呂娟霞， 蔡國平， 彭福軍， 張 華， 呂亮亮

(1. 上海交通大學(xué) 工程力學(xué)系 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240； 2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

為了對航天柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確控制，必須準(zhǔn)確獲得其模態(tài)參數(shù)信息。傳統(tǒng)的方法是對柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析并結(jié)合地面試驗(yàn)，來獲得其模態(tài)參數(shù)信息。但是由于地面空氣阻力和重力的影響，地面試驗(yàn)難以模擬真實(shí)在軌狀態(tài)，這會導(dǎo)致得到的參數(shù)與真實(shí)情況之間產(chǎn)生誤差，尤其是對于大尺寸柔性結(jié)構(gòu)誤差將會變得很大。解決該問題的途徑之一是進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的在軌辨識，通過柔性結(jié)構(gòu)在太空中的真實(shí)響應(yīng)數(shù)據(jù)采用一定的參數(shù)辨識技術(shù)來獲得其真實(shí)模態(tài)參數(shù)。

大型柔性結(jié)構(gòu)在航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，如薄膜天線、太陽帆板等，這一類結(jié)構(gòu)具有低剛度、高柔性、弱阻尼以及形體龐大等特點(diǎn)，從而使得結(jié)構(gòu)的固有頻率低而且密集。例如美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室研制的天線系統(tǒng)，前12階模態(tài)頻率范圍為0～1.6 Hz，頻率間隔最大為0.043 Hz，最小為0.005 Hz[1]。傳統(tǒng)的頻域法雖然可以直觀地逐個(gè)識別模態(tài)，并能濾去大部分噪聲，但計(jì)算時(shí)需要采樣平均，花費(fèi)時(shí)間長，而且對于低頻密集模態(tài)辨識精度不高。時(shí)域辨識方法在處理手段以及估計(jì)密集模態(tài)方面都要優(yōu)于頻域方法。ERA(Eigensystem Realization Algorithm)[2-3]作為一種時(shí)域模態(tài)參數(shù)辨識方法，具有辨識精度高、抗噪能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，在國內(nèi)外已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于大型柔性航天器固有頻率的辨識。例如，美國NASA利用在軌數(shù)據(jù)對哈勃望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了在軌模態(tài)辨識[4]；國際空間站上曾經(jīng)開展了5次模態(tài)參數(shù)的在軌辨識試驗(yàn)[5]；日本NASDA對ETS-VI進(jìn)行了撓性參數(shù)的在軌辨識工作[6]；俄羅斯的和平號空間站總共進(jìn)行了1年時(shí)間的在軌模態(tài)試驗(yàn)[7]。然而需要指出的是，目前關(guān)于航天器撓性參數(shù)辨識技術(shù)的研究中，固有頻率辨識的研究居多，少有關(guān)于模態(tài)辨識的研究報(bào)道。

本文對航天柔性結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)的在軌辨識技術(shù)進(jìn)行研究。采用Abaqus軟件計(jì)算得到系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)，采用ERA方法辨識結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)，最后以柔性懸臂梁和薄膜天線結(jié)構(gòu)為對象進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。

