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        單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的思考與實(shí)踐
        ——以“分式”單元整體建構(gòu)為例

        2018-03-30 03:21:24何麗華
        初中生世界 2018年12期
        關(guān)鍵詞:分式分?jǐn)?shù)概念

        ■何麗華

        一、緣起

        2017年11月1日至2日,江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室在鹽城中學(xué)舉辦了2017年江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng),筆者在區(qū)、市、省各級(jí)比賽(均是借班上課)中,一路過(guò)關(guān)斬將,獲得佳績(jī)。比賽路上,有個(gè)人創(chuàng)作的努力,有頭腦風(fēng)暴的洗禮,有同伴互助的溫暖,有專(zhuān)家引領(lǐng)的震撼,帶來(lái)的不僅僅是榮譽(yù),更多的是“醒腦”后的深度思考,故撰文與同行交流。

        二、思考

        (一)教材分析。

        1.教材的地位作用。

        蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第10章“分式”,主要研究分式的概念、求值、基本性質(zhì)、運(yùn)算和分式方程等內(nèi)容。如圖1,分式章節(jié)的研究既是社會(huì)生活實(shí)際的需要(分式、分式方程等問(wèn)題),又是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要(是繼整式之后對(duì)代數(shù)式的進(jìn)一步研究,也是對(duì)整式運(yùn)算的完善),也為后面研究反比例函數(shù)、二次根式等知識(shí)打下基礎(chǔ)和鋪墊。

        圖1

        2.對(duì)教材的理解認(rèn)識(shí)。

        “放眼長(zhǎng)遠(yuǎn)看全局”,起始課對(duì)全章來(lái)說(shuō)起到了提綱挈領(lǐng)的作用,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)(分式)的整體性和系統(tǒng)性(如圖2),需要培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)地思考:為何學(xué)——怎樣學(xué)——學(xué)什么;需要培養(yǎng)學(xué)生整體地把握“分式”章節(jié)簡(jiǎn)單內(nèi)容和結(jié)構(gòu)框架。

        圖2

        (二)學(xué)情分析。

        1.學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。

        學(xué)生已有列代數(shù)式的經(jīng)驗(yàn),已掌握了分?jǐn)?shù)、整式的相關(guān)知識(shí),但還不能“順利地提取知識(shí)”和“有條理地梳理知識(shí)”,而且對(duì)知識(shí)的主動(dòng)遷移能力較弱。

        2.現(xiàn)有的“生活現(xiàn)實(shí)”。

        對(duì)于認(rèn)知主體——學(xué)生來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情較高、思維活躍,也初步具備了獨(dú)立思考、探究問(wèn)題的能力,但鑒于現(xiàn)有的學(xué)情思考,如何從學(xué)生現(xiàn)有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“生活現(xiàn)實(shí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)呢?確定了本節(jié)課的認(rèn)知路徑:會(huì)思考——會(huì)做題——會(huì)回顧——會(huì)梳理——會(huì)遷移——會(huì)反思。

        (三)設(shè)計(jì)理念。

        1.設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)框圖。

        2.核心活動(dòng)思考。

        根據(jù)前面的“教材分析”和對(duì)“學(xué)情分析”的思考,把分式章節(jié)內(nèi)容分成三個(gè)主要板塊進(jìn)行類(lèi)比探究學(xué)習(xí):

        (1)概念類(lèi)比——完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“心臟”,幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)源泉。經(jīng)歷分式概念形成過(guò)程,感受學(xué)習(xí)分式的必要性(數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要、數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的關(guān)系),滲透建模思想,培養(yǎng)學(xué)生“從具體到抽象”“從特殊到一般”的思維能力。

        (2)結(jié)構(gòu)類(lèi)比——完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“骨架”,幫助學(xué)生建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)框架。經(jīng)歷分式與分?jǐn)?shù)、整式的結(jié)構(gòu)類(lèi)比,在觀察、思考、猜想、歸納等活動(dòng)中初步理解分式的整體研究思路和整章內(nèi)容結(jié)構(gòu),發(fā)展學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)和能力。

