趙曉運，霍亞光，宋緒丁

（1.長安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點實驗室，西安 710064；2.臺州學(xué)院 機械工程學(xué)院，臺州 318000；3.長安大學(xué) 現(xiàn)代工程訓(xùn)練中心，西安 710064）

0 引言

在現(xiàn)代制造的數(shù)控加工領(lǐng)域，CNC系統(tǒng)NURBS直接插補技術(shù)，無論是在三軸還是在多軸系統(tǒng)加工中，都受到了廣泛的重視和深入研究與發(fā)展[1～16]。隨著社會和科學(xué)技術(shù)的進步，人們對各種各樣產(chǎn)品的性能和外觀等要求日益增高，對曲面設(shè)計尤其是復(fù)雜曲面已逐漸過渡到了用NURBS參數(shù)形式統(tǒng)一表示[16～20]。而伴隨著數(shù)控加工過程的高速、高精和高效的要求，NURBS直接插補技術(shù)不僅日益凸顯重要，而且是現(xiàn)代高端數(shù)控系統(tǒng)的一個重要發(fā)展方向[1,7,10～14]。CNC系統(tǒng)插補的實質(zhì)是根據(jù)有限的輸入信息，實時完成數(shù)據(jù)點的密化工作，從而使刀具按給定精度沿著規(guī)定的軌跡運動。插補技術(shù)是CNC系統(tǒng)的核心，各種輪廓加工均是通過插補技術(shù)來實現(xiàn)的。常規(guī)的CNC數(shù)控系統(tǒng)只包含直線插補和圓弧插補功能，對于復(fù)雜的不規(guī)則的曲面，一般由CAD/CAM系統(tǒng)生成符合精度要求的刀具路徑，其實質(zhì)是將加工對象離散成大量的直線或圓弧段，然后再將數(shù)據(jù)輸入CNC系統(tǒng)，由數(shù)控系統(tǒng)執(zhí)行直線插補或圓弧插補實現(xiàn)逼近加工。理論和經(jīng)驗證明[3,6～8,14]，采用基本的直線和圓弧插補方式，在面對非圓曲線曲面加工時，其主要不足有：加工質(zhì)量和精度不高，程序量過大，加工效率偏低，因而不能適應(yīng)現(xiàn)代工業(yè)高精、高速和高效的發(fā)展要求。為了彌補上述不足，人們研究發(fā)展了參數(shù)曲線直接插補方式[8,10,21～22]。在參數(shù)曲線中，樣條曲線由于其良好的幾何特性，受到了廣泛的研究和發(fā)展?；跇訔l理論而發(fā)展起來的NURBS曲線，其特點是節(jié)點之間不等距，并用有理分式表達B樣條曲線，吸納了B樣條曲線和貝齊爾曲線的幾何形狀特點，具有分段表示和整體連續(xù)等優(yōu)良特性。目前，對于可以統(tǒng)一表達初等解析曲線和其它不規(guī)則的自由型曲線的NURBS曲線，由于其既可以較好地保留曲線的幾何特性，又具有良好的操控性等，得到了較高的重視和發(fā)展。樣條插補是指在數(shù)控程序編程時，采用參數(shù)曲線描述加工軌跡曲線，將包含曲線信息的數(shù)控加工程序輸送至數(shù)控系統(tǒng)，由數(shù)控系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)處理和曲線插補工作[14]。NURBS直接插補是基于樣條插補的思想演化而來的，也就是說，在數(shù)控編程時，直接用NURBS曲線的描述參數(shù)進行數(shù)控加工軌跡描述，曲線的插補工作由數(shù)控裝置直接計算完成，其實質(zhì)是，基于參數(shù)變化，求出相鄰兩坐標之間的增量值，然后，通過坐標軸移動來實現(xiàn)插補折線，用于逼近目標曲線。NURBS插補可以使數(shù)控機床切削運動，嚴格按照理論NURBS曲線運動[4,23]，其主要優(yōu)點有：加工精度高，刀軌光順性好，程序量小，能適應(yīng)高速、高精和高效加工等，其研究成果在不少高檔數(shù)控機床上得到了應(yīng)用。

本文基于NURBS基本理論，分析了NURBS插補的過程和實現(xiàn)方式，并通過實例，在所選定的機床上進行了加工測試，驗證了NURBS插補方式的優(yōu)良性，對工程編程實踐具有指導(dǎo)意義。