1 薄膜天線結(jié)構(gòu)描述

薄膜天線結(jié)構(gòu)如圖1所示，結(jié)構(gòu)主要由薄膜陣面、豆莢桿、端桿、張力撐桿、張拉機(jī)構(gòu)、搭接結(jié)構(gòu)等構(gòu)成。豆莢桿為柔性桿，它與端桿固連成為薄膜結(jié)構(gòu)的支撐框架。端桿剛度遠(yuǎn)大于豆莢桿剛度，可作剛性部件處理。豆莢桿在薄膜機(jī)構(gòu)展開狀態(tài)滿足一定的剛度、屈曲載荷要求，它是由兩個(gè)橫截面呈“Ω”形狀的薄壁殼體所構(gòu)成，它們的半圓形凹面相對。豆莢桿收攏時(shí)首先壓平兩薄壁殼體，展開時(shí)則依靠自身彈性應(yīng)變能從扁平狀態(tài)恢復(fù)為管狀。薄膜陣面是結(jié)構(gòu)的核心部件，展開后邊緣為拋物線形，橫向11跨，縱向3跨。陣面為柔性材料，抗彎剛度小，不能受壓。陣面縱向共4個(gè)張拉點(diǎn)，角向共4個(gè)張拉點(diǎn)，通過拉索直接與兩側(cè)端桿連接。陣面橫向共20個(gè)張拉點(diǎn)，每個(gè)張拉點(diǎn)通過拉索與張拉機(jī)構(gòu)連接；張拉機(jī)構(gòu)帶動拉索收縮實(shí)現(xiàn)膜面張緊，使膜面本身具有預(yù)應(yīng)力；通過調(diào)節(jié)張拉機(jī)構(gòu)可以改變膜面預(yù)應(yīng)力水平，從而改變膜面剛度。張拉機(jī)構(gòu)另一側(cè)與張力撐桿固結(jié)。張力撐桿剛度很大，計(jì)算時(shí)作剛性部件處理，共9根，浮動在陣面一側(cè)，與端桿平行。膜面張緊后，張力撐桿承受張拉機(jī)構(gòu)的反作用力，確保預(yù)應(yīng)力不傳遞至豆莢桿。張力撐桿通過搭接裝置與豆莢桿連接，張力撐桿與搭接裝置固結(jié)，且只能沿豆莢桿軸向自由移動。薄膜天線詳細(xì)的物理參數(shù)等可以參見文獻(xiàn)[8-10]。

圖1 薄膜天線結(jié)構(gòu)Fig.1 The structure of the membrane antenna

2 基于ERA的系統(tǒng)參數(shù)辨識

特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(ERA)是一種發(fā)展成熟的時(shí)域模態(tài)參數(shù)識別算法，它利用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel分塊矩陣，并對其進(jìn)行奇異值分解，從而求得系統(tǒng)的低維模型實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[11-12]中分別給出了基于系統(tǒng)狀態(tài)和基于加速度的ERA的計(jì)算格式，本文采用基于系統(tǒng)狀態(tài)的ERA方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識，基本思想簡述如下。

系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)方程可表示為

(1)

式中：x∈R2n×1為系統(tǒng)狀態(tài)向量；A1∈R2n×2n為系統(tǒng)矩陣；B1∈R2n×d為控制矩陣；d為輸入通道數(shù)；y(t)∈Rq×1為輸出向量；q為輸出通道數(shù)；u(t)∈Rd×1為輸入向量；C1∈Rq×2n為觀測矩陣；D1∈Rq×d為直接影響矩陣。當(dāng)輸出向量全部為位移時(shí)，C1=[Iq×n0q×n]； 當(dāng)輸出向量全部為速度時(shí)，C1=[0q×nIq×n]。

設(shè)數(shù)據(jù)采樣周期為Δt， 連續(xù)系統(tǒng)可以離散為如下差分狀態(tài)方程形式

(2)

其中，

(3)

構(gòu)造如下(s+1)×(l+1)塊Hankel分塊矩陣

(4)

式中：Y=[y(0)y(1)y(2) …y(d-1)]為由系統(tǒng)輸出向量構(gòu)成的q×d維矩陣。

將H(τ)寫成如下形式

(5)

H(0)=UNVT

(6)

式中：U、V為酉陣；N為奇異值對角陣，N=diag(d1,d2,…,dr,dr+1,…)，d1≥d2≥…≥dr≥dr+1≥…≥0。 對H(0)進(jìn)行奇異值分解以后， 需要一個(gè)ε來判斷奇異值的取舍， 若r滿足如下條件

(7)

即dr之后的特征值遠(yuǎn)小于前r個(gè)特征值， 則取r作為系統(tǒng)的階次。

取Ur為U的前r列，Vr為V的前r列，Nr=diag(d1,d2,…dr)。 定義如下矩陣

(8)

系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)(Ar,Br,Cr,Dr)可以確定為

(9)

式中：Dr的辨識詳見文獻(xiàn)[11-12]。

設(shè)矩陣Ar的特征值矩陣為Z， 特征向量矩陣為ψ， 則有

ψ-1Arψ=Z,Z=diag(z1,z2,…,zr)

(10)