        (3)內(nèi)容類(lèi)比——完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“血肉”,幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)歷分式與分?jǐn)?shù)、整式的內(nèi)容類(lèi)比,初步理解分式研究學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容,感受類(lèi)比學(xué)習(xí)的基本方法,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

        3.板書(shū)設(shè)計(jì)規(guī)劃。

        由于本章新知識(shí)多、雜,新舊知識(shí)聯(lián)系多,采用“框架式”和“對(duì)比式”“貼紙移動(dòng)式”結(jié)合的板書(shū)設(shè)計(jì),能有效地整合知識(shí),體現(xiàn)知識(shí)整合的內(nèi)容、思路和方法及其邏輯過(guò)程。

        三、實(shí)踐

        活動(dòng)一:概念類(lèi)比研究。

        (一)創(chuàng)境激趣。

        問(wèn)題:今年王偉同學(xué)年齡是15歲,我的年齡是36歲,6年之后王偉同學(xué)年齡與我的年齡之比為_(kāi)___。

        (二)生活實(shí)際的建模。____

        1.一塊長(zhǎng)方形玻璃的面積是2平方米,長(zhǎng)為3米,則寬為_(kāi)___米;

        2.在物理課堂上,一輛勻速行駛的小車(chē)3秒行駛了s分米,它的速度為_(kāi)___分米/秒;

        3.如果兩塊面積為3公頃、2公頃的梯田分別產(chǎn)棉花m千克、n千克,那么這兩塊梯田每公頃產(chǎn)棉花____千克。

        設(shè)計(jì)意圖:“猜我的年齡有多大?”——“師生年齡問(wèn)題”——“一般化思考”——“生活問(wèn)題”——“物理問(wèn)題”——“生產(chǎn)問(wèn)題”等一系列問(wèn)題拉近了三種“距離”:師生之間的距離,生活和數(shù)學(xué)之間的距離,數(shù)學(xué)知識(shí)(分?jǐn)?shù)、整式與分式)之間的距離;學(xué)生明白“為何學(xué)”分式——社會(huì)生活實(shí)際的需要,也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

        (三)歸納概括。

        1.概念歸納:這些式子有何共同點(diǎn)?能否用一個(gè)一般的式子表示出來(lái)?

        2.概念辨析。

        判斷下列各式中,哪些是分式?

        3.概念精致。

        問(wèn)題:如何把一個(gè)分式變回原來(lái)的分?jǐn)?shù)和整式呢?

        設(shè)計(jì)意圖:“概念歸納——概念辨析——概念精致”這三個(gè)環(huán)節(jié),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,巧妙的引導(dǎo)讓學(xué)生第一次理解分式既有分?jǐn)?shù)的“形”的特征,又有整式的“式”的痕跡;同時(shí)也感受到數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)(分式和分?jǐn)?shù)、整式)之間的區(qū)別與聯(lián)系,培養(yǎng)了學(xué)生“從具體到抽象”“從特殊到一般”“從一般到特殊”的思維能力。

        活動(dòng)二:結(jié)構(gòu)類(lèi)比研究。

        問(wèn)題1:有關(guān)“分?jǐn)?shù)”你知道哪些知識(shí)。

        問(wèn)題2:有關(guān)“整式”你知道哪些知識(shí)。

        問(wèn)題3:觀察分?jǐn)?shù)和整式的研究思路(或結(jié)構(gòu)),猜想一下“分式”的研究思路是怎樣的?

