王佳信，周宗紅，付 斌，李克鋼，王海泉

(1.昆明理工大學國土資源工程學院，云南 昆明 650093；2.中南大學資源與安全工程學院，湖南 長沙 410083)

隨著大規(guī)模巖土工程的開展，在礦山、水利、交通以及環(huán)境等工程中人工開挖或者天然邊坡穩(wěn)定性問題越來越突出。邊坡一旦發(fā)生崩塌、滑坡等失穩(wěn)破壞，將會造成巨大的經(jīng)濟損失，因此，邊坡的穩(wěn)定性評價直接關系到工程建設資金投入、人民生命財產(chǎn)安全以及相應防治措施采取，邊坡穩(wěn)定性的分析、評價及其發(fā)展趨勢的預報具有重要的工程實際意義[1～2]。

近年來，許多新方法諸如微震監(jiān)測[3]、云模型[4]、人工免疫算法[5]、SVM模型[6]以及BDA模型[7]等不斷呈現(xiàn)，使得邊坡穩(wěn)定性評價更科學，且都取得了一定的成果，但仍存在一定的缺陷。例如文[5]中變異概率pm和交叉概率pc對算法影響較大，pm和pc參數(shù)值確定后，算法易過早收斂和陷入局部最優(yōu)。以上部分綜合評價模型中，專家們往往盡可能地收集更多邊坡穩(wěn)定性評價指標，但過多評價指標很難在處理問題中發(fā)揮優(yōu)勢，甚至成為解決問題的絆腳石，基于此，應尋求多種方法結合辨識邊坡穩(wěn)定性問題。

本文提出一種因子分析和概率神經(jīng)網(wǎng)絡結合邊坡穩(wěn)定性評價模型，PNN是在RBFNN的基礎上融合Bayes 決策理論以及密度函數(shù)估計，但是PNN徑向基函數(shù)還保留RBFNN中常采用的高斯函數(shù)。鑒于此，文[8]采用Alpha穩(wěn)定分布改進PNN樣本層中徑向基函數(shù)；文[9]采用遺傳算法優(yōu)化樣本層節(jié)點數(shù)目以及平滑參數(shù)δ，以上的改進都取得了一定的成果。本文借簽一種多元統(tǒng)計方法——因子分析，對邊坡穩(wěn)定性評價指標數(shù)據(jù)進行壓縮和特征信息提取，因子分析后的指標數(shù)據(jù)滿足PNN模型中徑向基函數(shù)采用高斯函數(shù)的要求。此外，因子分析在邊坡工程領域內(nèi)的應用主要體現(xiàn)在指標權重的確定上[10]，對邊坡穩(wěn)定性評價至今還鮮見文獻報道。本文采用因子分析對指標數(shù)據(jù)降維同時采用綜合函數(shù)對邊坡穩(wěn)定性進行評價。在因子分析的基礎上，建立邊坡穩(wěn)定性評價PNN模型，并以39個典型邊坡實例驗證模型的有效性。

1 因子分析-概率神經(jīng)網(wǎng)絡模型

1.1 因子分析模型[10]

設p維總體X=(X1,X2,…,Xp)T的均值為μ=(μ1,μ2,…,μP)T，協(xié)方差矩陣Σ=(σij)p×p，相關系數(shù)矩陣R=(ρij)p×p，因子分析模型為：

(1)

式中：F1,F2,…,Fm——m個公因子；

εi——變量Xi獨有的特殊因子(i=1, 2,…,p)；

aij——變量Xi在公因子Fi上的載荷(i=1, 2,…,p；j=1, 2,…,m)。

為了消除逆向指標對綜合評價的影響以及指標量綱對PNN模型的影響，在進行因子分析前需對指標進行正向化和標準化，其表達式分別如下：

(2)

(3)

式中：Yij——指標正向化后的值；

xij——第i項指標第j個樣本原始數(shù)據(jù)；

Si——第i項指標第j個樣本標準差；

以上變量中，i=1, 2,…,p；j=1, 2,…,m。

1.2 概率神經(jīng)網(wǎng)絡模型

概率神經(jīng)網(wǎng)絡[8～9](PNN)是一種基于徑向基函數(shù)和經(jīng)典的概率密度估計原理建立的神經(jīng)網(wǎng)絡，其網(wǎng)絡結構見圖1。PNN的算法步驟如下：

