田 聰， 李 琳， 宋雅吾， 張鵬寧， 王曉燕， 程志光， 劉蘭榮,聶京凱， 樊 超(. 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 華北電力大學(xué)， 北京 006； . 國(guó)家硅鋼工程技術(shù)研究中心， 湖北 武漢 0080； . 保定天威保變電氣股份有限公司， 河北 保定 07056;. 國(guó)家電網(wǎng)全球能源互聯(lián)網(wǎng)研究院， 北京 009)

1 引言

并聯(lián)電抗器對(duì)于保持電力系統(tǒng)無功平衡，提高電力系統(tǒng)穩(wěn)定性[1,2]有重要作用。但由于并聯(lián)電抗器鐵心的多氣隙結(jié)構(gòu)和強(qiáng)漏磁場(chǎng)的工作特點(diǎn)，在其運(yùn)行過程中振動(dòng)和噪聲問題非常突出，這不僅產(chǎn)生噪聲污染，同時(shí)也會(huì)對(duì)并聯(lián)電抗器的安全穩(wěn)定運(yùn)行產(chǎn)生不利影響，因而并聯(lián)電抗器的振動(dòng)噪聲問題引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[3]指出并聯(lián)電抗器振動(dòng)噪聲的來源主要有：①鐵心漏磁作用在繞組上產(chǎn)生的洛倫茲力引起的繞組振動(dòng)；②作用于鐵心表面的麥克斯韋力引起的鐵心振動(dòng)和鐵心磁致伸縮效應(yīng)產(chǎn)生的振動(dòng)。由于正常工況下并聯(lián)電抗器繞組所受洛倫茲力遠(yuǎn)小于麥克斯韋力和等效磁致伸縮力，因而在并聯(lián)電抗器振動(dòng)分析中一般忽略其影響，主要考察麥克斯韋力和磁致伸縮效應(yīng)導(dǎo)致的并聯(lián)電抗器鐵心振動(dòng)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)電力設(shè)備振動(dòng)問題進(jìn)行了大量研究。Peng Shuai基于麥克斯韋力和繞組洛倫茲力考察了中頻中壓變壓器的振動(dòng)問題[4]。Gao Yanhui等在考慮電磁力和磁致伸縮效應(yīng)的基礎(chǔ)上對(duì)并聯(lián)電抗器的磁場(chǎng)和振動(dòng)場(chǎng)分布做了深入研究[5-7]，其具體做法如下：首先通過數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算空間磁場(chǎng)分布，然后利用該磁場(chǎng)解來求解并聯(lián)電抗器鐵心所受電磁力；同時(shí)按照文獻(xiàn)[8]所給出的節(jié)點(diǎn)力求解方法，將磁致伸縮效應(yīng)等效為磁致伸縮節(jié)點(diǎn)力，來進(jìn)行振動(dòng)求解。文獻(xiàn)[5]比較了麥克斯韋力與磁致伸縮效應(yīng)對(duì)并聯(lián)電抗器振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[6]提出采用尋找最佳硬度的絕緣材料來填充鐵心氣隙以降低并聯(lián)電抗器振動(dòng)的方法。文獻(xiàn)[7]采用一種近似的均勻化方法來等效疊片鐵心并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證。文獻(xiàn)[9]主要分析了各類諧波狀況對(duì)電抗器所受麥克斯韋力及其振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[10]在考慮磁致伸縮效應(yīng)和電磁力的基礎(chǔ)上對(duì)可控飽和并聯(lián)電抗器振動(dòng)進(jìn)行了仿真分析，具有一定的參考意義。

文獻(xiàn)[4-10]對(duì)電抗器振動(dòng)的研究集中在額定負(fù)載情況下的振動(dòng)特性，并未涉及對(duì)輕載情況下電抗器的振動(dòng)分析，同時(shí)也未指出不同工況下電抗器振動(dòng)分析的差異。本文在考慮不同負(fù)載對(duì)電抗器振動(dòng)影響的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)制作了一臺(tái)并聯(lián)電抗器試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，并?yīng)用有限元軟件對(duì)并聯(lián)電抗器模型的磁場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算，分別在僅考慮麥克斯韋力和同時(shí)考慮麥克斯韋力及磁致伸縮效應(yīng)的情況下，對(duì)不同工況下的并聯(lián)電抗器振動(dòng)進(jìn)行了仿真分析，并將計(jì)算結(jié)果同實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。