        設(shè)計(jì)意圖:(1)問(wèn)題1、2的設(shè)計(jì)目的:引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)和整式的相關(guān)內(nèi)容,喚醒已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),為問(wèn)題3中構(gòu)建知識(shí)的同化和順應(yīng)做好鋪墊。(2)教法緣由。為什么要利用“以題想綱”“目錄研究”和“框架整理”的方式幫助學(xué)生回顧知識(shí)呢?一是心理學(xué)研究表明:“在記憶提取時(shí),回憶的線索具有重要價(jià)值,線索回憶效果好于自由回憶,分類(lèi)回憶好于隨機(jī)回憶?!币虼死谩耙灶}想綱”“目錄研究”和“框架整理”為知識(shí)回顧提供腳手架,便于學(xué)生順利地提取、整理知識(shí);二是重“怎樣學(xué)”(學(xué)習(xí)方法)的指導(dǎo)?!笆谥贼~(yú)不如授之以漁”,教是為了不教,提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力,積累學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。(3)重“為何學(xué)”的引導(dǎo)和感悟。對(duì)整式內(nèi)容的“目錄研究”,讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、提出——“為何七年級(jí)不安排整式除法的學(xué)習(xí)”,進(jìn)一步感悟“為何學(xué)”分式。不僅是社會(huì)生活實(shí)際的需要,而且也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要,發(fā)展學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的意識(shí)和能力。(4)重整體把握“學(xué)什么”的框架。讓學(xué)生經(jīng)歷分式與分?jǐn)?shù)、整式的結(jié)構(gòu)類(lèi)比,初步把握分式的整體研究思路和整章內(nèi)容結(jié)構(gòu)。

        活動(dòng)三:內(nèi)容類(lèi)比研究。

        類(lèi)比活動(dòng)1:求值的探究。

        (1)整式的求值:已知a=2,求a-1的值;

        類(lèi)比活動(dòng)2:基本性質(zhì)的探究。

        感悟提升:在類(lèi)比學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們應(yīng)該關(guān)注什么?你有何感悟和收獲?

        設(shè)計(jì)意圖:類(lèi)比活動(dòng)1采用“對(duì)比”的教學(xué)形式,感受整式、分式求值過(guò)程的相同點(diǎn)——方法都一樣(代入、求值);不同點(diǎn)——分式需考慮分母是否為0。類(lèi)比活動(dòng)2繼續(xù)采用“對(duì)比”的教學(xué)形式,感受分式、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的異同。兩個(gè)活動(dòng)都采用“對(duì)比”的教學(xué)形式,利于學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比學(xué)習(xí)。一方面,學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的“自然生長(zhǎng)”過(guò)程,理解了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系;另一方面,學(xué)生通過(guò)“感悟提升”,理解并關(guān)注類(lèi)比學(xué)習(xí)的關(guān)鍵——不同點(diǎn)和相同點(diǎn)。

        類(lèi)比活動(dòng)3:分式運(yùn)算的探究。

        類(lèi)比學(xué)習(xí):根據(jù)黑板的知識(shí)框架思考。

        (1)分式的運(yùn)算與誰(shuí)的運(yùn)算比較“類(lèi)似”?

        (2)請(qǐng)利用下面式子舉例說(shuō)明(或自己舉例)。

        學(xué)習(xí)要求:

        1.自主學(xué)習(xí);

        2.合作學(xué)習(xí):交流自己的想法和困惑;

        3.全班學(xué)習(xí):派代表展示交流。

        設(shè)計(jì)意圖:再一次讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”的過(guò)程。學(xué)生在自主探究基礎(chǔ)上合作討論,最后展示交流,教師適時(shí)追問(wèn)。在生生、師生等多維互動(dòng)過(guò)程中,不斷地明確、明晰分式運(yùn)算的內(nèi)容,加深對(duì)知識(shí)之間聯(lián)系的理解;也再一次感受類(lèi)比學(xué)習(xí)的基本方法,激發(fā)了興趣,積累了經(jīng)驗(yàn)。

        類(lèi)比活動(dòng)4:分式方程的探究。

        暢所欲言:面對(duì)一個(gè)陌生的方程,怎樣用類(lèi)比方法學(xué)習(xí)它呢?說(shuō)說(shuō)你的想法。

        回到生活:今年王偉同學(xué)年齡是15歲,我的年齡是36歲,多少年之后王偉同學(xué)年齡與我的年齡之比為1:2?

