裴世鑫 徐輝 孫婷婷 李金花

(南京信息工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,江蘇省大氣海洋光電探測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210044)(2017年7月18日收到;2017年11月25日收到修改稿)

1 引 言

調(diào)制不穩(wěn)定性(modulation instability,MI)是指加在平面波上的微小擾動(dòng)隨傳播距離指數(shù)增長(zhǎng)的不穩(wěn)定性行為,它是系統(tǒng)非線性效應(yīng)和色散效應(yīng)之間的互相作用導(dǎo)致的對(duì)穩(wěn)態(tài)的調(diào)制[1?9].在非線性光學(xué)領(lǐng)域,MI通常出現(xiàn)在反常色散區(qū),當(dāng)發(fā)生交叉相位調(diào)制[10,11]、損耗色散[12]、高階色散[13,14]以及周期色散調(diào)制[15]等時(shí),亦可出現(xiàn)在正常色散區(qū).MI可用于產(chǎn)生高重復(fù)率的超短脈沖串[16]、制成調(diào)制不穩(wěn)定激光器、產(chǎn)生時(shí)間光孤子新光源[17]、孤子光傳輸[18]、光開關(guān)、超連續(xù)光譜、光纖傳感[19]、頻率轉(zhuǎn)換器[20]等.

基于單模、單芯的光纖通信容量即將達(dá)到極限,為滿足人們?nèi)找嬖鲩L(zhǎng)的對(duì)信息傳輸容量的需求,近年來,人們提出了一種新的光纖通信技術(shù),即基于多芯/多模光纖的空分復(fù)用技術(shù)[21?24].非線性效應(yīng)是影響空分復(fù)用技術(shù)的主要因素之一,近年來涌現(xiàn)出大量有關(guān)多芯/多模光纖非線性效應(yīng)方面的研究工作,包括非線性多芯/多模光纖模型方程的推導(dǎo)、非線性耦合系數(shù)的計(jì)算、非線性效應(yīng)對(duì)信息傳輸效率的影響、孤子脈沖在其中傳輸?shù)姆€(wěn)定性及多孤子相互作用等諸多方面的研究.在MI分析方面,文獻(xiàn)中單芯光纖MI的研究已經(jīng)非常透徹,最新進(jìn)展包括非均勻光纖MI增益譜分析[25]、高階效應(yīng)對(duì)MI增益譜的影響[26?30]等研究.多芯光纖方面,目前文獻(xiàn)中對(duì)雙芯光纖MI已經(jīng)有較系統(tǒng)性的研究[31?40],包括一芯為正折射率材料、另一芯為負(fù)折射率材料制備的雙芯光纖MI分析及高階非線性效應(yīng)和拉曼散射效應(yīng)對(duì)MI增益譜的影響[41,42];相對(duì)之下,對(duì)芯數(shù)大于2的多芯光纖調(diào)制不穩(wěn)定性分析卻非常少.

本文使用線性穩(wěn)定性分析方法詳細(xì)研究了正三角型三芯光纖中等腰對(duì)稱平面波MI增益譜的主要特征,分析了不同場(chǎng)分布下MI增益譜在反常和正常色散區(qū)域隨入射總功率、光纖線性耦合系數(shù)以及耦合系數(shù)色散的演化規(guī)律.

2 耦合模型方程

考慮如圖1所示的呈正三角形排列的三芯光纖,其中三芯具有完全相同的特性,波在其中傳播的非線性控制方程為:

其中aj(j=1,2,3)是第j個(gè)芯中電場(chǎng)的慢變包絡(luò),z是傳播距離,t是時(shí)間坐標(biāo),β2是群速度色散系數(shù),γ=2πn2/(λAeff)是非線性系數(shù)(n2是折射率,λ是載波波長(zhǎng),Aeff是有效光芯面積);C是線性耦合系數(shù),實(shí)現(xiàn)三芯中周期性脈沖轉(zhuǎn)換,描述線性耦合系數(shù)隨入射光頻率的依賴關(guān)系,其中w是入射脈沖的角頻率,w0為中心載波頻率.C1又稱為耦合系數(shù)色散,會(huì)導(dǎo)致脈沖展寬甚至分裂現(xiàn)象.

方程(1)—(3)允許等腰對(duì)稱平面波,即

其中P1,P2和波數(shù)k之間的約束關(guān)系如文獻(xiàn)[43]中(7)—(9)式所示,在此不再重復(fù)展示.

