☉合肥市教育科學(xué)研究院

☉合肥市特級教師工作站 許曉天

2014年3月教育部頒布的《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，確立了核心素養(yǎng)在立德樹人中的突出地位，2016年9月林崇德教授領(lǐng)銜的我國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)課題組提出:“學(xué)生應(yīng)具備能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.”核心素養(yǎng)兼具個體發(fā)展和社會發(fā)展，連接個體價值和社會價值，是人從事社會實踐活動必備的知識、能力和品格的綜合表現(xiàn).教育部剛剛發(fā)布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.

一、問題提出的背景

繼2017年北京、天津、山東和海南進入高考招生制度綜合改革試點，2018年秋季開始，全國將全面啟動新課程的教學(xué).雖然在各級專家和教育行政部門的共同努力下，教師對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，在理論層面有了一定的理解，但一個亟待解決的問題已經(jīng)現(xiàn)實地擺在我們的面前，那就是：在課堂教學(xué)中，針對具體內(nèi)容，如何落實核心素養(yǎng)的問題.2017年12月14日在中國科技大學(xué)附中舉辦了一次市級公開課，旨在對將要實施的高考制度改革的教學(xué)，特別是核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，探索一些具體和可借鑒的方法與途徑.教學(xué)內(nèi)容是：人教版數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)中的第1.5節(jié)“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書）.根據(jù)《2017年普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與評價指導(dǎo)意見》，必修第二章函數(shù)，第二節(jié)基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）內(nèi)容及課時安排為16，與課標(biāo)實驗稿完全相同，因此我們選定此節(jié)課為研討課，兼具很好的延續(xù)性，為今年下半年依據(jù)《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的新課程標(biāo)準(zhǔn)實施的課堂教學(xué)奠定一定的基礎(chǔ).我市高一年級的部分學(xué)校教師參加了此次教研活動，授課結(jié)束，在評課環(huán)節(jié)，當(dāng)主持人提出：“從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度，談?wù)勗鯓由线@節(jié)課？”時，許多教師表示從核心素養(yǎng)的高度分析一節(jié)課，很少甚至沒有思考過.這更彰顯這次研討活動的必要性和重要性.本文對此節(jié)課具體教學(xué)情況不予進行評析，更上位的想法萌生，“核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂教學(xué)中如何實施”是廣大教師亟待解決的困惑.

因為數(shù)學(xué)學(xué)科的六個素養(yǎng)之間均具有顯著的相關(guān)性，取值落在（0.25，0.81）中.邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的相關(guān)性最大；數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)抽象的相關(guān)性最小.數(shù)據(jù)分析與其他五個素養(yǎng)的相關(guān)性偏小，均在（0.25，0.41）之間，與數(shù)學(xué)建模的相關(guān)系數(shù)最大，說明數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模有一定的相關(guān)性.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算作為基礎(chǔ)素養(yǎng)為一類，數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析各成一類.［1］

因此，一節(jié)課的課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)學(xué)科六個核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，我們不可能平均使力去培養(yǎng)，應(yīng)該根據(jù)具體內(nèi)容有所倚重.下面就“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”一節(jié)的課堂教學(xué)，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生“直觀形象”核心素養(yǎng)的教學(xué).

二、教材內(nèi)容的呈現(xiàn)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，人教版數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)中的第1.5節(jié)“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”的教材安排內(nèi)容是：從某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖像后，再放大圖像，可以看出它與正弦曲線很相似引入；再從函數(shù)y=sinx是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的特殊情況出發(fā)，研究A，ω，φ對y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響：①探索φ對y=sin（x+φ），x∈R的圖像的影響；②探索ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）的圖像的影響；③探索A（A>0）對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響；④總結(jié)從函數(shù)y=sinx的圖像到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，是如何進行變換的；⑤課本安排有一道例題：畫出函數(shù)y=

教材在探究φ，ω，A對圖像的影響時，強調(diào)利用計算器或計算機作出這些函數(shù)的圖像，觀察它們圖像之間的關(guān)系，并且三次使用“可以發(fā)現(xiàn)”這個詞，得出兩圖像上對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系.

三、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

1.內(nèi)容方面

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》對此節(jié)課內(nèi)容要求：結(jié)合具體實例，了解y=Asin（ωx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin（ωx+φ）的圖像，觀察參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖像變化的影響.而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對此節(jié)課的內(nèi)容要求：結(jié)合具體實例，了解y=Asin（ωx+φ）的實際意義；能借助圖像理解參數(shù)A，ω，φ的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響.

可以看出，課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）與課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）對此節(jié)課內(nèi)容要求基本相同，只是課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）對畫圖方法沒有明確界定，并明確是“了解”參數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響.課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）“能借助圖像理解參數(shù)A，ω，φ的意義”要在這一節(jié)課打好基礎(chǔ)，下一節(jié)課要進一步介紹和學(xué)習(xí)，從而達到“理解”的要求.

2.素養(yǎng)方面

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受高中數(shù)學(xué)教育過程中，逐步形成適合個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.而高中數(shù)學(xué)學(xué)科六個核心素養(yǎng)，落實到每一節(jié)課的教學(xué)，都會涉及其中的全部或部分核心素養(yǎng)的培養(yǎng).從課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）和課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）對“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”這節(jié)課內(nèi)容要求都可以看出，大部分核心素養(yǎng)都有涉及，但主要是“直觀想象”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，我們把這一節(jié)課主要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)稱之為這節(jié)課的主體素養(yǎng).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中“直觀想象”核心素養(yǎng)的界定：指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

直觀想象的主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認(rèn)識事物.