        設(shè)計(jì)意圖:(1)“暢所欲言”環(huán)節(jié)的目的就是“完全放開(kāi)”讓學(xué)生設(shè)計(jì)“學(xué)習(xí)分式方程的學(xué)習(xí)路徑”,再一次提升“類(lèi)比學(xué)習(xí)”的自主能力。(2)從開(kāi)頭的“猜年齡”到結(jié)尾的“算年齡”,遙相呼應(yīng),相得益彰,讓學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)(分式)學(xué)習(xí)的價(jià)值所在——“問(wèn)題來(lái)源于實(shí)際,又回到實(shí)際中去”。(3)4個(gè)類(lèi)比活動(dòng)的兩個(gè)特點(diǎn):①整體性:整體地把握分式章節(jié)的大致內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法;②層次性:學(xué)程設(shè)計(jì)從“扶”(類(lèi)比活動(dòng)1、2)到“半扶半放”(類(lèi)比活動(dòng)3),再到“完全放開(kāi)”(類(lèi)比活動(dòng)4),讓學(xué)生拾階而上,步步為營(yíng),逐步掌握“感受——理解——簡(jiǎn)單運(yùn)用”的類(lèi)比學(xué)習(xí)方法。

        活動(dòng)四:課堂小結(jié)提升。

        1.請(qǐng)你選擇感興趣的1至2個(gè)問(wèn)題反思一下本節(jié)課的內(nèi)容。

        (1)本節(jié)課,你學(xué)到了哪些知識(shí)?

        (2)本節(jié)課,讓你感受最深的是什么?

        (3)課后你準(zhǔn)備對(duì)哪方面進(jìn)行進(jìn)一步研究?

        (4)還有哪些困惑?此外你還知道了什么?

        2.練習(xí)反饋。

        概念再精致:知識(shí)結(jié)構(gòu)——類(lèi)比填空。

        數(shù)式:

        設(shè)計(jì)意圖:(1)“課堂小結(jié)”的價(jià)值在于“編筐編簍,全在收口”。新穎的小結(jié)方式,可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí),讓學(xué)生針對(duì)自己的切身體會(huì)進(jìn)行小結(jié),這樣能充分尊重個(gè)體差異,為每一個(gè)學(xué)生都創(chuàng)造在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。(2)“概念再精致”的目的是利于學(xué)生對(duì)已學(xué)的眾多“數(shù)”與“式”相關(guān)概念進(jìn)行有序的編碼、儲(chǔ)存,同時(shí)避免了數(shù)學(xué)概念理解中“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”的現(xiàn)象。

        四、反思

        本單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)著力體現(xiàn)讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的,它們之間存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。著力點(diǎn)在于理順相應(yīng)(分?jǐn)?shù)、整式、分式)關(guān)系,把握數(shù)學(xué)本質(zhì),深層次加工整合,建立新舊知識(shí)、信息之間的聯(lián)系,經(jīng)歷分式知識(shí)整體地、深度地生長(zhǎng)過(guò)程,進(jìn)行主動(dòng)、聯(lián)系、有意義的深度學(xué)習(xí)。

        (一)關(guān)注學(xué)生整體地認(rèn)知。

        系統(tǒng)論認(rèn)為,系統(tǒng)整體功能不等于構(gòu)成它的諸要素功能的簡(jiǎn)單相加,而是大于構(gòu)成它的諸要素功能之和。單元教學(xué)設(shè)計(jì)正是基于對(duì)系統(tǒng)功能觀的認(rèn)識(shí)。單元教學(xué)起始課一開(kāi)始就應(yīng)從宏觀上整體、系統(tǒng)地認(rèn)知“分式”這一章。

        “眺望四周看局部”。分析學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),我們發(fā)現(xiàn):分?jǐn)?shù)、整式與分式三者之間既不是上位概念又不是下位概念,而是并列關(guān)系,因此采用并列結(jié)合學(xué)習(xí),非常好的方式就是類(lèi)比學(xué)習(xí)。通過(guò)目標(biāo)問(wèn)題(分式)與源問(wèn)題(分?jǐn)?shù)、整式)各個(gè)方面(概念、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容等)類(lèi)比研究,達(dá)到主體整體認(rèn)知運(yùn)用的相關(guān)性——即認(rèn)知操作中有認(rèn)知程序的部分包容和認(rèn)知方式的直接遷移。從而利于學(xué)生整體地把握“分式”章節(jié)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)框架,幫助學(xué)生直擊學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)及其蘊(yùn)涵的基本思想、方法,形成一個(gè)完整的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系。