圖1 正三角型三芯光纖示意圖Fig.1.Scheme illustration of equilateral three core fibers.

設(shè)總功率P=P1+2P2,則P≥Pmin,如文獻(xiàn)[43]中(10)式所示,Pmin值由線性耦合系數(shù)C和非線性系數(shù)γ決定.對(duì)一給定的總功率P,不同芯中的場(chǎng)分布為

其中s為三階多項(xiàng)式

的正實(shí)數(shù)解.

對(duì)一給定的三芯光纖,當(dāng)總功率P從Pmin逐漸增加時(shí),多項(xiàng)式(6)總存在兩組不同的正實(shí)數(shù)s解,同時(shí)滿足P1和P2的約束關(guān)系,不失一般性,令C=200 m?1,γ=5(kW·m)?1,由文獻(xiàn)[43]中(10)式知最小總功率Pmin=158 kW,當(dāng)總功率P從158 kW增加時(shí),芯1和芯2(芯3中場(chǎng)與芯2中場(chǎng)完全相同)中場(chǎng)分布如下.

1)第一種場(chǎng)分布

如表1所列,芯1中的入射功率總大于芯2中的入射功率,即P1＞P2,且隨著總功率P的增加,P1越來越大,P2越來越小.當(dāng)改變C或者γ的值時(shí),該場(chǎng)分布規(guī)律不變.

表1 C=200 m?1及γ=5(kW·m)?1條件下總功率P與P1,P2數(shù)值關(guān)系(一)Table 1.The first kind of relationship among P,P1and P2with C=200 m?1and γ =5(kW·m)?1.

表2 C=200 m?1和γ=5/(kW·m)時(shí)總功率P與P1,P2數(shù)值關(guān)系(二)Table 2.The second kind of relationship among P,P1and P2with C=200 m?1and γ =5(kW·m)?1.

2)第二種場(chǎng)分布

當(dāng)P從最小值158 kW增加時(shí),總的規(guī)律是P1越來越小,P2越來越大.當(dāng)P在158 kW附近時(shí),P1＞P2,當(dāng)P的增加到約180 kW時(shí),出現(xiàn)臨界值P1=P2,當(dāng)P繼續(xù)增加時(shí),會(huì)迅速出現(xiàn)P1＜P2,如表2所列,這與上述第一種場(chǎng)分布相反.同樣,當(dāng)改變C或者γ的值時(shí),隨P增加,P1越來越小,P2越來越大這一規(guī)律不變.

3 MI特性

依線性穩(wěn)定性分析方法,本文得出與文獻(xiàn)[43]中色散關(guān)系方程即方程(28)—(34)完全相同的色散關(guān)系,這里不再展示.文獻(xiàn)[43]實(shí)質(zhì)上只粗糙地分析了第一種場(chǎng)分布時(shí)三芯光纖MI增益譜的主要特征,本文則在文獻(xiàn)[43]的基礎(chǔ)上詳細(xì)研究?jī)煞N場(chǎng)分布下三芯光纖的MI增益譜的主要特征,從而完善正三角型三芯光纖中等腰對(duì)稱平面波的整個(gè)調(diào)制不穩(wěn)定性分析.

3.1 第一種場(chǎng)分布

3.1.1 正常色散區(qū)

考慮參數(shù)C=200 m?1,γ=5(kW·m)?1,相應(yīng)的最小入射總功率Pmin=158 kW.

圖2描述了當(dāng)β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0 ps/m時(shí)正三角型三芯光纖等腰對(duì)稱平面波MI增益譜隨總功率P的演化.在最小總功率P=158 kW處有兩個(gè)MI帶,其中高頻MI帶處于主導(dǎo)地位.隨著P的增加,低頻MI帶增益逐步增強(qiáng)并迅速趨于飽和,而高頻MI帶增益則迅速減小,同時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)新的微弱增益帶.

圖2所示的三芯光纖MI增益譜與雙芯光纖非對(duì)稱平面波在正常色散區(qū)域中MI增益譜的主要特征非常類似,另外我們發(fā)現(xiàn)耦合系數(shù)C和耦合系數(shù)色散C1對(duì)增益譜的影響亦與雙芯光纖類似,具體可參考文獻(xiàn)[35].其主要區(qū)別是對(duì)于相同尺寸和材料的雙芯光纖,三芯光纖中最小總功率(158 kW)約是雙芯光纖最小總功率(80 kW)的2倍.

