李磊，葉友皓，袁永生

（河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京211100）

在工程實(shí)踐中，由于電子產(chǎn)品的特性、運(yùn)行成本等因素的影響，一般不可能進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)。從而造成實(shí)際能獲取的指標(biāo)樣本數(shù)據(jù)往往是小樣本數(shù)據(jù)，采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法得到評(píng)估結(jié)果可信度一般都比較低。想要提高評(píng)估結(jié)果精度，縮短置信區(qū)間，就需要增加試驗(yàn)數(shù)據(jù)。目前，工程領(lǐng)域已經(jīng)擁有不少成熟的方法來處理小樣本問題[1-3]，這些方法大致可以分為兩大類：一類是傳統(tǒng)的估計(jì)方法Bayesian方法，該方法因?yàn)槟軌蚶脷v史信息和專家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息從而得到了廣泛應(yīng)用。但是由于驗(yàn)前信息來源廣泛各異，而且其分布形式的選擇也帶有很大的主觀性，使得Bayesian方法常常備受爭(zhēng)議，相比之下另外一類方法是以Bayesian Bootstrap方法為代表的方法[4-6]。該方法不需要任何的主觀假設(shè)和額外信息、完全依賴于試驗(yàn)樣本本身信息且具有良好的穩(wěn)健性，工程上易實(shí)現(xiàn)，比較適合分析小樣本問題[7]。

但是這種方法在特小樣本情況下，其估計(jì)結(jié)果可信度[15]會(huì)降低。針對(duì)這種情況，本文提出了改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法，這種方法的好處在于適當(dāng)擴(kuò)大樣本量的同時(shí)，合理的引進(jìn)了深度函數(shù)[16]以降低異常點(diǎn)的權(quán)重、緩解了異常點(diǎn)對(duì)整體數(shù)據(jù)的影響、充分的利用了全部樣本數(shù)據(jù)。從而在相同的置信水平下，有效的提高了預(yù)測(cè)精度，縮短了置信區(qū)間，使區(qū)間估計(jì)更具有穩(wěn)健性。

1 產(chǎn)品性能參數(shù)的概念

從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度分析，產(chǎn)品性能參數(shù)[4]的研究可以歸為參數(shù)估計(jì)的范疇，是參數(shù)估計(jì)的具體實(shí)例。大量產(chǎn)品的性能參數(shù)我們都可以抽象的看成是某一個(gè)具體的隨機(jī)變量。為了下文的敘述方便，我們?cè)诒疚闹杏秒S機(jī)變量X來表示某種產(chǎn)品的任一性能參數(shù)。通過大量的試驗(yàn)表明，隨機(jī)變量X通常是服從正態(tài)分布的，通常情況下要求產(chǎn)品的性能參數(shù)應(yīng)該始終在允許的誤差范圍內(nèi)，即：

式（1）中，X?表示性能參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)值；ΔX是性能參數(shù)允許的最大偏差。于是有

在（2）（3）中：XS表示性能參數(shù)的允許上限[8]，XI表示性能參數(shù)的允許下限。

2 Bayesian Bootstrap仿真方法簡(jiǎn)介及應(yīng)用

2.1 Bayesian Bootstrap方法簡(jiǎn)介

在工程研究中，假設(shè)某種產(chǎn)品的性能參數(shù)X獨(dú)立同分步，其樣本數(shù)據(jù)為(X1,X2,…,Xn)，記為樣本X。其中Xi服從正態(tài)分布N(μ,σ2)μ,σ2未知，i=1,2,.…n,n為試驗(yàn)的樣本總數(shù)，由上文可知性能參數(shù)評(píng)估的關(guān)鍵是μ和σ2的確定 所以如何利用Bayesian Bootstrap方法[14]來更精確的估計(jì)μ和σ2是至關(guān)重要的。該方法的步驟[9]如下：

1）在區(qū)間(0,1)產(chǎn)生n-1個(gè)分布均勻隨機(jī)數(shù)，U1,U2,…,Un-1，令U0=0,Un=1構(gòu)造隨機(jī)變量序列Vi=Ui-Ui-1(1,2,…,n)，顯然有V1+V2+…Vn=1.0 且上述隨機(jī)變量滿足Dirichlet分布。

2）試驗(yàn)樣本均值

3）試驗(yàn)樣本方差

4）重復(fù)步驟1）至3），直到上式（4）（5）計(jì)算結(jié)果的平均值達(dá)到穩(wěn)定為止，從而求出均值和方差的估計(jì)。顯然該方法的實(shí)質(zhì)就是針對(duì)小樣本，通過數(shù)字仿真來增大樣本量，從而更好的達(dá)到參數(shù)估計(jì)的目的。