將式(10)代入式(3)， 并結(jié)合指數(shù)矩陣的性質(zhì)可知Ar的特征向量仍為A1的特征向量， 且A1的特征值λi可表示為

(11)

由振動理論，得到

(12)

式中：ωi和ξi分別為動力學(xué)系統(tǒng)的無阻尼固有頻率和阻尼比。從而可以得到系統(tǒng)的無阻尼固有頻率為

(13)

由觀測方程y=C1x+D1u可知系統(tǒng)的包含r階振型的模態(tài)矩陣(振型矩陣)φ可表示為

φ=Crψ

(14)

3 數(shù)值仿真

本節(jié)進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證ERA方法的有效性。首

先以一個(gè)柔性懸臂梁為對象開展固有頻率和模態(tài)的辨識仿真，然后以一個(gè)薄膜天線結(jié)構(gòu)為對象進(jìn)一步進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

3.1 柔性梁模態(tài)參數(shù)辨識

柔性梁長為20 m，橫截面為0.01 m×0.01 m的矩形，材料密度為350 kg/m3，材料彈性模量為6×109Pa。在梁自由端施加10 N·s的脈沖激勵(lì)，通過梁上均布的25個(gè)傳感器采集梁的響應(yīng)，采樣頻率為1 000 Hz，采集1～4 s內(nèi)的響應(yīng)數(shù)據(jù)。表1中結(jié)果分別為采用Abaqus、FFT和ERA方法所得到的梁的前5階固有頻率?？梢钥闯?，ERA方法辨識得到的梁的前5階固有頻率與Abaqus的計(jì)算結(jié)果接近。由于第1階頻率過低，F(xiàn)FT并沒有辨識得到梁的第1階頻率，辨識得到的其余4階頻率與Abaqus的計(jì)算結(jié)果接近。圖2所示為采用ERA方法辨識所得到的梁的前4階模態(tài)，可以看出，辨識所得模態(tài)也接近Abaqus軟件的結(jié)果；雖然高階模態(tài)結(jié)果存在誤差，這可以通過增加傳感器數(shù)量得以消除。

表1 懸臂梁固有頻率辨識結(jié)果

圖2 懸臂梁前4階振型Fig.2 The first four modal shapes of the cantilever beam

3.2 薄膜天線結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識

首先考慮薄膜天線結(jié)構(gòu)固有頻率的辨識。如圖1所示，將薄膜天線結(jié)構(gòu)的中間4點(diǎn)鉸接，基于Abaqus仿真計(jì)算平臺計(jì)算薄膜結(jié)構(gòu)的固有頻率，在A點(diǎn)施加微小擾動，采用Abaqus軟件計(jì)算薄膜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)和固有頻率。辨識時(shí)取數(shù)據(jù)采樣頻率為1 000 Hz，采樣時(shí)間段為1～8 s，在膜面和框架上選擇圖1所示(星號標(biāo)記處)共20個(gè)點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)用于辨識。表2所示為采用ERA方法辨識所得到的結(jié)果，可以看出，薄膜天線結(jié)構(gòu)前5階固有頻率均小于0.5 Hz，為低頻密集結(jié)構(gòu)，辨識結(jié)果與Abaqus軟件結(jié)果吻合良好。值得指出的是，因?yàn)楸∧ぬ炀€結(jié)果為低頻密頻結(jié)構(gòu)，F(xiàn)FT方法將無法有效辨識出結(jié)構(gòu)的固有頻率。