1 NURBS曲線的參數(shù)表達

一條k次NURBS曲線可以表示為一分段的有理多項式矢函數(shù)：

工程應(yīng)用中多為已知型值點條件，要求根據(jù)型值點數(shù)據(jù)構(gòu)建NURBS曲線，即曲線反求。在反求過程中，首先構(gòu)造節(jié)點矢量，不同的參數(shù)化形式對節(jié)點矢量的構(gòu)造有著較大的影響。常用的參數(shù)化形式[19，25]有：均勻參數(shù)化、積累弦長參數(shù)化、向心參數(shù)化和修正弦長參數(shù)化。當(dāng)參數(shù)化和權(quán)因子確定后，NURBS曲線坐標值計算的關(guān)鍵核心問題是控制頂點的反求?？刂祈旤c的反求，可以利用遞推定義的遞推公式，求出所有k次B樣條的表達式，然后，再利用所選參數(shù)化形式所確定的參數(shù)值與型值點的對應(yīng)值關(guān)系，列出矩陣方程，求出控制頂點。由B樣條遞推定義可知，隨著曲線次數(shù)的升高，B樣條計算的冪次也將上升，將給數(shù)值計算帶來較嚴重的波動。實際應(yīng)用中，常采用仿射變換直線段長度比不變原理所得到的矩陣表達式[18,25]計算控制頂點，該方法計算穩(wěn)定，累積誤差不敏感。

其中：

當(dāng)節(jié)點矢量、權(quán)因子和控制頂點這三個參數(shù)完全確定下來之后，便可根據(jù)NURBS曲線方程表達式進行數(shù)據(jù)計算，并進行曲線插補工作。

2 NURBS曲線插補

根據(jù)NURBS曲線的理論知識可知，當(dāng)曲線的階次確定后，該NURBS曲線可由其節(jié)點矢量、權(quán)因子矢量和控制頂點三組基本參數(shù)唯一確定。數(shù)據(jù)點參數(shù)化形式，不僅決定了節(jié)點矢量的構(gòu)建，也決定了控制頂點的反求和坐標點迭代運算的性質(zhì)。NURBS曲線插補，就是根據(jù)當(dāng)前插補點的參數(shù)，按照給定的條件，求出下一個插補點的參數(shù)，然后由NURBS曲線坐標方程，計算出下一個插補點坐標，進而由數(shù)控裝置將坐標數(shù)據(jù)傳送給驅(qū)動器，對機床進行運動控制，實現(xiàn)工件輪廓加工。

NURBS插補代碼格式的特點是將NURBS曲線三個參數(shù)（節(jié)點矢量、權(quán)因子矢量和控制頂點）作為NC程序指令的組成部分。NURBS技術(shù)在CAD/CAM領(lǐng)域已經(jīng)取得較為成熟的應(yīng)用，但在CNC系統(tǒng)領(lǐng)域仍然相對滯后。常用的方法是，在CAD中采用NURBS曲線曲面構(gòu)造出零件幾何模型，然后在CAM中進行數(shù)控編程時，將零件的幾何模型轉(zhuǎn)化為含有NURBS插補代碼的NC文件，最后，數(shù)控系統(tǒng)能夠直接識別這些代碼并進行NURBS插補運算。現(xiàn)行的三坐標NURBS插補指令，仍未形成統(tǒng)一的標準格式[10]。不少廠商如SIEMENS、FANUC等都開發(fā)出自己的帶NURBS插補功能的CNC系統(tǒng)，但不同供應(yīng)商的數(shù)控系統(tǒng)提供的NURBS插補指令G代碼不盡相同，比較典型的G代碼格式是，由G06.2作為NURBS插補開始的標志，數(shù)控裝置讀入三組NURBS刀心點數(shù)據(jù)，通過運算實現(xiàn)NURBS插補工作。本文選用現(xiàn)有的FANUC立式數(shù)控加工中心進行加工，其FANUC數(shù)控系統(tǒng)的NURBS插補功能代碼格式如表1所

示[3,24]。

表1 FANUC18i-MB系統(tǒng)的NURBS插補G代碼

通過NURBS直接插補，CNC系統(tǒng)可以精確控制機床實現(xiàn)NURBS曲線刀具軌跡的運動，從而克服由基本線型（直線或圓?。┎逖a而引起的插補技術(shù)誤差。圖1是NURBS刀具路徑示意圖。