圖1 概率神經(jīng)網(wǎng)絡結構Fig.1 Structure of the probabilistic neural network

首先，將待測樣本向量X輸入輸入層，其中神經(jīng)元數(shù)目與樣本維數(shù)相等。樣本層(部分學者稱為模式層)計算待測樣本向量X與訓練樣本間的距離，該層每個節(jié)點單元的輸出計算為：

f(X,Wi)=exp[-(X-Wi)T(X-Wi)/2δ2]

(4)

式中：Wi——輸入層到樣本層的權重；

δ——平滑參數(shù)。

然后，求和層進行某類的概率密度函數(shù)(probability density function, PDF)求和，由Parzen方法可得各類PDF估計：

(X-Xai)/2δ2)

(5)

式中：Xai——i個訓練樣本向量；

m——訓練樣本個數(shù)。

最后，競爭層輸出各類概率密度函數(shù)，概率最大值的那一類為1，其他類別為0。

2 因子分析-概率神經(jīng)網(wǎng)絡模型

2.1 因子分析的PNN模型預測步驟

因子分析-概率神經(jīng)網(wǎng)絡模型邊坡穩(wěn)定性評價技術路線見圖 2，主要步驟如下：①首先采用因子分析對指標數(shù)據(jù)進行降維處理；②將因子分析后的因子得分數(shù)據(jù)作為PNN輸入層，建立邊坡穩(wěn)定性評價的PNN模型；③設置SPREAD值，對網(wǎng)絡進行訓練和測試；④得出邊坡穩(wěn)定性評價結果。

2.2 建立邊坡穩(wěn)定性評價指標體系

影響邊坡穩(wěn)定性主要因素有巖土體結構特征和物理力學性質(zhì)，本文根據(jù)《建筑邊坡工程技術規(guī)范》(GB 50330—2013)[11]及羅戰(zhàn)友和史秀志等[7～8]的研究成果，選取巖體重度(X1)、黏聚力(X2)、內(nèi)摩擦角(X3)、邊坡角(X4)、邊坡高度(X5)以及孔隙水壓力比(X6) 作為邊坡穩(wěn)定性評價指標，將邊坡分為穩(wěn)定S(Stable)和失穩(wěn)F(Failure) 2個類別，以文[7]中39組邊坡實測數(shù)據(jù)(表1)作為學習樣本。

圖2 因子分析的PNN邊坡穩(wěn)定性評價模型技術路線Fig.2 Technology roadmap of the slope stability evaluation model of PNN based on factor analysis

2.3 因子分析結果

首先對表1中39個樣本6個指標數(shù)據(jù)進行正向化，然后采用SPSS軟件(指標數(shù)據(jù)標準化自動執(zhí)行)進行因子分析。一般情況下，優(yōu)先考慮較多的公因子，然后根據(jù)結果再減少因子數(shù)，但此過程過于繁瑣。Mardia給出不同公共主因子數(shù)，所應具備最少原始變量數(shù)之間關系(表2)，本文先將主因子個數(shù)定為3進行因子分析。

因子分析的總方差解釋見表3，針對主因子數(shù)目確定，常用累積方差貢獻率80%來確定主因子數(shù)目[12]。Kaiser主張將特征值小于1的主因子舍去；由表3可以看出，經(jīng)最大方差法旋轉(zhuǎn)后，前3個因子變量的特征值均大于1，前3個主因子累積方差貢獻率為 83.830%，包含原有信息83.830%，提取前3個主因子較為合適。

非金屬夾雜物級別雖然不高，但在樣品中心V形裂紋附近出現(xiàn)了硫化物類夾雜物（1級），非金屬夾雜物的存在破壞了鋼基體的連續(xù)性，嚴重影響鋼的力學性能，產(chǎn)生應力集中，拉拔時不能與基體同步變形，在非金屬夾雜物與基體結合部位引起應力集中，導致裂紋在此處萌生及擴展，最終導致盤條拉拔斷裂。

主因子載荷表征主因子與原始變量間相關系數(shù)，主因子載荷矩陣旋轉(zhuǎn)之后載荷(表4)系數(shù)更接近1或者0，這樣主因子能夠更好地解釋和命名變量。由表 4可以看出，第一主因子F1與指標X2、X3和X4顯著相關，F(xiàn)1綜合黏聚力、內(nèi)摩擦角和邊坡角等指標信息。第二主因子F2與指標X1和X5顯著相關，F(xiàn)2綜合巖體重度和邊坡高度指標信息，且X1在F2上為正值，F(xiàn)2可稱為巖體重度因子。第三主因子F3僅與X6變量顯著相關性，F(xiàn)3可稱為孔隙水壓力比因子；F1、F2與F3包含6個指標大部分信息(83.830%)。

