陶澤南

(陸軍軍事交通學(xué)院學(xué)員五大隊，天津300161)

粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)是一種基于鳥群覓食的啟發(fā)式算法。它與其他智能優(yōu)化算法相比，具有收斂迅速、原理簡單、操作可靠、便于實現(xiàn)等優(yōu)點，目前已被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。

圓柱齒輪減速器是一種相對精密的機(jī)械，使用它的目的在于降低轉(zhuǎn)速，增加轉(zhuǎn)矩。在減速器的設(shè)計中，如果能在保證齒輪強(qiáng)度的前提下，縮小減速器的體積，減輕減速器的重量，將對機(jī)械設(shè)備的制造具有重要意義。本文采用的粒子群算法，為圓柱齒輪減速器的體積優(yōu)化提供了一種新思路。

1 減速器優(yōu)化的約束條件與數(shù)學(xué)模型

1.1 確定目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量

圖1 圓柱齒輪減速器的結(jié)構(gòu)

圓柱齒輪減速器的結(jié)構(gòu)如圖1所示， 輸入軸上的小齒輪與輸出軸上的大齒輪相嚙合， 使減速器起到減速增扭的作用。 影響減速器體積的因素[1]主要有齒輪厚度b， 小齒輪的齒數(shù)z1， 齒輪模數(shù)m， 減速箱的寬度l1， 小齒輪軸孔徑ds1， 大齒輪軸孔徑ds2， 因此可以設(shè)計變量[b,z1,m,l1,ds1,ds2]=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]。 減速器的體積可近似看成齒輪和軸的體積之和， 其目標(biāo)函數(shù)為

式中：輸入軸伸出長度l2為25 cm；輸出軸伸出長度l3為30 cm；d1、d2、c分別為小齒輪的分度圓直徑、大齒輪分度圓直徑、頂隙，其大小與設(shè)計變量有關(guān)。

1.2 確定約束條件[2—3]

對于圓柱齒輪減速器來說，其約束條件如下。

1)齒面接觸強(qiáng)度條件

σH-[σH]≤0

式中：齒輪的許用接觸應(yīng)力[σH]為855 MPa；載荷系數(shù)K為1.3；彈性模量ZE為189.8 MPa；節(jié)點區(qū)域系數(shù)ZH為2.5；σH為齒輪的實際接觸應(yīng)力；T1為小齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩；u為大齒輪與小齒輪的齒數(shù)比。

2)小齒輪的直徑約束條件

d1≤32 cm

3)為保證齒輪的可靠性，要求輪齒具有一定的承載能力，其齒寬系數(shù)條件為

4)根據(jù)結(jié)構(gòu)關(guān)系，軸的支撐跨距應(yīng)滿足

l1≥b+0.2ds2+4

5)齒根彎曲強(qiáng)度條件

式中：齒輪的許用彎曲應(yīng)力[σF1]為261 MPa，[σF2]為213 MPa；σF2、σF1分別為大、小齒輪的實際彎曲應(yīng)力；YF為對應(yīng)齒輪的齒形系數(shù)。

6)軸的彎曲強(qiáng)度條件

式中：軸的許用彎曲應(yīng)力[σb]為55 MPa；T為軸所受轉(zhuǎn)矩,且大齒輪T為5T1；應(yīng)力校正系數(shù)α為0.59；σb為軸的實際彎曲應(yīng)力；σb2、σb1分別為大、小齒輪軸的實際彎曲應(yīng)力；M為軸所受的彎矩；W為軸的抗彎剖面系數(shù)。

1.3 建立數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上述目標(biāo)函數(shù)和約束條件，可建立如下數(shù)學(xué)模型，其中f(x)是優(yōu)壓減速箱體積的目標(biāo)函數(shù)，gi(x)是圓柱齒輪減速器的約束條件。

g2(x)=x2x3-32≤0

g5(x)=x1+0.5x6-x4+4≤0

上述數(shù)學(xué)模型可簡潔地表示為

2 粒子群算法的原理

粒子群算法屬于進(jìn)化算法的一種，它是從隨機(jī)解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解。本節(jié)首先介紹了基本粒子群算法的原理，然后對處理約束條件的懲罰函數(shù)法進(jìn)行介紹，最后將二者結(jié)合，研究了動態(tài)改變懲罰系數(shù)的改進(jìn)粒子群算法，為下一節(jié)減速器優(yōu)化的實例提供理論基礎(chǔ)。