        (二)關(guān)注學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累。

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》特別強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。從熟悉的年齡問(wèn)題入手,引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā),由分?jǐn)?shù)、整式的實(shí)際問(wèn)題一般化思考后“自然建立”數(shù)學(xué)模型——分式,設(shè)計(jì)起點(diǎn)低、立意高。學(xué)生通過(guò)分?jǐn)?shù)、整式、分式三者類(lèi)比推理學(xué)習(xí),運(yùn)用知識(shí)的遷移規(guī)律,從概念、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容三個(gè)方面進(jìn)行主動(dòng)、聯(lián)系、有意義的深度學(xué)習(xí)?!案拍铑?lèi)比研究”讓學(xué)生感受了“尋找類(lèi)比源”“特殊化與一般化”等學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);“結(jié)構(gòu)類(lèi)比研究”讓學(xué)生初步理解“以題想綱”“目錄研究”等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法;“內(nèi)容類(lèi)比研究”讓學(xué)生初步感悟類(lèi)比學(xué)習(xí)的關(guān)注點(diǎn)——相同點(diǎn)和不同點(diǎn)等;整節(jié)課的類(lèi)比學(xué)習(xí)活動(dòng)促進(jìn)了知識(shí)、能力和方法的遷移,幫助學(xué)生積累了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

        (三)關(guān)注知識(shí)的自然生長(zhǎng)。

        李尚志教授曾說(shuō):“一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力,就是能利用舊知識(shí)解決新問(wèn)題的能力,更高一點(diǎn),利用舊知識(shí)生長(zhǎng)新知識(shí)的能力?!标P(guān)注知識(shí)的自然生長(zhǎng),必須關(guān)注三個(gè)方面:為何要生長(zhǎng)、怎樣生長(zhǎng)、生長(zhǎng)出什么?

        為何要生長(zhǎng)?“數(shù)學(xué)應(yīng)用”和“數(shù)學(xué)本身不斷發(fā)展”是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩個(gè)重要特性,這兩個(gè)特性鑄就數(shù)學(xué)知識(shí)需要不斷適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)生活而促進(jìn)數(shù)學(xué)概念得以自然生長(zhǎng),概念內(nèi)涵得以發(fā)展延伸。通過(guò)“遙相呼應(yīng)的年齡問(wèn)題”讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)需要;對(duì)整式內(nèi)容的目錄研究,進(jìn)而產(chǎn)生對(duì)整式知識(shí)結(jié)構(gòu)的思考——“為何七年級(jí)不安排整式除法的學(xué)習(xí)”,讓學(xué)生挖掘了數(shù)學(xué)內(nèi)涵的發(fā)展需要。從“學(xué)習(xí)有用”和“數(shù)學(xué)發(fā)展”兩個(gè)維度設(shè)計(jì)教學(xué),引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程,感受其應(yīng)用性和生長(zhǎng)性,從而產(chǎn)生進(jìn)一步探求新知的迫切需要。

        怎樣生長(zhǎng)、生長(zhǎng)出什么?在概念的形成時(shí),讓學(xué)生感受到概念的生長(zhǎng)關(guān)鍵——“分式”概念定義(初中階段)的邏輯生長(zhǎng)點(diǎn)是分?jǐn)?shù)的“形”特征、整式的“式”痕跡,完善了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“心臟”——概念;在知識(shí)結(jié)構(gòu)的架構(gòu)時(shí),讓學(xué)生理解到“分式的結(jié)構(gòu)”既有“分?jǐn)?shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)”又有“整式的知識(shí)結(jié)構(gòu)”,即三者在內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征上具有結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)性——結(jié)構(gòu)要素的并聯(lián)對(duì)應(yīng)和結(jié)構(gòu)要素的近似性,同時(shí)也明白了“結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)”是“概念生長(zhǎng)”的自然延伸,完善了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“骨架”——結(jié)構(gòu);在分式內(nèi)容完善時(shí),讓學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)、整式、分式三者之間既有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn),同時(shí)也再一次讓學(xué)生感悟到前兩者既是后者學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),又是后者學(xué)習(xí)的“類(lèi)比源”,完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“血肉”——內(nèi)容。

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