三芯光纖MI增益譜與雙芯光纖增益譜相似的可能原因是由該場(chǎng)的分布特點(diǎn)所決定的,由表1可知P1總大于P2,而且隨總功率P的增加,P1?P2,換言之,相對(duì)于芯1中的場(chǎng),芯2和芯3中的場(chǎng)非常弱,因此,三芯光纖可以等價(jià)地看作一個(gè)由芯1與芯2組成的雙芯光纖,芯3的場(chǎng)可以看作微小擾動(dòng),故該場(chǎng)分布下三芯光纖等腰對(duì)稱平面波的MI增益譜與雙芯光纖非對(duì)稱平面波MI增益譜主要特征相似.

圖2 參數(shù)β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時(shí),正常色散區(qū)MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.2.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

3.1.2 反常色散區(qū)

考慮參數(shù)C=200 m?1,γ=2.5(kW·m)?1,相應(yīng)的最小入射總功率Pmin=316 kW.

圖3描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時(shí),MI增益譜隨總功率P的演化過程.隨著P的增加,該MI增益帶逐步增強(qiáng);并且圖3所示的MI增益譜與雙芯光纖非對(duì)稱平面波在反常色散區(qū)域中MI增益譜的主要特征非常相似,耦合系數(shù)C和耦合系數(shù)色散C1對(duì)增益譜的影響亦與雙芯光纖類似,在此不再展示.同樣,其主要區(qū)別是對(duì)于相同尺寸和材料的雙芯光纖,三芯光纖中最小總功率(316 kW)約是雙芯光纖最小入射總功率(160 kW)的2倍.

反常色散情況下,三芯光纖等腰對(duì)稱平面波該場(chǎng)分布對(duì)應(yīng)的MI增益譜與雙芯光纖非對(duì)稱平面波增益譜相似的主要原因與3.1.1節(jié)中的分析相同.

圖3 參數(shù)β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時(shí),反常色散區(qū)MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.3.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the anomalous dispersion regime with β2= ?0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

3.2 第二種場(chǎng)分布

3.2.1 正常色散區(qū)

考慮參數(shù)C=200 m?1,γ=5(kW·m)?1,相應(yīng)的最小總功率Pmin=158 kW.

圖4描述了參數(shù)β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時(shí),MI增益譜隨總功率P的變化.首先值得注意的是零擾動(dòng)頻率即無擾動(dòng)初始條件時(shí),MI增益不為零,反而最大;在P=158 kW處,只有一個(gè)MI帶,隨著P的增加,增益不斷增強(qiáng);且在P值增加的過程中,于不同P值臨界點(diǎn)出現(xiàn)了兩個(gè)新生的隨著P增加而減小的微弱增益帶,但低頻MI帶始終處于絕對(duì)主導(dǎo)地位.顯然,第二種場(chǎng)分布對(duì)應(yīng)的增益譜主要特征與雙芯光纖非對(duì)稱平面波增益譜的主要特征完全不同.

圖5描述了β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0時(shí),MI增益譜隨線性耦合系數(shù)C的演化.可以發(fā)現(xiàn)MI帶隨著C的增加而不斷增強(qiáng),這與雙芯光纖中線性耦合系數(shù)的影響類似.

圖4 參數(shù)β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時(shí),正常色散區(qū)MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.4.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

圖5 參數(shù)β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m時(shí),正常色散區(qū)MI增益譜隨耦合系數(shù)C變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.5.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the coupling coefficient C in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m.

圖6 參數(shù)β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時(shí),正常色散區(qū)MI增益譜隨耦合系數(shù)色散C1變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.6.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the coupling coefficient dispersion C1in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1.

圖6描述了β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時(shí)MI增益譜隨耦合系數(shù)色散C1的變化.低頻MI帶幾乎不受耦合系數(shù)色散C1的影響,高頻MI帶先減弱,然后消失,再重現(xiàn),并且逐步增強(qiáng)并趨于飽和.我們嘗試了不同大小的入射功率,發(fā)現(xiàn)高頻MI帶增益總是很小,低頻MI帶始終處于主導(dǎo)地位,故三芯光纖中耦合系數(shù)色散對(duì)增益譜的影響非常小,而在雙芯光纖中,在耦合系數(shù)色散影響下出現(xiàn)的高頻MI帶增益可大于低頻MI帶增益.

3.2.2 反常色散區(qū)

考慮參數(shù)C=200 m?1,γ=2.5(kW·m)?1,最小入射總功率Pmin=316 kW.