表2 薄膜天線結(jié)構(gòu)固有頻率辨識結(jié)果

然后考慮薄膜天線結(jié)構(gòu)模態(tài)的辨識。在圖1所示結(jié)構(gòu)的A、B兩點(diǎn)施加微小擾動，采用Abaqus計(jì)算結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)。先考慮1階模態(tài)的辨識，采樣頻率1 000 Hz，采樣時(shí)間段為1～4 s，采集圖3(a)所示膜面和框架上共44個(gè)點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)用于辨識。圖4(a)為辨識的結(jié)果，可以看出，1階模態(tài)中豆莢桿和膜面都為橫向彎曲振動，辨識結(jié)果與Abaqus的結(jié)果基本一致。對于薄膜天線結(jié)構(gòu)的2階模態(tài)，其復(fù)雜性遠(yuǎn)高于1階模態(tài)，豆莢桿和膜面振動形式不同，為有效辨識出2階模態(tài)，需要增加傳感器的測點(diǎn)數(shù)量。本文采用80個(gè)測點(diǎn)，如圖3(b)所示，數(shù)據(jù)采樣頻率取為1 000 Hz，采樣時(shí)間段選擇為2～5 s。圖4(b)為2節(jié)模態(tài)的辨識結(jié)果，可以看出，增加測點(diǎn)數(shù)量后2階模態(tài)也能得到有效辨識。在此需要說明的是，隨著需要辨識模態(tài)階次的增加，利用ERA方法仍可辨識得到豆莢桿的模態(tài)，但是膜面的振動情況將變得愈加復(fù)雜，必須增加膜面上采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)方可得到有效辨識。

圖3 薄膜天線結(jié)構(gòu)采樣點(diǎn)示意圖Fig.3 Sketch map of sampling points on the membrane antenna

圖4 薄膜天線結(jié)構(gòu)1、2階振型Fig.4 The first two modal shapes of the membrane antenna

4 結(jié) 論

本文對柔性結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)的在軌辨識技術(shù)進(jìn)行了研究。并且以柔性梁和薄膜天線結(jié)構(gòu)為對象進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證。研究結(jié)果顯示，當(dāng)結(jié)構(gòu)的固有頻率足夠分開時(shí)，ERA方法可以有效地辨識出結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)，測點(diǎn)數(shù)量越多模態(tài)辨識精確越高；當(dāng)結(jié)

構(gòu)為低階頻率密集時(shí)，ERA方法可用于低階固有頻率和模態(tài)的辨識。

[ 1 ] 趙發(fā)剛, 周徐斌, 申軍烽, 等. 航天器在軌模態(tài)辨識技術(shù)的探討[C]//國際功能制造與機(jī)械動力學(xué)會議. 杭州: 國際功能制造與機(jī)械動力學(xué)會議論文集， 2011.

[ 2 ] JUANG J N, PHAN M. Identification and control of mechanical systems [M]. New York: Cambridge University Press, 2001.

[ 3 ] JUANG J N, PAPPA R S. An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and modal reduction [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1985, 8(5): 620-627.

[ 4 ] ANTHONY T, ANDERSEN G. On-orbit modal identification of the Hubble space telescope [C]//Proceedings of the American Control Conference. Seattle: IEEE, 1995.

[ 5 ] KAOUK M, MCNEILL S, HALEY S, et al. Shuttle-ISS flight-7A on orbit test verification: pre and post flight analysis [C]//22nd International Modal Analysis Conference.Dearborn：Society for Experimental Mechanics, 2003.

[ 6 ] ADACHI S, YAMAGUCHI I, KIDA T, et al. On-orbit system identification experiments on engineering test satellite-VI [J]. Control Engineering Practice, 1999, 7(7): 831-841.

[ 7 ] KIM H M, KAOUK M. Mir structural dynamics experiment: first test and model refinement [C]//Proceedings of the 40th Sustainable Design and Manufacturing Conference. St. Louis: AIAA, 1999.

[ 8 ] 姬鳴. 薄膜天線支撐桿展開機(jī)構(gòu)的研制[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2011.

[ 9 ] 鄒濤. 薄壁管狀空間伸展臂收展數(shù)值模擬與試驗(yàn)[D]. 上海：上海交通大學(xué), 2013.

[10] 胡宇. 空間薄膜陣面預(yù)應(yīng)力及結(jié)構(gòu)特性分析[D]. 上海：上海交通大學(xué), 2012.

[11] 劉松, 蔡國平, 董興建. 海洋平臺的時(shí)域低維建模與主動控制研究[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 43(4): 737-745.

LIU Song, CAI Guoping, DONG Xingjian. Time-domain dynamic modeling and active control of offshore platform [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(4): 737-745.

[12] 謝永, 劉盼, 蔡國平. 基于加速度信號的柔性板的撓性參數(shù)辨識[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 46(1): 128-135.

XIE Yong, LIU Pan, CAI Guoping. Parameter identification of flexible plate based on the acceleration output [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2014, 46(1): 128-135.