2.2 Bayesian Bootstrap方法試用范圍相關(guān)分析

根據(jù)已有的相關(guān)研究經(jīng)驗(yàn)[5]可以知道，Bayesian Bootstrap方法參數(shù)估計(jì)精度的高低嚴(yán)重依賴于樣本X的容量，只有當(dāng)樣本容量n比較大時(shí)，樣本均值θμ和樣本方差θS的估計(jì)值才能更好的逼近μ和σ2，這主要是因?yàn)樵摲椒ㄊ窃谄湓行畔⒌幕A(chǔ)上產(chǎn)生一定量的隨機(jī)數(shù)來擴(kuò)大樣本容量，從而以達(dá)到參數(shù)估計(jì)的目的。然而在樣本量特別小的情況下（n≤10），θμ和θS與μ和σ2之間產(chǎn)生的差異就會(huì)比較大。文獻(xiàn)[9]中認(rèn)為樣本容量在10左右就可以用Bayesian Bootstrap方法。下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來進(jìn)行說明，在這種情況下用Bayesian Bootstrap方法來進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果可能會(huì)與參數(shù)的真實(shí)值差別過大。

假設(shè)某種產(chǎn)品的性能參數(shù)服從正態(tài)分布N(100,25)，從中隨機(jī)抽取兩組樣本，樣本容量n=10。

利用Bayesian Bootstrap方法分別對(duì)樣本一和樣本二作出均值和方差的抽樣分布如圖1所示。

圖1 樣本一和樣本二均值和方差的抽樣分析圖

假設(shè)其仿真次數(shù)為10 000次。由圖可以看出用此種方法仿真出來的均值都集中在μ附近，然而樣本仿真出來的方差則偏離σ2較大，當(dāng)樣本容量過于小時(shí)，用Bayesian Bootstrap方法仿真得出結(jié)果的可信度是值得懷疑的，有待進(jìn)一步推敲。鑒于上述問題，應(yīng)盡力尋找一種方法。該方法應(yīng)該盡量達(dá)到擴(kuò)大樣本容量的目的。

3 改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法簡(jiǎn)述

針對(duì)上述方法產(chǎn)生的問題，本文提出了對(duì)Bayesian Bootstrap方法[13]的進(jìn)一步改進(jìn)措施，在介紹改進(jìn)方法之前，先介紹一種穩(wěn)健的區(qū)間估計(jì)方法:改進(jìn)的PWM方法[10-12]，PWM方法是一種由左義君首次提出的一種有效，穩(wěn)定的區(qū)間估計(jì)法。這種方法的好處在于對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理，并合理的利用深度函數(shù)來減少異常點(diǎn)和重尾分布的影響。但是從已有的文獻(xiàn)中可以看出、該方法本身是存在缺陷的。特別是樣本容量較小的情況下，會(huì)出現(xiàn)溢出、按深度截尾得到的區(qū)間會(huì)出現(xiàn)倒置的情況。基于PWM方法本身的優(yōu)點(diǎn)、和其可能存在的缺陷。本文介紹了一種改進(jìn)的PWM方法[10]，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)原來的深度函數(shù)進(jìn)行了重新定義，并使用深度函數(shù)來抑制異常點(diǎn)的影響，從而使得到的置信區(qū)間更加精確。

3.1 改進(jìn)的PWM方法

1）設(shè)X=(x1,x2,…xn)為任意樣本，令Med（X)作為樣本的中位數(shù)、MAD(X)作為{x-Med(X),(i=1,2,…n)}的中位數(shù)。

2）定義深度函數(shù)：

3）定義權(quán)函數(shù)：

該權(quán)函數(shù)是負(fù)指數(shù)類型的權(quán)函數(shù)，這里的k是正整數(shù)，c是權(quán)重的控制系數(shù)，m是影響半徑。

4）定義深度加權(quán)平均PWM:ωi=ω(PD(xi,X)),,在這里，可以證明PWM不僅是具有漸進(jìn)正態(tài)性的，而且還有PWM(X)→μ(n→∞ )。

5）利用Bayesian Bootstrap方法對(duì)原始樣本進(jìn)行抽樣，可以得到B個(gè)樣本，對(duì)每一個(gè)樣本都按照上述步驟，可以得到PWM(1)PWM(2)…PWM(B)，對(duì)這些值，按照從小到大的順序排序，可以得到PWM(1)，PWM(2)，…PWM(B)，然后可以按照百分位法截尾，可以得到置信水平為1-α的置信區(qū)間是。

3.2 改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法

假定(X1,X2…Xn)是隨機(jī)來自總體的的n個(gè)樣本，將這n個(gè)數(shù)據(jù)按時(shí)間順序分成K組，每組數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度記為h，記為B1=(X1,…Xh),…BK=(XK,…Xn),其中K=n-h+1；經(jīng)過拆分，就是指對(duì)這K組數(shù)據(jù)進(jìn)行了重新抽樣，如果n可以整除h，將這n h個(gè)數(shù)據(jù)組重新拼在一起的樣本容量大小仍然為n。對(duì)樣本的重組擴(kuò)充步驟[5]如下：