圖7描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時(shí),MI增益譜隨總功率P的演化.MI帶隨P的增加而增強(qiáng),在無擾動(dòng)條件時(shí)對(duì)應(yīng)的MI增益不為零,而在雙芯光纖非對(duì)稱平面波增益譜中,零擾動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)的增益為零.

圖8描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0時(shí),MI增益譜隨線性耦合系數(shù)C的演化,MI帶隨C的增加而逐漸減弱,其中零擾動(dòng)頻率附近增益先增大后減小,這與雙芯光纖非對(duì)稱平面波增益譜中線性耦合系數(shù)的影響基本類似.

圖9描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時(shí),MI增益譜隨耦合系數(shù)色散C1的變化.耦合系數(shù)色散C1幾乎不影響低頻MI帶,其主要影響是產(chǎn)生一個(gè)高頻MI帶,但是該高頻MI帶增益非常小.我們嘗試了不同大小的入射功率,低頻MI帶則始終處于主導(dǎo)地位.因此,耦合系數(shù)色散C1的影響非常小,而其對(duì)雙芯光纖增益譜的影響則非常顯著.

圖7 參數(shù)β2=? 0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時(shí),反常色散區(qū)MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.7.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the anomalous dispersion regime for β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

圖8 參數(shù)β2=? 0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m時(shí),反常色散區(qū)MI增益譜隨耦合系數(shù)C變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.8.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the coupling coefficient C in the anomalous dispersion regime with β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m.

圖9 參數(shù)β2=? 0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時(shí),反常色散區(qū)MI增益譜隨耦合系數(shù)色散C1變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.9.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with coupling coefficient dispersion C1in the anomalous dispersion regime with β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1.

4 結(jié) 論

正三角型三芯光纖中等腰對(duì)稱平面波有兩種不同的場(chǎng)分布,第一種場(chǎng)分布即如圖1的芯1中場(chǎng)隨總功率增強(qiáng)而越來越強(qiáng),芯2、芯3中場(chǎng)越來越弱;第二種場(chǎng)分布即如圖1的芯2和芯3中場(chǎng)隨總功率增強(qiáng)而越來越強(qiáng),芯1中場(chǎng)越來越弱,芯2、芯3中場(chǎng)越來越強(qiáng).本文首先詳細(xì)地分析了正三角型三芯光纖等腰對(duì)稱平面波兩種場(chǎng)分布的特點(diǎn),其次系統(tǒng)研究了它在兩種場(chǎng)分布下調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜的主要特征,其中第一種場(chǎng)分布對(duì)應(yīng)的調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜主要特征與雙芯光纖非對(duì)稱平面波的增益譜相似[35,43],而第二種場(chǎng)分布對(duì)應(yīng)的調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜的主要特征與雙芯光纖非對(duì)稱平面波增益譜的主要特征有很大不同.

無擾動(dòng)時(shí),第二種場(chǎng)分布在正常和反常色散區(qū)域均可產(chǎn)生不穩(wěn)定性增益,且在正常色散區(qū)域,無擾動(dòng)情況對(duì)應(yīng)的增益最強(qiáng),而在雙芯光纖非對(duì)稱平面波增益譜中,零擾動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)的MI增益為零[35].

線性耦合系數(shù)在正常色散區(qū)域會(huì)增強(qiáng)增益譜的增益,在反常色散區(qū)域會(huì)減弱增益譜的增益,這與其在雙芯光纖中的影響相似,而耦合系數(shù)色散在正常和反常色散區(qū)域?qū)θ竟饫w等腰對(duì)稱平面波的MI增益譜影響均非常弱,這與其在雙芯光纖中的影響完全不同.

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[37]Ding W,Staines O K,Hobbs G D,Gorbach A V,de Nobriga C,Wadsworth W J,Knight J C,Skryabin D V,Strain M J,Sorel M 2012Opt.Lett.37 668

[38]Tatsing P H,Mohamadou A,Bouri C,Tiofack G L,Kofane T C 2012JOSA B29 3218

[39]Nithyanandan K,Raja R V J,Porsezian K 2013Phys.Rev.A87 043805

[40]Zhang J G,Dai X Y,Zhang L F,Xiang Y J,Li Y F 2015JOSA B32 1

[41]Ali A K S,Porsezian K,Uthayakumar T 2014Phys.Rev.E90 042910

[42]Mohamadou A,Tatsing P H,Tiofack L C G,Tabi C B,Kofane T C 2014J.Mod.Opt.61 1670

[43]Li J H,Zhou H,Chiang K S,Xiao S R 2016JOSA B33 2357