表1 邊坡穩(wěn)定性的PNN模型評價結果Table 1 Evaluation results of slope stability of the PNN model

注：“*”代表測試樣本

表2 主因子數(shù)與原始變量數(shù)關系Table 2 Relationship between the number of principal factors and the number of original variables

表3 總方差解釋Table 3 Total variance interpretation

表4 旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣Table 4 Factor loading matrix after rotation

表5 因子得分系數(shù)矩陣Table 5 Coefficient matrix of factor scores

(6)

(7)

(8)

首先將表1中樣本數(shù)據(jù)正向化、標準化，然后將處理后數(shù)據(jù)代入式(6)～(8)進行主因子得分數(shù)據(jù)的計算，結果見表 6。F1與F2之間各主因子之間得分散點圖見圖3。F1與F2分別包含原來信息量的33.317%和29.611%；主因子得分圖能夠反映對象與指標之間關系。由圖3可以看出，在第一象限(正向區(qū)間)內(nèi)，F(xiàn)1與F2值越大，從總體上來說，巖體重度、黏聚力和內(nèi)摩擦角取值就越大，正向區(qū)間內(nèi)的12個樣本(12、14～16、22～25、32、36和38～39)的邊坡就越容易向破壞趨勢發(fā)展。限于篇幅，圖3中其他象限將不再具體分析，F(xiàn)1與F3以及F2與F3得分散點圖不列出。

表6 主因子得分數(shù)據(jù)Table 6 Principal factor scores

圖3 主因子 F1和F2 得分散點圖Fig.3 Scatter plot of principal factor scores of F1 and F2

采用綜合評價函數(shù)對39組樣本邊坡穩(wěn)定性進行定量分析，采用綜合評價函數(shù)：

(9)

式中：η1、η2和η3——公因子F1、F2和F3各自方差貢獻率；

0.838 3——累積方差貢獻率。

將式(6)～(8)代入式(9)得到：

(10)

由式(3)和式(10)可以計算得到綜合主因子得分數(shù)據(jù)(表7)；將綜合主因子得分結果在d=(0.848+1.013)/2=0.930 5下可分為2種類型的邊坡，因指標進行正向化處理，第一類邊坡為失穩(wěn)邊坡：綜合主因子得分范圍為[-0.083, 0.848)，該區(qū)間包括8#、12#～16#、19#、22#～33#和36#～39#等23個樣本；從表2可以看出，除8#、12#、13#、14#和33#等樣本的邊坡穩(wěn)定性被劃分到失穩(wěn)外，其余樣本的評價結果與實際情況一致。第二類邊坡為穩(wěn)定邊坡，綜合主因子得分取值范圍為[-1.013，-0.083)，該區(qū)間包括1#～7#、9#～11#、17#～18#、20#～21#和34#～35#等16個樣本；從表2可以看出，除17#、18#、20#和21#號樣本的失穩(wěn)邊坡被劃分到穩(wěn)定外，其余樣本評價結果與實際一致。

2.4 PNN模型仿真結果

采用3個主因子得分數(shù)據(jù)(表6)進行概率神經(jīng)網(wǎng)絡仿真，為了簡明地評價邊坡穩(wěn)定性情況，將PNN模型期望輸出值設置為1(F)和2(S)，其中，F(xiàn)和S代表邊坡失穩(wěn)和穩(wěn)定2種類型。此外，為檢驗PNN模型泛化能力，將表6中39個樣本構造5種學習情況，即將訓練樣本與測試樣本個數(shù)比分別設為34∶5、32∶7、30∶9、28∶11和26∶13，以探討訓練樣本個數(shù)對PNN模型精度影響。其中徑向基函數(shù)分布密度SPREAD值設置為0.05。同時，將表1(未經(jīng)因子分析)39個樣本構造上述5種情況進行學習，限于篇幅，僅列出訓練與測試樣本個數(shù)比為32∶7的學習情況(圖4～5)。

表7 綜合主因子得分及其排名Table 7 Comprehensive principal factor scores and their rankings

圖4 經(jīng)因子分析邊坡樣本1#～32#訓練效果和誤差結果及33#～39#測試效果Fig.4 Training effects and the error results of slope samples 1#～32# and test results of 33#～39# by factor analysis

圖5 未經(jīng)因子分析邊坡樣本1#～32#訓練效果和誤差結果及33#～39#測試效果Fig.5 Training effects and the error results of slope samples 1#～32# and test results of 33#～39# without factor analysis