2.1 粒子群算法

粒子群算法也叫鳥群覓食算法，科學(xué)家從鳥群捕食的現(xiàn)象中得到啟發(fā)，假設(shè)了這樣一個場景：一群鳥聚集在一片區(qū)域中尋找食物，它們都不知道食物的具體位置，但是知道自身距離食物有多遠(yuǎn)。也就是說每一個體都有一個大概的搜索范圍。為了最快地找到食物，它們會追隨離食物最近的那只鳥去搜索，這就大大節(jié)約了時間，提高了效率。上述思想體現(xiàn)了群體間的交流協(xié)作，鳥群除了要記錄自身找到的最佳位置外，還要依靠群體間的信息共享使群體發(fā)生由無序到有序的轉(zhuǎn)變。

在上述場景中，每一只鳥代表一個粒子，鳥的數(shù)量就是參與尋優(yōu)過程的粒子規(guī)模。食物的位置代表整體最優(yōu)值，是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中的最佳方案。在應(yīng)用基本粒子群算法時，首先賦予每個粒子一組初始解(包括位置和速度)，然后粒子們會依據(jù)適應(yīng)度值調(diào)整自己的飛行狀態(tài)，以保證向靠近食物的位置飛行。假設(shè)粒子們都具有記憶能力，它們可以記錄自己的當(dāng)前位置、自身經(jīng)歷過的最好位置(個體極值),以及種群中的最好位置(種群極值)。每迭代一次，個體極值和種群極值更新一次，通過前后極值的對比不斷調(diào)整運動方向，以接近食物位置[4]。

粒子i在ts和 (t+1) s的速度、位置關(guān)系為：

vi(t+1)=wvi(t)+c1r1(pi(t)-xi(t))+

c2r2(pg(t)-xi(t))

(1)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

(2)

式中：w為慣性權(quán)重，代表粒子對當(dāng)前速度繼承的比重；c1和c2為學(xué)習(xí)因子，作用是控制粒子向群體最優(yōu)值接近，其值越大算法越易收斂，通常取值為2；r1和r2為0到1之間的隨機(jī)數(shù)；pg(t)表示種群中的最優(yōu)位置；pi(t)表示粒子經(jīng)歷過的最優(yōu)位置。

速度更新公式由3部分組成。第一部分決定了粒子的先前速度，代表對原有速度的繼承。慣性權(quán)重的大小對粒子的全局搜索能力具有一定影響，一般設(shè)定慣性權(quán)重在迭代過程中由大到小線性遞減，以滿足粒子在前期廣泛搜索和后期精細(xì)搜索的需要[5]。第二部分表示粒子向自身學(xué)習(xí)的過程，也叫自我學(xué)習(xí)能力。第三部分表示粒子向群體學(xué)習(xí)的過程，也叫群體學(xué)習(xí)能力。

2.2 處理約束條件的懲罰函數(shù)法

一般的機(jī)械優(yōu)化問題多為約束條件下的尋優(yōu)，如何處理約束條件成為解決優(yōu)化問題的關(guān)鍵步驟。懲罰函數(shù)法的基本原理，就是將約束條件進(jìn)行加權(quán)轉(zhuǎn)化后與目標(biāo)函數(shù)結(jié)合，形成新的目標(biāo)函數(shù)，該新函數(shù)也稱為適應(yīng)度函數(shù)，其值就是粒子的適應(yīng)度值，并以此來尋找全局最優(yōu)解[6]。

優(yōu)化問題的一般形式為:

minf(x)x=[x1,x2,…xn]∈Rn

(3)

式中，p、q分別為約束條件gi(x)、hi(x)的個數(shù)。

建立懲罰函數(shù)的目的，在于對不滿足條件的粒子進(jìn)行懲罰，篩選出滿足條件的粒子，并在這些粒子中尋優(yōu)?？梢园褢土P函數(shù)值作為適應(yīng)度值，適應(yīng)度值較大說明粒子所受懲罰較嚴(yán)重，不是滿足條件的解，應(yīng)舍棄，適應(yīng)度值較小說明粒子能較好地滿足約束條件，應(yīng)保留?；谶@個思想，建立的懲罰函數(shù)。

設(shè)H(x)是懲罰項，定義為

(4)

式中：Φ(φi(x))是多級分配函數(shù)；θ(φi(x))是懲罰函數(shù)的級數(shù)，其中φi(x)=max(0,gi(x))i=1,2,…,p或φi(x)=|hi(x)|i=p+1,p+2,…,q。

懲罰函數(shù)定義為

F(x)=f(x)+μ(k)H(x)x∈Rn

(5)