圖1 NURBS刀具路徑示意圖

NURBS刀具路徑是由CNC系統(tǒng)的NURBS插補器來實現(xiàn)內(nèi)部的曲線運算，其主要優(yōu)點體現(xiàn)在：可以減少數(shù)控加工代碼的程序段數(shù)，提高系統(tǒng)對數(shù)據(jù)的處理能力；可避免直線插補時頻繁的速度變化，縮短加工時間，適應(yīng)高速加工；可以改善加工表面質(zhì)量并提高加工表面的光順性。

3 NURBS曲線插補實例

在自由曲面加工刀具路徑規(guī)劃中進行NURBS曲線擬合的主要任務(wù)是擬合已知的刀位點，將大量有序的刀位點直接擬合成NURBS曲線刀具路徑，便可以直接傳輸給數(shù)控系統(tǒng)進行NURBS刀具路徑的數(shù)控加工。這里，給定一組二維拋物線數(shù)據(jù)點如表2所示。

用插值法構(gòu)造3次NURBS曲線，采用積累弦長參數(shù)化法構(gòu)造出節(jié)點矢量為：

用曲線兩端切矢條件構(gòu)造補充方程，根據(jù)所給3次NURBS曲線控制頂點反求矩陣方程，求出控制頂點為：

數(shù)據(jù)點理論曲線如圖2所示。采用積累弦長參數(shù)化的插值曲線誤差如圖3所示。

圖2 數(shù)據(jù)點的理論曲線

圖3 積累弦長參數(shù)化插值曲線誤差

根據(jù)上述計算后得到的節(jié)點矢量和控制頂點，并取所有權(quán)因子為1，編寫FANUC格式的NURBS數(shù)控代碼如下：

表2 所給型值點數(shù)據(jù)

在商業(yè)軟件上構(gòu)建零件的三維模型如圖4所示。選擇FANUC 18i-MB數(shù)控系統(tǒng)的Hardinge/Bridgeport Vmc1000xp立式數(shù)控加工中心（如圖5所示）進行銑削加工，定位精度為0.01mm，重復(fù)定位精度為：0.005 mm。分別采用直線插補、直線圓弧組合插補和NURBS插補方式進行加工，所得到的工件曲面如圖6所示。

三種不同插補方式數(shù)控加工代碼比較如表3所示。

表3 不同插補方式的數(shù)控代碼

圖4 工件的三維模型

圖5 立式數(shù)控銑加工中心

圖6 工件的加工曲面

在加工過程中發(fā)現(xiàn)，針對相同的刀位路線，采用直線插補，編程精度為0.01mm時，NC代碼長度為213步；采用直線-圓弧插補，編程精度為0.01mm時，NC代碼長度為592步；若要求更高的數(shù)控加工精度，則上述對應(yīng)的數(shù)控加工NC代碼的數(shù)量還會急劇增加。采用NURBS直接插補，程序段從G06.2指令開始，數(shù)控裝置讀取G06.2指令后面的三組數(shù)據(jù)進行插補計算，按NURBS曲線的定義直接實現(xiàn)NURBS插補，不需要近似插補所需的大量指令代碼段。NURBS直接插補，程序段精簡短小，與近似直線插補或直線圓弧插補相比，數(shù)控代碼能減少50%至80%左右，大大地提高了效率和數(shù)控高速加工能力。

根據(jù)上述分析和圖6可知，采用NURBS直接插補進行數(shù)控加工，不僅可以得到相對簡潔的數(shù)控代碼，而且還可以改善輪廓曲線光順性，提高表面加工質(zhì)量等。

4 結(jié)論

通過分析NURBS曲線的參數(shù)表達及其數(shù)據(jù)計算方法，研究了NURBS曲線插補過程及其數(shù)控代碼格式。采用積累弦長參數(shù)化方式構(gòu)造出給定數(shù)據(jù)的NURBS輪廓曲線，并編寫出了其NURBS直接插補程序代碼。通過加工實例，驗證了NURBS插補的優(yōu)良性。由實例可知，采用直線圓弧插補方式，數(shù)控加工的NC代碼最長，592步；其次是采用直線插補方式的數(shù)控加工NC代碼，213步；采用NURBS直接插補方式，其對應(yīng)的數(shù)控加工NC代碼最簡練。結(jié)果表明：采用NURBS直接插補方式進行數(shù)控加工，數(shù)控加工NC代碼精簡短小，能適應(yīng)高速加工，顯著地提高加工效率和能力，具有較好的刀路光順性和表面加工質(zhì)量，對工程編程實踐具有一定的指導(dǎo)意義。

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