☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 阮 征 王璨璨

一、真題重現(xiàn)

絕大多數(shù)考生做到這道題時(shí)都會(huì)作出正切函數(shù)y=tanx的函數(shù)圖像，通過正切函數(shù)圖像的單調(diào)性便可給予這個(gè)不等式一種直觀詮釋，從中不難發(fā)現(xiàn)這道1994年高考數(shù)學(xué)全國卷試題的數(shù)學(xué)史背景就是著名的Jensen不等式，讀作“琴生不等式”（又稱詹森不等式）.它給出積分的凸函數(shù)值和凸函數(shù)的積分值之間的關(guān)系，即：

若（fx）在區(qū)間（a，b）上為凸函數(shù)，則對(duì)于任意x1，x2，x3， … ，xn∈（a，b）， 必 然 存 在，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時(shí) ，“=”號(hào)成立；若（fx）在區(qū)間（a，b）上為凹函數(shù)，則對(duì)于任意x1，x2，x3，…，xn∈（a，b），必然存在，當(dāng)且僅當(dāng)x=x=x=…=x時(shí)，123n“=”號(hào)成立.此外，琴生不等式的加權(quán)形式：若（fx）是區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)，則對(duì)于任意的x1，x2，x3，…，xn∈（a，b），且當(dāng)a1+a2+a3+…+an=1時(shí)，有（fa1x1+a2x2+a3x3+…+anxn）≤a1（fx1）+a2（fx2）+a3（fx3）+…+an（fxn），凹函數(shù)反之亦然.

反觀這道1994年高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)題干中給出的不等式其實(shí)是一個(gè)二元對(duì)稱不等式，對(duì)于對(duì)稱來說，最為顯著的特點(diǎn)就是平衡，下面就給出一種運(yùn)用平衡的方法來解答這道不等式高考題的證明過程.

證明：設(shè)x1≥x2，則

也就是tanx1≥tanx2.

從而通過前提假設(shè)x1≥x2，以及正切函數(shù)在區(qū)間上是遞增函數(shù)，本題得證.

二、變式思考

通過前面的分析引發(fā)了對(duì)本題的一個(gè)再思考：原不等式可以變化為如下的形式：

變式1得證后引發(fā)了筆者的再次思考，能否從變量個(gè)數(shù)的角度將此題進(jìn)一步推廣？經(jīng)過探究，便得到變式2.

對(duì)于變式2的證法可以先證明a4+b4+c4≥abc（a+b+c），再利用權(quán)方和不等式使其得證.

證明：由四元均值不等式，得

由權(quán)方和不等式，得

這種方法自然地將變式2推廣到存在很多個(gè)字母的情況，由此再次引發(fā)思考：變式1能否存在對(duì)應(yīng)3個(gè)字母的推廣？通過一系列探究，得到變式3.

如果將變式1～3的問題拓展到4個(gè)字母的情形，就可以衍生出一個(gè)難度較大的不等式，即可得出變式4.

本題同樣是一個(gè)四元均值不等式，事實(shí)上證明此題我們可以嘗試套用變式2的證明方法，即先證明a4b+b4c+c4d+d4a≥abcd（a+b+c+d），然后再通過疊加和柯西不等式使其得證.

將①②③④式疊加，得

再利用柯西不等式，易證

其實(shí)，在變式4的證明過程中還隱藏了一個(gè)有趣的不等式：

變式5 已知a，b，c，d∈R+，且abcd=1，求證：a4b+b4c+c4d+d4a≥a+b+c+d.

對(duì)于變式5的證明就留給讀者去思考.

三、總結(jié)

通過上述對(duì)這道1994年高考數(shù)學(xué)全國卷不等式證明題引發(fā)的一系列變式思考的分析可以發(fā)現(xiàn)：不等式雖然屬于高中選修教材的內(nèi)容，但不等式的證明也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，教材在不等式選講專題中介紹了一些重要的不等式，許多不等式都可以借助它得到證明［1］.另外，由于高中數(shù)學(xué)已逐步從等量關(guān)系走向不等關(guān)系，而不等式作為一條過渡的紐帶，本身就具有的豐富性質(zhì)，以及不等式與其他知識(shí)的交融滲透同樣是高考數(shù)學(xué)命題老師關(guān)注的焦點(diǎn)問題［2］.因此可以說，不等式證明題在高考數(shù)學(xué)中占有重要的位置［3］.不等式的證明方法也是靈活多樣的，一道不等式證明題又是可以衍生出多種變式思考題，在這些變式中也將基本不等式、琴生不等式、權(quán)方和不等式、柯西不等式、舒爾不等式、排序不等式、均值不等式及其變形得到應(yīng)用，提高了學(xué)生分析問題、解決問題以及應(yīng)用能力.

1.劉亞軍.一道高考不等式證明題的幾種證法［J］.中國校外教育，2014（22）.

2.劉會(huì)金.2017年高考“不等式”專題命題分析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2017（Z4）.

3.郭川瑜.高考不等式答題中存在的問題與教學(xué)策略——以2016年全國3卷24題為例［J］.亞太教育，2016（26）.H