2 電磁與振動(dòng)特性分析方法

2.1 磁場(chǎng)方程

并聯(lián)電抗器正常運(yùn)行時(shí)，由繞組電流激勵(lì)在鐵心中產(chǎn)生交變磁場(chǎng)。該時(shí)諧場(chǎng)所滿足的方程為：

(2)

式中，H為磁場(chǎng)強(qiáng)度；E為電場(chǎng)強(qiáng)度；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；J為電流密度；t為時(shí)間。引入矢量磁位A，可得到：

(3)

式中，ν為磁阻率。而電流密度J可表示為：

(4)

式中，N為線圈匝數(shù)；Icoil為線圈電流；S為繞組截面積；ecoil為導(dǎo)線方向矢量。根據(jù)式(1),式(2)和式(3)，利用三維渦流場(chǎng)求解的矢量磁位A方法，可得所需求解的方程為：

(5)

式中，σ為媒質(zhì)的電導(dǎo)率；Js為外加激勵(lì)電流密度。根據(jù)所施加邊界條件，結(jié)合式(5)，即可求解得到所需的矢量位A以及磁通密度值B。

2.2 麥克斯韋力

在求得鐵心磁通密度分布之后，按式(6)求解作用在鐵心表面的麥克斯韋應(yīng)力，然后對(duì)其在鐵心表面按照式(7)積分得到鐵心所受麥克斯韋力。計(jì)算中忽略疊片鐵心的端部效應(yīng)，則鐵心表面麥克斯韋力的求解如下[11]：

(6)

(7)

式中，p為麥克斯韋應(yīng)力；μ0為真空磁導(dǎo)率；n為求解表面法向單位矢量；B為求解表面磁通密度；F為求解表面麥克斯韋力；S為求解表面。式(6)和式(7)表示成麥克斯韋張量公式為：

(8)

(9)

式中，ΤMax為張量形式的麥克斯韋應(yīng)力；下標(biāo)x、y和z表示變量在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)分量。麥克斯韋應(yīng)力的方向與磁力線的方向相同，其穿過磁媒質(zhì)表面時(shí)產(chǎn)生拉壓力，而其大小與其所穿磁媒質(zhì)表面法向分量的大小有關(guān)。并聯(lián)電抗器鐵心表面麥克斯韋力在其氣隙表面最大，因在忽略氣隙邊緣磁通時(shí)，氣隙處磁力線幾乎是垂直穿過鐵心外表面。并聯(lián)電抗器的鐵心結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，所以麥克斯韋力在單個(gè)鐵心餅氣隙表面方向相反；但由于存在漏磁場(chǎng)，單個(gè)鐵心餅上下兩個(gè)氣隙表面上的法向磁場(chǎng)不是嚴(yán)格相等，法向凈麥克斯韋力不為零。

2.3 磁致伸縮效應(yīng)

磁致伸縮效應(yīng)與鐵磁物質(zhì)的磁化過程有關(guān)。磁性材料在外加磁場(chǎng)的作用下，其自身會(huì)磁化，磁化過程中其內(nèi)部原本隨機(jī)取向的磁疇此時(shí)取向排列，導(dǎo)致其長(zhǎng)度在磁化方向上的伸長(zhǎng)或縮短[12，13]。這種長(zhǎng)度的改變會(huì)在材料內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力，稱為磁致伸縮應(yīng)力。該效應(yīng)是造成電力變壓器和并聯(lián)電抗器鐵心振動(dòng)的主要原因之一[14-16]。本文采用彈性力學(xué)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系將磁致伸縮應(yīng)變等效為磁致伸縮應(yīng)力，然后作為體載荷進(jìn)行計(jì)算分析。具體做法為：首先根據(jù)測(cè)量得到的磁致伸縮蝴蝶曲線提取出磁致伸縮峰峰值和磁通密度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后利用三次樣條插值方法，獲得磁通密度與磁致伸縮值的函數(shù)關(guān)系；將該函數(shù)關(guān)系與所求磁場(chǎng)結(jié)合，來求解磁致伸縮效應(yīng)引起的鐵心振動(dòng)位移。