1）將B1=(X1,…Xn)中的數(shù)據(jù)按順序從小到大排列，排好的數(shù)據(jù)為：(X(1),X(2)…X(h))，對(duì)順序統(tǒng)計(jì)量X(i)的觀測(cè)值x(i)作如下的鄰域：

這里的p≥2。

2）在鄰域U1=[x(1)-(x(2)-x(1))/p,x(1)+(x(2)-x(1))/p]中取得x(0)在鄰域Uh=[x(h)-(x(h)-x(h-1))/p,x(h)+(x(h)-x(h-1))/p]中取得x(h+1)；通過這種方式，把第一組的樣本量擴(kuò)充為h+2個(gè)。

3）重復(fù)上述步驟1)～2)，可以將這K組數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本容量的擴(kuò)充，那么擴(kuò)充后的樣本容量增加為n+2K個(gè)。

4）把這K組擴(kuò)充后的樣本再合并，作為再生樣本進(jìn)行抽樣，并且利用Bayesian Bootstrap方法對(duì)擴(kuò)充合并后的樣本進(jìn)行再抽樣得到B1個(gè)樣本，對(duì)于這每一個(gè)樣本都按照3.1中的步驟進(jìn)行，可以得到改進(jìn)后 置 信 水 平 為 1-α的 置 信 區(qū) 間 是。

3.3 改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法與經(jīng)典方法和百分位法優(yōu)良性的比較

本文分別選取正態(tài)總體N(0,1)，泊松分布總體P(4)以及指數(shù)分布總體Exp(1/4)，然后運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行模擬抽樣，分別取出服從這3種分布的隨機(jī)樣本，令樣本容量分別為7，10，20，并且取重抽樣的次數(shù)M為500次。運(yùn)用經(jīng)典方法、百分位法、及改進(jìn)的Bayesian Bootstrap進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，程序運(yùn)行得到的結(jié)果如表1所示。通過表1可以看出：在分布是同一總體的分布下，改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法較傳統(tǒng)經(jīng)典方法和百分位法得到的結(jié)果更好，精度更高，而且所得到的置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度也更短。

表1 3種方法下3種分布置信水平為95%的隨機(jī)模擬500次置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度

4 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，我們以航天飛機(jī)的某種電子元件為例來進(jìn)行驗(yàn)證分析。假設(shè)這種電子元件的壽命服從正態(tài)分布，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得其壽命為：1 216.36，1 208.73，1 214.38，1206.27，1116.72，1178.37，1259.46，1142.68，1259.55，1 259.46。借助計(jì)算機(jī)仿真10 000次，然后我們分別用傳統(tǒng)的小樣本估計(jì)方法、Bayesian Bootstrap方法、改進(jìn)Bayesian Bootstrap方法來對(duì)參數(shù)μ作點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。

如果我們采用傳統(tǒng)的方法來計(jì)算，可以得到μ的點(diǎn)估計(jì)μˉ=1 200.6，則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為[1 173.88,1 226.26]因?yàn)閚=10樣本容量非常小，如果直接采用傳統(tǒng)的方法來對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，則所得到結(jié)果可信度將是大打折扣的，如果考慮運(yùn)用改進(jìn)Bayesian Bootstrap方法。構(gòu)造并產(chǎn)生N=10 000組的自助統(tǒng)計(jì)量，運(yùn)用經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法及Bayesian Bootstrap方法和改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法方法得到參數(shù)μ的點(diǎn)估計(jì)見表2。

表2 3種方法的評(píng)估結(jié)果比較表

由表2的數(shù)據(jù)顯示，改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法對(duì)參數(shù)μ的點(diǎn)估計(jì)與參數(shù)的真實(shí)值是最接近的，精度也有所提高。而且在置信度相同的情況下對(duì)參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)精度明顯要比經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法、和Bayesian Bootstrap方法要好。

5 結(jié)束語

在樣本容量為小樣本數(shù)據(jù)的情況下，本文提出一種改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法，通過相關(guān)的數(shù)據(jù)模擬和實(shí)例驗(yàn)證分析，分別比較了經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法、百分位方法和改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法、結(jié)果顯示改進(jìn)的Bayesian Bootstrap方法較之以前的方法具有更高的精度，在同等置信水平下，得到置信區(qū)間的長(zhǎng)度較短，真值覆蓋率較高。因此該方法能夠很好的應(yīng)用于武器精度，和產(chǎn)品壽命等小樣本估計(jì)問題的相關(guān)領(lǐng)域中。

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