李明，張任強(qiáng)

（北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100191）

高分辨率對(duì)地觀測(cè)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于軍事偵察、基礎(chǔ)測(cè)繪、災(zāi)害監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域。由于外部環(huán)境和自身擾動(dòng)等因素的影響，攝像載荷難以保持理想的穩(wěn)定狀態(tài)，使得視軸失穩(wěn)，導(dǎo)致成像質(zhì)量下降，分辨率降低[1-3]。為提高成像質(zhì)量，可將慣性穩(wěn)定平臺(tái)安裝于飛行器和遙感載荷之間，利用慣性穩(wěn)定平臺(tái)有效隔離載體的擾動(dòng)及非理想姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，為攝像載荷提供穩(wěn)定的工作環(huán)境，提高對(duì)地觀測(cè)的精度[4-7]。

載體運(yùn)動(dòng)以及其他擾動(dòng)作用于慣性穩(wěn)定平臺(tái)形成不同的擾動(dòng)力矩，在擾動(dòng)力矩的作用下慣性穩(wěn)定平臺(tái)會(huì)發(fā)生受迫振動(dòng)，當(dāng)振動(dòng)頻率接近平臺(tái)系統(tǒng)固有頻率時(shí)會(huì)引發(fā)共振，導(dǎo)致穩(wěn)定平臺(tái)無(wú)法正常工作[8-11]。因此，為了提高慣性穩(wěn)定平臺(tái)的穩(wěn)定精度，需要進(jìn)行振動(dòng)抑制。

振動(dòng)抑制方法主要包括被動(dòng)減振和主動(dòng)減振，由于被動(dòng)減振方法不需要依靠外部能源，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性好、成本低等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于慣性穩(wěn)定平臺(tái)減振[12-20]。

1 振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

正文部分需給出系統(tǒng)設(shè)計(jì)的具體應(yīng)用振動(dòng)系統(tǒng)分為線(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)與角振動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以牛頓第二定律為基礎(chǔ)，角振動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 角振動(dòng)系統(tǒng)

角振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

其中，J為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Cθ為系統(tǒng)阻尼系數(shù)；Kθ為剛體角剛度;分別為系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)旋轉(zhuǎn)軸的角加速度、角速度和角位移；Td為引起系統(tǒng)振動(dòng)的外部干擾力矩。根據(jù)式（1）可得角振動(dòng)系統(tǒng)固有角頻率。

1.2 單自由度系統(tǒng)受迫角振動(dòng)

系統(tǒng)在外界激勵(lì)作用下產(chǎn)生的角振動(dòng)稱(chēng)為強(qiáng)迫角振動(dòng)或受迫角振動(dòng)，外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，而一般的周期性激勵(lì)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加，所以研究簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的單自由度系統(tǒng)受迫角振動(dòng)是進(jìn)行系統(tǒng)角振動(dòng)減振研究的基礎(chǔ)。

由式（1）可得，簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的單自由度角振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式（3）所示的微分方程的全解等于齊次方程的通解θ1(t)與非齊次方程的特解之和θ2(t)，微分方程的全解為：

θ1(t)為單自由度有阻尼自由角振動(dòng)微分方程的解，得：

設(shè)特解θ2(t)=Bsin(ωt-φ)，將其代入式（3）并化簡(jiǎn)，得：

解得：

簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的單自由度角振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的解由兩部分構(gòu)成：θ1(t)是瞬態(tài)響應(yīng)，包括由初始狀態(tài)引起的自由振動(dòng)和干擾力矩引起的自由振動(dòng)，它們隨時(shí)間的推移而消失；θ2(t)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，代表與激振力矩同頻率的強(qiáng)迫角振動(dòng)，這也是研究系統(tǒng)角振動(dòng)響應(yīng)的重點(diǎn)。

式（7）、（8）分別稱(chēng)為單自由度系統(tǒng)受迫角振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性。可知，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅和相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（J、C、k）和激振力矩的頻率和幅值，而與系統(tǒng)的初始條件無(wú)關(guān)。通過(guò)改變系統(tǒng)阻尼比可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出幅值，進(jìn)而避免激勵(lì)頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)產(chǎn)生的共振。

2 被動(dòng)減振系統(tǒng)建模與參數(shù)優(yōu)化

動(dòng)力吸振是通過(guò)將減振裝置安裝于主系統(tǒng)，通過(guò)能量轉(zhuǎn)移實(shí)現(xiàn)主系統(tǒng)振動(dòng)抑制。由其原理可知，該方法可以對(duì)擾動(dòng)力矩作用下慣性穩(wěn)定平臺(tái)產(chǎn)生的角振動(dòng)進(jìn)行抑制。以單軸穩(wěn)定平臺(tái)為例，將安裝了減振裝置的單軸穩(wěn)定平臺(tái)看作兩自由度角振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)等效模型如圖2所示。

圖2 安裝了減振裝置的單軸穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)等效模型

根據(jù)單自由度系統(tǒng)受迫角振動(dòng)數(shù)學(xué)模型建立兩自由度角振動(dòng)數(shù)學(xué)模型，建立微分方程組：

式中：J1穩(wěn)定平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，k1穩(wěn)定平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，J2減振裝置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，c2減振裝置阻尼系數(shù)，k2減振裝置轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，φ1為穩(wěn)定平臺(tái)輸出角，φ2為減振裝置輸出角。