三維彈性體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為[17]:

σ=Dε

(10)

式中，ε為磁致伸縮應(yīng)變；σ為等效磁致伸縮應(yīng)力；D為三維線彈性材料的彈性張量，其表達(dá)式為:

(11)

其中，E為材料楊氏模量；α為材料泊松比；P和Q分別為：

(12)

(13)

其中，I為三階單位矩陣。

將磁致伸縮應(yīng)變代入式(10)中，可以求得鐵心磁致伸縮效應(yīng)產(chǎn)生的磁致伸縮應(yīng)力。

2.4 鐵心振動(dòng)特性分析

任意連續(xù)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的微分方程為：

(14)

(15)

同時(shí)代入磁致伸縮力與麥克斯韋力，得：

(16)

式中，F(xiàn)(t)em為廣義電磁力，由磁致伸縮力和麥克斯韋力構(gòu)成，同時(shí)根據(jù)磁致伸縮應(yīng)力和麥克斯韋應(yīng)力計(jì)算電磁力的公式為：

F(t)em=F(t)Max+F(t)ms

(17)

(18)

式中，F(xiàn)(t)Max為麥克斯韋力；F(t)ms為磁致伸縮力；σMax和σms分別為麥克斯韋應(yīng)力和磁致伸縮應(yīng)力。將式(18)代入式(16)可得最終求解方程：

(19)

對(duì)偏微分方程式(16)采用有限元方法進(jìn)行離散，得到電磁機(jī)械耦合矩陣[3，18]:

(20)

式中，M為電磁剛度矩陣；D為位移對(duì)物質(zhì)磁化特性的影響矩陣；C為物質(zhì)磁化過程對(duì)位移的影響矩陣；K為電磁剛度矩陣；x為位移。分析中忽略位移對(duì)物質(zhì)磁化影響，因此D=0，同時(shí)調(diào)整方程得：

(21)

F(t)em=-CA

(22)

通過求解式(21)、式(22)可以得到并聯(lián)電抗器鐵心振動(dòng)位移。將式(21)求解得到的位移x代入式(23)：

(23)

求得鐵心應(yīng)變?chǔ)拧?/p>

3 實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果分析

3.1 并聯(lián)電抗器試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

本文設(shè)計(jì)制作了一臺(tái)單相并聯(lián)電抗器試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，該模型如圖1所示。鐵心外尺寸為570mm×598mm×61mm，關(guān)于中線對(duì)稱開兩窗口，窗口尺寸為114.5mm×429mm，兩旁柱分別寬80.5mm，兩繞組串聯(lián)，分繞于兩旁柱之上。中心柱寬180mm，其距底軛214.5mm處開一2mm氣隙以達(dá)到所需的電感值。

圖1 單相并聯(lián)電抗器試驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.1 Single phase shunt reactor model

3.2 實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果分析

本文以圖1所示的單相并聯(lián)電抗器試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑檠芯繉?duì)象，通過有限元方法計(jì)算得到并聯(lián)電抗器模型的磁通密度分布，然后根據(jù)該分布根據(jù)式(8)計(jì)算出作用在并聯(lián)電抗器模型鐵心表面的麥克斯韋應(yīng)力，將該力作為并聯(lián)電抗器振動(dòng)的激振力施加于并聯(lián)電抗器鐵心表面，從而通過求解振動(dòng)方程來實(shí)現(xiàn)并聯(lián)電抗器振動(dòng)場(chǎng)的求解。在仿真分析中同時(shí)考慮了麥克斯韋力和磁致伸縮對(duì)并聯(lián)電抗器振動(dòng)的影響。對(duì)模型并聯(lián)電抗器在不同工作電壓條件下的磁通密度分布和機(jī)械振動(dòng)特性等進(jìn)行了分析。仿真分析中對(duì)模型并聯(lián)電抗器進(jìn)行的網(wǎng)格剖分如圖2所示。

圖2 并聯(lián)電抗器試驗(yàn)?zāi)Ｐ途W(wǎng)格剖分圖Fig.2 Mesh generation of model shunt reactor