式中μ(k)是懲罰系數(shù)。

懲罰函數(shù)的級數(shù)參數(shù)設(shè)置如下：

1)若φi(x)<1，則θ(φi(x))=1；

2)若φi(x)≥1，則θ(φi(x))=2；

3)若φi(x)<0.001，則Φ(φi(x))=5；

4)若0.001≤φ1(x)<0.1，則Φ(φi(x))=20；

5)若0.1≤φi(x)<1，則Φ(φi(x))=100；

6)若φi(x)≥1，則Φ(φi(x))=500。

2.3 自適應(yīng)調(diào)節(jié)懲罰系數(shù)的改進(jìn)粒子群算法

懲罰系數(shù)影響著粒子群算法的收斂速度，如果懲罰系數(shù)設(shè)置過大，會導(dǎo)致算法過早收斂，難以搜索到最優(yōu)解；懲罰系數(shù)設(shè)置過小，會因為懲罰力度不夠而失效，導(dǎo)致增加運算量，所以設(shè)計一種能自適應(yīng)調(diào)節(jié)懲罰系數(shù)的改進(jìn)粒子群算法(DPPSO算法)，以期能較快收斂。該算法在前期將懲罰系數(shù)設(shè)定得較小，以滿足快速全局搜索的需要，在每次迭代后，如果通過計算適應(yīng)度值發(fā)現(xiàn)相鄰兩代粒子無明顯的差值，說明尋優(yōu)過程陷入了局部最優(yōu)解，需要增大懲罰系數(shù)。程序框圖如圖2所示。

圖2 DPPSO算法的基本框圖

具體步驟如下：

1)定初值：在D維空間內(nèi)，通過賦值函數(shù)隨機(jī)初始化粒子的速度和位置；

2)設(shè)置懲罰系數(shù)：在前期設(shè)定一個較小的懲罰系數(shù)μ(0)；

3)建立評價機(jī)制：通過適應(yīng)度函數(shù)計算每個粒子的適應(yīng)度值，適應(yīng)度值的大小代表了粒子的尋優(yōu)結(jié)果；

4)分類存儲：以適應(yīng)度值為指標(biāo)，將各粒子當(dāng)前找到的最好位置存儲在個體極值中，將全局的最好位置存儲在種群極值中；

5)動態(tài)改變懲罰系數(shù)：在前n次迭代中，懲罰系數(shù)μ=μ(0)；n+1次迭代以后，如果相鄰兩代粒子無明顯的適應(yīng)度差值，則將懲罰系數(shù)調(diào)整為原來的m倍；

6)更新粒子：根據(jù)式(1)、(2)更新粒子；

7)再次分類存儲：比較前后兩次適應(yīng)度值，將結(jié)果較好的位置作為當(dāng)前位置，并存儲在個體極值和種群極值中；

8)判斷條件：設(shè)定迭代次數(shù)，當(dāng)粒子更新的次數(shù)大于迭代次數(shù)時，更新停止，輸出結(jié)果；若小于等于迭代次數(shù)時，返回步驟5繼續(xù)搜索。

3 基于粒子群算法的減速器優(yōu)化設(shè)計

設(shè)某減速器的輸入功率為P=280 kW，傳動比i=5。利用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化計算時，其參數(shù)設(shè)置為：粒子的種群規(guī)模N=40，維數(shù)D=2,學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，慣性權(quán)重w=0.5，最大迭代次數(shù)M=300，n=50，m=1.5 cm，初始懲罰系數(shù)μ(0)=0.1。經(jīng)MATLAB編程，得出收斂曲線，如圖3所示。

圖3 函數(shù)的迭代曲線

分析圖3可知，粒子在迭代到50～150次時，陷入了局部最優(yōu)解。這時通過增大懲罰系數(shù)，粒子在迭代到180次時開始收斂于某一固定值，該值即為全局最優(yōu)解。優(yōu)化前后的參數(shù)見表1。

表1 優(yōu)化結(jié)果對比表

將編程得到的結(jié)果進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后得z1=10，b=4.5 cm,m=7.5 cm,l1=11 cm,ds1=18 cm,ds2=8 cm。原減速器的體積為f0=2.431 5×105cm，優(yōu)化后減速器的體積為f1=1.769 6×105cm3。

4 結(jié)語

本文基于優(yōu)化設(shè)計思想，建立了減速器的數(shù)

學(xué)模型，并在經(jīng)典PSO算法的基礎(chǔ)上，重點研究了自適應(yīng)調(diào)節(jié)的DPPSO算法。通過動態(tài)改變懲罰系數(shù)，較好地解決了PSO算法中收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)解的缺點，并將該算法應(yīng)用在減速器體積優(yōu)化中。從優(yōu)化前后的結(jié)果看，優(yōu)化后的減速器體積為1.769 6×105cm3,體積減輕了27.2%，在實際加工中節(jié)約了成本，具有一定的經(jīng)濟(jì)效益。