對(duì)方程組（9）進(jìn)行拉氏變換，整理得：

由方程組（10）可得：

將式（11）由S域轉(zhuǎn)換為頻域，可得單軸穩(wěn)定平臺(tái)輸出角φ1的頻率特性：

由式（12）可知，平臺(tái)角振動(dòng)響應(yīng)與吸振裝置的參數(shù)（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、阻尼系數(shù)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度）相關(guān)，需要對(duì)吸振裝置參數(shù)進(jìn)行計(jì)算與優(yōu)化，使穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)做受迫角振動(dòng)時(shí)振動(dòng)幅最小，從而獲得最優(yōu)的減振效果。

首先，對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)受迫角振動(dòng)進(jìn)行兩種極限條件下的分析，即減振裝置阻尼系數(shù)c2=∞和c2=0：

1）當(dāng)c2=∞，即減振裝置的阻尼為無(wú)窮大時(shí)，安裝了減振裝置的穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)可等效為無(wú)阻尼單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)的振幅可表示為：

此時(shí)，系統(tǒng)有存在一個(gè)固有頻率。

2）當(dāng)c2=0，即減振裝置的阻尼系數(shù)為零時(shí)，安裝了減振裝置的穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)可等效為兩自由度無(wú)阻尼角振動(dòng)系統(tǒng)，穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)的振幅可表示為：

此時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)固有頻率。

參考單自由度系統(tǒng)受迫角振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性表達(dá)式（8），設(shè)，由式（12）得：

式（15）為安裝了吸振裝置的穩(wěn)定平臺(tái)輸出角振動(dòng)幅頻特性表達(dá)式。

當(dāng)減振裝置阻尼c2=0時(shí)，得：

當(dāng)減振裝置c2=∞時(shí)，得：

由式（16）、（17）可知，兩種極限條件下穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)位置與慣量比t、固有頻率比λ和激振力矩輸入頻率ω相關(guān)。經(jīng)推導(dǎo)，交點(diǎn)的頻率方程為：

綜上所述，當(dāng)慣性穩(wěn)定平臺(tái)與減振裝置的固有頻率比λ和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比t滿(mǎn)足條件，且減振裝置阻尼比ζ和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比t滿(mǎn)足條件時(shí)，安裝了減振裝置的慣性穩(wěn)定平臺(tái)振動(dòng)響應(yīng)幅頻特性曲線(xiàn)變化最平緩，系統(tǒng)振幅的峰值最小，減振效果最好。

3 數(shù)值仿真

利用上文推導(dǎo)的減振裝置參數(shù)優(yōu)化條件，在Matlab中進(jìn)行數(shù)值仿真。設(shè)固有頻率比λ=，慣量比，繪制減振裝置阻尼c2=∞和c2=0時(shí)慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)：

圖3 c2=∞和c2=0時(shí)慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)

由圖3可知，兩條幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，一般情況下A、B處幅值不相等。c2=∞時(shí)，系統(tǒng)有一個(gè)固有頻率；c2=0時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)固有頻率。

圖4 時(shí)慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)

由圖4可以看出，當(dāng)慣性穩(wěn)定平臺(tái)與吸振裝置的固有頻率比和慣量比滿(mǎn)足時(shí)，c2=∞和c2=0時(shí)的慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)的交點(diǎn)A和B幅值相等。

由圖5可知：1）不同阻尼比條件下的慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)都通過(guò)交點(diǎn)A和B；2）當(dāng)時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)的峰值恰好處于交點(diǎn)A、B處，此時(shí)系統(tǒng)的振幅最小，幅頻特性曲線(xiàn)變化最平緩，減振效果最好。

圖5 慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)

采用某型航空遙感慣性穩(wěn)定平臺(tái)俯仰框參數(shù)：J1=0.24 kg?m2，ω1=69.115 rad/s，采用優(yōu)化后的參數(shù)，即慣量比t=0.1，固有頻率比λ=0.909 1，阻尼比ζ=0.169 7時(shí)，根據(jù)式（9）在Simulink中建模。當(dāng)輸入正弦激勵(lì)幅值為1 N?m，頻率分別為15 Hz、11 Hz時(shí)，未安裝減振裝置和安裝了減振裝置的平臺(tái)響應(yīng)如圖6所示。

圖6 激勵(lì)幅值為1 N?m、頻率為15 Hz時(shí)的平臺(tái)響應(yīng)

圖7 激勵(lì)幅值為1 N?m、頻率為11 Hz時(shí)的平臺(tái)響應(yīng)

由圖6、圖7可知，在穩(wěn)定平臺(tái)上安裝減振裝置，可獲得良好的減振效果。如圖7所示，當(dāng)激勵(lì)頻率與原系統(tǒng)固有頻率相等時(shí)，未安裝減振裝置的平臺(tái)系統(tǒng)輸出成發(fā)散的趨勢(shì)，產(chǎn)生了共振，安裝了減振裝置的穩(wěn)定平臺(tái)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)平穩(wěn)且幅值較小，減振效果明顯。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了實(shí)現(xiàn)慣性穩(wěn)定平臺(tái)受迫角振動(dòng)抑制，在分析系統(tǒng)受迫角振動(dòng)幅頻特性的基礎(chǔ)上，建立了基于動(dòng)力吸振原理的慣性穩(wěn)定平臺(tái)角振動(dòng)減振系統(tǒng)模型，推導(dǎo)了減振裝置參數(shù)優(yōu)化方法，并通過(guò)仿真證明了該方法具有良好的角振動(dòng)減振效果。但實(shí)際應(yīng)用中，由于受到減振裝置材料、安裝空間等因素的限制，往往無(wú)法獲得理論推導(dǎo)的減振效果。因此，需要繼續(xù)深入研究，通過(guò)多種減振方式的有機(jī)結(jié)合和優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，進(jìn)一步提高對(duì)慣性穩(wěn)定平臺(tái)受迫角振動(dòng)的抑制能力。

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