圖3 模型并聯(lián)電抗器鐵心H-B曲線Fig.3 Iron core H-B curve of model shunt reactor

圖4 磁致伸縮隨磁通密度變化曲線Fig.4 Magnetostriction-B curve

模型用硅鋼片磁化特性曲線如圖3所示。根據(jù)測(cè)量得到硅鋼片磁致伸縮蝴蝶曲線，提取出磁致伸縮峰峰值和磁通密度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)果如圖4所示。

模型工作頻率為50Hz，采用電壓源激勵(lì)方式。在時(shí)域求解器設(shè)置中，取時(shí)間步長(zhǎng)為0.5ms，求解總時(shí)長(zhǎng)為15個(gè)周期。為了準(zhǔn)確求解氣隙處磁密，氣隙附近處鐵心網(wǎng)格做了特別細(xì)化?？紤]原模型的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，為減少計(jì)算量，截取原模型一半進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算。

采用改變工作電壓的方法來改變并聯(lián)電抗器的工況，并聯(lián)電抗器在0.3s時(shí)磁通密度分布如圖5所示。根據(jù)仿真結(jié)果，鐵心氣隙附近磁通密度隨著激勵(lì)電壓的增大而不斷增大，分別為0.43T和1.0T。而鐵心最大磁密也隨激勵(lì)電壓增大而增大，且均出現(xiàn)在鐵心柱軛搭疊轉(zhuǎn)角處，分別為1.0T和1.57T。圖1中測(cè)點(diǎn)A處實(shí)驗(yàn)測(cè)得平均磁密與同一測(cè)點(diǎn)仿真結(jié)果對(duì)比如表1所示?？芍獙?shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果基本符合。

圖5 不同電壓下并聯(lián)電抗器磁通密度分布圖Fig.5 Flux distribution under different voltage for shunt reactor

表1 測(cè)磁線圈與仿真磁通密度(平均值)對(duì)照表Tab.1 Contrast table for flux density of measured and simulated

表1顯示，并聯(lián)電抗器磁通密度仿真值與實(shí)驗(yàn)值誤差最大值小于1%，可以認(rèn)為仿真值與實(shí)驗(yàn)值吻合,仿真計(jì)算能夠真實(shí)反映并聯(lián)電抗器的電磁特性。圖6給出了0.3s時(shí)鐵心氣隙處麥克斯韋應(yīng)力z軸分量在不同工況下的值。

圖6 不同工況下氣隙麥克斯韋應(yīng)力z分量分布Fig.6 Distribution of Maxwell force z component in air gap under various voltage

由圖6可以看出，麥克斯韋力主要作用于磁通密度垂直穿出鐵心表面處。對(duì)比不同工況下鐵心所受麥克斯韋力可知，該力的大小與并聯(lián)電抗器工況有關(guān)，兩種工況下鐵心單位面積上麥克斯韋力z分量最大值相差一個(gè)量級(jí)，分別為65kPa和330kPa。

在振動(dòng)位移求解時(shí)，并聯(lián)電抗器下鐵軛底部設(shè)定位移為零，即固定約束，用以模擬鐵心體站立時(shí)的約束狀態(tài)。圖7為不同控制電壓下僅麥克斯韋力作用引起并聯(lián)電抗器鐵心振動(dòng)的位移場(chǎng)?？梢钥闯?，并聯(lián)電抗器最大位移發(fā)生在中間鐵心柱氣隙處，電壓150V時(shí)為1.65μm，350V時(shí)為23.2μm。對(duì)比可知，鐵心麥克斯力引起的并聯(lián)電抗器振動(dòng)位移隨工作電壓的增大而增大，這與分析是一致的。因?yàn)閺氖?8)可知，麥克斯韋力與磁通密度是正相關(guān)的。

圖7 僅麥克斯韋力作用時(shí)不同控制電壓下并聯(lián)電抗器的鐵心位移Fig.7 Displacement of iron core under various voltages when only Maxwell force excitation

圖8為0.3s時(shí)，鐵心在麥克斯韋力和磁致伸縮效應(yīng)共同作用下產(chǎn)生的位移分布圖。

圖8 考慮麥克斯韋力和磁致伸縮效應(yīng)的并聯(lián)電抗器位移Fig.8 Displacement of shunt reactor considering magnetostriction and Maxwell force