由圖4可以計算出，指標數(shù)據(jù)經(jīng)因子分析降維處理后，PNN模型的正判率為94.87%。同理，由圖5可以計算出，未經(jīng)因子分析降維處理的指標數(shù)據(jù)，PNN模型正判率為89.74%。經(jīng)因子分析后的PNN模型預測精度提高了5.72%。為便于比較，表1中同時列出人工免疫算法[5]、SVM模型[6]以及BDA模型[7]的判別結果。由表1可以看出，除33和34號樣本判別存在一定的偏差外，PNN模型評價結果與人工免疫算法、SVM模型以及BDA模型的判別結果基本一致。

5種不同訓練和測試樣本個數(shù)下PNN模型仿真統(tǒng)計結果見圖6和表8。由圖6可以看出，隨著訓練樣本個數(shù)減少，PNN模型預測精度越來越低。因子分析后的PNN模型比采用原始數(shù)據(jù)建立的PNN模型更優(yōu)。

圖6 訓練樣本數(shù)對PNN模型的影響Fig.6 Effect of training samples on PNN model

3 討論

(1)39組樣本數(shù)據(jù)是否適合采用因子分析？一般認為，相關系數(shù)的絕對值為0.8時為高度相關，可采用因子分析對指標數(shù)據(jù)進行降維處理。由表1計算得到指標X3與X4相關性最高，其相關系數(shù)為0.794，可采用因子分析方法，其實這種方法是欠妥的。樣本數(shù)量不同，0.8的相關系數(shù)可信度也就不同；根據(jù)相關系數(shù)臨界值rα[12]，對于2個變量4個樣，相關系數(shù)為0.8時可信度只有90%。常采用KMO(Kaiser Meyer Olkin)統(tǒng)計量和BartlettP球形檢驗作為因子分析使用條件(表9)。由SPSS軟件得到KMO 和Bartlett檢驗結果(表9)。由表可以看出，本文采用因子分析對表1中39個樣本數(shù)據(jù)進行降維處理是可行的。

表8 因子分析前、后PNN模型的5種學習情況 (SPREAD=0.05)Table 8 Five learning situations of PNN model by Factor Analysis and without Factor Analysis (SPREAD=0.05)

表9 KMO和Bartlett 的檢驗標準Table 9 Test standard of KMO and Bartlett

(2)SPREAD參數(shù)值影響著PNN模型的預測精度，SPREAD值越小，函數(shù)逼近越精確；SPREAD值越大，模型預測誤差越大，其默認值為1。針對表8的評價結果，SPREAD值設置為0.05，使得PNN模型預測效果達到最優(yōu)。以表6中39個樣本為例，將1#～32#樣本作訓練，33#～39#樣本作測試，SPREAD值設為0.1，檢驗PNN模型的可靠性(圖7)可以看出，PNN模型正判率92.31%，可見PNN模型在邊坡穩(wěn)定性評價中是有效的。

圖7 SPREAD值為0.1下PNN模型訓練和誤差結果及測試效果Fig.9 Test results, training effects and the error results when the value of SPREAD is 0.1

(11)

D(Zj)——原始數(shù)據(jù)相似變換后的方差。

i=1,2,3,…,p;j=1,2,3,…,m。

值得一提的是，邊坡穩(wěn)定性問題不僅受巖土體結構特征和物理力學性質(zhì)的影響，還受暴雨、地震和人工活動等一系列因素影響，使得邊坡穩(wěn)定性評價成為一項艱難的課題，邊坡穩(wěn)定性評價還有待于進一步研究和探討。

4 結論

(1)邊坡穩(wěn)定性評價模型——因子分析-概率神經(jīng)網(wǎng)絡模型，PNN模型總收斂于Bayes優(yōu)化解，樣本追加能力強，可容忍一些判別錯誤的樣本，使邊坡穩(wěn)定性評價更加科學合理，為邊坡穩(wěn)定性評價提供一種很好的思路。

(2)采用因子分析提取邊坡穩(wěn)定性評價的3個新綜合指標，盡可能多地保留原始變量的信息；提取的綜合指標彼此獨立，解決指標信息重疊、多重共線性以及PNN模型采用高斯函數(shù)等諸多問題，進一步提高了PNN模型預測精度。

(3)39個典型的邊坡工程實例預測結果表明：指標數(shù)據(jù)經(jīng)因子分析后，構造5種不同訓練和測試樣本數(shù)，PNN模型仍具有較好的評價效果，其正判率分別為100%、94.87%、94.87%、84.62%和84.62%，說明因子分析后的PNN模型在邊坡穩(wěn)定性判別中是有效的。

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