武亦文　李宛虹

【摘要】隨著保險精算評估方法的快速發(fā)展，廣義線性模型在保險領域的應用越來越廣泛。本文詳細介紹了廣義線性模型的理論基礎，并且分別闡述了在不同的保險領域廣義線性模型的應用。對優(yōu)化保險精算分析方法具有一定的借鑒意義。

【關鍵詞】廣義線性模型；保險精算；定價；評估

一、背景介紹

廣義線性模型（Generalized Linear Models）在精算中的應用起始于20世紀80年代。其應用涉及到精算學的各個領域，如生命表的修勻、損失分布、信度理論風險分類、準備金和費率估計等方面。廣義線性模型的建立，極大地推動了以統(tǒng)計方法為基石的精算學的發(fā)展。

廣義線性模型是線性模型的擴展，其特點是不強行改變數據的自然度量，數據可以具有非線性和非恒定方差結構，主要是通過聯結函數，建立響應變量的數學期望值與線性組合的預測變量之間的關系。廣義線性模型可以同時考慮所有的定價因素，并在人工參與的基礎上對這些因素的相關性以及各因素之間的相互作用進行調整。該方法可以通過很多軟件實現，比如SAS、R，計算效率很高。

二、廣義線性模型的理論基礎

古典線性回歸模型中，將因變量表示為均值和一個隨機擾動變量的和，而均值則表示為解釋變量的線性組合。線性回歸模型雖然很容易通過代數方法求解，但在精算應用中，這種假設通常很難得到滿足。

（一）要求因變量服從正態(tài)分布且具有相同方差在很多情況下是不現實的，譬如索賠頻率和續(xù)保率等數據通常不會服從正態(tài)分布。雖然可以通過數據變換來滿足這一假設，如對因變量的觀察值取對數，但是通常難以給出對數據進行這種變換的合理解釋。

（二）在許多實際問題中，尤其是在保險實踐中，因變量的取值往往是非負的，如索賠次數和賠款等變量。因變量服從正態(tài)分布的假設顯然不能滿足這一要求。（三）如果因變量是嚴格非負的，那么從直觀上看，當因變量的均值趨于零時，其方差也應該趨于零。換言之，因變量的方差是其均值的函數。而在古典線性回歸模型中，假設因變量的方差是固定的常數，與均值沒有任何關系。

（三）在古典線性回歸模型中，假設解釋變量通過加法關系對因變量產生影響，但在某些情況下，解釋變量之間可能通過一種乘法關系對因變量產生影響。

廣義線性模型是古典線性回歸模型的推廣，對因變量的預測值并不直接等于自變量的線性組合，而是該線性組合的一個函數變換。而誤差項也不僅僅限于正態(tài)分布。廣義線性模型的假設通常可以歸納如下。

（一）系統(tǒng)成分，即解釋變量的線性組合。系統(tǒng)成分和古典線性回歸模型沒有任何區(qū)別。值得注意的是，廣義線性回歸模型通常會包含截距項。

（二）隨機成分，即因變量或誤差項的概率分布，因變量的每個觀察值相互獨立且服從指數分布族中的一個分布。

在廣義線性模型中，因變量的分布通常用均值μ和離散參數φ來表示，因為我們需要重點預測的就是因變量的均值。我們所熟悉的一些分布，如正態(tài)分布、泊松分布、二項分布、伽馬分布和逆高斯分布，它們都屬于指數型分布族。

（三）連接函數。連接函數g單調且可導，它建立了隨機成分與系統(tǒng)成分之間的關系?？梢?，在廣義線性模型中，對因變量的預測值并不直接等于解釋變量的線性組合，而是該線性組合的一個函數變換。

三、廣義線性模型在保險領域的應用分析

廣義線性模型目前應用最多的為車險的分類費率厘定、未決賠款準備金的預測分析和生命表的修勻。

車險定價由于涉及到很多個方面的因素，如駕駛人年齡、使用年限、車型、地區(qū)等等，傳統(tǒng)定價方法很難將這些因素進行全面考量，利用廣義線性模型可以將這些影響因素全都納入其中，一方面是模型可以運用統(tǒng)計方法檢驗，能達到更好的擬合效果，另一方面，可以實現差異化定價，在必要情況下能夠滿足不同群體的需求。

未決賠款準備金目前的做法大多為鏈梯法，使用累積賠款的流量三角形計算鏈梯比率和進展因子，并在此基礎上估計準備金，但是它用到的參數較多，模型穩(wěn)定性可能會較差，且不能直接預測尾部賠款。廣義線性模型同樣可以用于準備金的計算，利用賠付數據的流量三角形進行建模，作出參數估計，可以直接預測各個進展期的賠款。

在壽險產品定價中，各年齡段死亡率預測的精確程度直接影響著費率的厘定。在目前死亡率逐年改善的趨勢下，使用經驗生命表容易低估長壽風險，引進廣義線性模型可以動態(tài)預測各年齡層在各個年份的死亡率變化，但是這一過程計算量較大，在實際工作中的可操作性有待商榷。對再保公司而言，主要承保的是死亡風險的產品，死亡率的改善是利好的，使用經驗生命表進行定價會相對保守，對死亡率動態(tài)修勻的需求相對較弱。

對于健康險而言，過去的賠付經驗對定價的指導意義更大，經驗分析也就顯得尤為重要。目前的工作中主要還是用鏈梯法來預測IBNR，這種方法可操作性強，技術難度低，精算師可以靈活加入個人經驗，有其一定的優(yōu)勢，但是也存在計算繁瑣，無法直接計算尾部賠款等不足。