分析圖8可知，在麥克斯韋力和磁致伸縮應(yīng)力共同作用時(shí)，鐵心的最大位移依然發(fā)生在鐵心柱氣隙處。對(duì)比圖7和圖8可得各類工況下是否考慮磁致伸縮時(shí)的最大位移及產(chǎn)生的誤差，結(jié)果如表2所示。

表2 各工況下是否考慮磁致伸縮時(shí)的最大位移及產(chǎn)生的誤差Tab.2 Error when taking or not taking magnetostriction in analysis under various working conditions

由表2可以看出，并聯(lián)電抗器鐵心工作在0.47T的低磁密狀態(tài)下時(shí)，分析其振動(dòng)不考慮磁致伸縮效應(yīng)將造成高達(dá)400%的誤差。而當(dāng)其工作在1.1T的高磁密狀態(tài)下時(shí)，不考慮磁致伸縮效應(yīng)在振動(dòng)位移分析中產(chǎn)生的誤差僅為約2.1%。即磁致伸縮效應(yīng)在并聯(lián)電抗器鐵心振動(dòng)位移中的貢獻(xiàn)與其工作磁通密度有關(guān)。因此在進(jìn)行并聯(lián)電抗器振動(dòng)位移分析時(shí)，若鐵心處于磁通密度較低的輕載工況下，則在位移分析時(shí)必須考慮磁致伸縮效應(yīng)的影響，否則就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤；若負(fù)載較大或處于額定負(fù)載，此時(shí)鐵心磁通密度接近或者處于飽和，那么分析時(shí)可以不計(jì)入鐵心磁致伸縮效應(yīng)對(duì)振動(dòng)位移的影響，這種簡(jiǎn)化可以滿足工程所需的精度要求。

圖9為150V電壓下并聯(lián)電抗器測(cè)點(diǎn)A處的振動(dòng)加速度實(shí)驗(yàn)仿真波形對(duì)比?？芍?，加速度的測(cè)量值和仿真計(jì)算值波形相符，而極值有一定誤差。

圖9 150V激勵(lì)時(shí)加速度實(shí)驗(yàn)與仿真波形對(duì)比Fig.9 Acceleration wave contrast of measured and simulation under 150V excitation

造成實(shí)驗(yàn)與仿真誤差的原因有以下幾點(diǎn)：

(1)實(shí)際并聯(lián)電抗器底部并不是嚴(yán)格固定約束。

(2)實(shí)驗(yàn)過程中調(diào)壓器波形不嚴(yán)格正弦。

(3)試驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)儀器放置于木桌上，這也會(huì)影響實(shí)驗(yàn)的精確度。

(4)并未考慮固有頻率對(duì)并聯(lián)電抗器振動(dòng)造成的影響。

控制上述影響因素在實(shí)驗(yàn)中所產(chǎn)生的誤差是產(chǎn)生較好實(shí)驗(yàn)仿真匹配曲線的關(guān)鍵。

4 結(jié)論

本文圍繞一臺(tái)單相并聯(lián)電抗器模型，對(duì)其進(jìn)行了系列振動(dòng)實(shí)驗(yàn)及三維的電磁機(jī)械耦合振動(dòng)分析。測(cè)量了模型在不同工況下的磁通密度和振動(dòng)加速度曲線，同時(shí)仿真研究了該模型在不同工況下的磁場(chǎng)分布及麥克斯韋力和磁致伸縮共同作用下的振動(dòng)位移及加速度。實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果對(duì)比表明：

(1)在輕載工況下，磁通密度較低，分析電抗器振動(dòng)應(yīng)同時(shí)考慮電磁力和磁致伸縮效應(yīng)的影響。

(2)在額定工況下，磁通密度較高時(shí)，分析電抗器振動(dòng)時(shí)，是否考慮磁致伸縮效應(yīng)已不會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

因此可以得出結(jié)論：電磁力和磁致伸縮效應(yīng)對(duì)并聯(lián)電抗器振動(dòng)的影響與工作磁通密度有關(guān)。磁致伸縮效應(yīng)對(duì)其振動(dòng)的貢獻(xiàn)隨工作磁通密度的增大逐漸減弱，到接近于額定工況時(shí)，電抗器振動(dòng)分析可以僅考慮電磁力的影響而忽略磁致伸縮效應(yīng)。

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