīng)的自適應(yīng)濾波傳遞函數(shù)作為同態(tài)濾波函數(shù)進(jìn)行濾波，濾波器濾波參數(shù)為：γH=1.8；γL=0.7；c=0.8；m=16；n=2；D0=180；由于同態(tài)濾波會壓縮圖像灰度值，因此可以采用如式（14）線性拉伸函數(shù)進(jìn)行拉伸的方法來提高濾波后的低頻子帶的全局對比度。為了更準(zhǔn)確地評價(jià)各種方法的圖像去霧效果，采用文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]中的方法，以對比度、信息熵和峰值信噪比對各種方法處理前后的圖像的優(yōu)劣進(jìn)行客觀評價(jià)，相關(guān)數(shù)值如表1所示：

表1　各種算法的評價(jià)指標(biāo)

圖像的對比度越大，圖像越清晰明亮，圖像信息熵值越大，圖像所含信息量就越多，而峰值信噪比決定了圖像的抗干擾能力[14]。從上表中可以看出，由于霧霾的影響，原始圖像的對比度和信息熵都偏低，經(jīng)過同態(tài)濾波處理過后的圖像，全局對比度有所增強(qiáng)，但信息熵卻明顯降低，小波變換后的圖像對比度、信息熵都優(yōu)于原始圖像，但整體效果并不明顯，結(jié)合了小波分析和同態(tài)濾波后的圖像在對比度和峰值信噪比上具有顯著優(yōu)勢，從實(shí)際圖片上也可以看出由于霧霾的原因原始圖像很暗，低頻噪音嚴(yán)重影響了圖片的質(zhì)量，通過同態(tài)濾波后的圖像由于過濾了部分能量，使得整體圖像更加偏暗，小波變換后的圖像明顯優(yōu)于原始圖像，但圖像整體細(xì)節(jié)仍然不夠明顯，細(xì)節(jié)部分仍然不夠明顯，結(jié)合小波分析和同態(tài)濾波后的圖像很好地解決了這一問題。

4　結(jié)語

同態(tài)濾波作為經(jīng)典的濾波方式，能夠有效地去除霧霾圖像的低頻噪聲，但是它對低頻信號的抑制不可避免的過濾掉了圖像的大部分能量，造成一定程度上的失真，在低頻域尤為明顯。小波分析可以將圖像分為不同的頻域子帶，對有用的信息進(jìn)行增強(qiáng)，也具有一定地去除霧霾信息的能力。與單一同態(tài)濾波和小波分析相比，改進(jìn)后的算法結(jié)合了小波分析和同態(tài)濾波的優(yōu)點(diǎn)，能夠在有效去霧的同時(shí)保留圖像的整體面貌，提高圖像的整體對比度。

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