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情景中感悟事物的本質(zhì).

四、主體素養(yǎng)的培養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)六個核心素養(yǎng)的表現(xiàn)都是一種能力，必須是以知識為載體，不能脫離知識而單獨存在，而知識學(xué)習(xí)的結(jié)果可以分為理解、遷移和創(chuàng)新，對應(yīng)核心素養(yǎng)的三級水平.“直觀想象”主體素養(yǎng)的三級水平分別為理解圖形的性質(zhì)、利用圖形探索數(shù)學(xué)問題和構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.［2］教學(xué)情景創(chuàng)設(shè)要突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、提出合適問題、引導(dǎo)學(xué)生思考和解決問題；教學(xué)內(nèi)容強調(diào)整體把握課程內(nèi)容，抓住主線，特別是開展數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建?；顒邮前l(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.教學(xué)方法選擇建議:第一，教學(xué)活動的重心從教轉(zhuǎn)到學(xué)；第二，倡導(dǎo)講授與練習(xí)、閱讀自學(xué)、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式；第三，加強學(xué)法指導(dǎo).［3］因此，這一節(jié)課的“直觀想象”素養(yǎng)培養(yǎng)，應(yīng)重視以下四個方面：

1.教學(xué)流程，凸顯結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)科知識不是數(shù)學(xué)知識點、概念、例題和習(xí)題等進行簡單的排列和組合，而是一個有機的結(jié)構(gòu)整體.所謂結(jié)構(gòu)就是聯(lián)系，教學(xué)設(shè)計一定要按照數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯關(guān)系和學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的序列，構(gòu)建課堂教學(xué)的流程和結(jié)構(gòu)，因為整體功能大于各個部分功能之和.同時結(jié)構(gòu)性知識，便于學(xué)生理解和記憶，因為根據(jù)邏輯關(guān)系構(gòu)建的流程和結(jié)構(gòu)，具有適合學(xué)生學(xué)習(xí)知識的邏輯鏈，便于學(xué)生思考和推演，具有很好的動態(tài)開放性.因此，核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重中之重是教學(xué)流程和結(jié)構(gòu)，是“整體支配”核心素養(yǎng)重要方式.

根據(jù)這一節(jié)課的教材內(nèi)容和直觀想象這個主要素養(yǎng)的培養(yǎng)，而我們解決問題一般過程是：（發(fā)現(xiàn)問題）→提出問題→分析問題→解決問題，因此，而這一節(jié)課按照：從一般性問題情景出發(fā)→探究三種特殊情況→歸納一般性問題結(jié)論→解決特殊問題（例題和練習(xí)）.得到如下總體教學(xué)流程，如圖1所示：

圖1

具體教學(xué)設(shè)計思路如下：

（1）課堂引入.

思路1：已知交流電的電流y隨時間x而變化函數(shù)關(guān)系是y=Asin（ωx+φ），某次實驗測得的函數(shù)的圖像，再進行放大，可以看出它與正弦曲線很相似，而正弦曲線是正弦函數(shù)y=sinx的圖像，而y=sinx是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中的參數(shù)A=1，ω=1，φ=0時的特殊情況，那么能否從特殊的參數(shù)賦值，發(fā)現(xiàn)一般情況下三參數(shù)對圖像的影響？

思路2：我們知道，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中的參數(shù)A=1，ω=1，φ=0時的特殊情況是正弦函數(shù)y=sinx，前面又學(xué)習(xí)了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是周期為的函數(shù)，因此，函數(shù)y=sinx的周期為T2=2π，知道了兩函數(shù)圖像周期之間的變換關(guān)系，那么其他兩參數(shù)A，φ對兩圖像有何影響呢？下面從特殊的參數(shù)賦值出發(fā)，探究參數(shù)對圖像的影響.

評析：思路1，是依據(jù)教材的內(nèi)容設(shè)計，直擊“直觀想象”核心素養(yǎng)；思路2，強調(diào)教材知識的前后聯(lián)系，除了“直觀想象”核心素養(yǎng)，對“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)抽象”兩核心素養(yǎng)要求高.兩種思路，可以針對不同學(xué)生的認(rèn)知群體，采取不同的教學(xué)，只要適合就是最好的.

（2）新知探究.

思路1:①探索φ對y=sin（x+φ），x∈R的圖像的影響；②探索ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）的函數(shù)的影響；③探索A（A>0）對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響；④從函數(shù)y=sinx的圖像到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像，是如何進行圖像變換的.

思路2：①探索φ對y=sin（x+φ），x∈R的圖像的影響；②探索ω（ω>0）對y=sin（ωx）的圖像的影響；③探索A（A>0）對函數(shù)y=Asinx的圖像的影響；④從函數(shù)y=sinx的圖像到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像，是如何進行圖像變換的.

評析：思路1是從函數(shù)y=sinx→函數(shù)y=sin（x+φ）→函數(shù)y=sin（ωx+φ）→函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像，循序漸進的進行探究，直至最一般的情形.思路2是從函數(shù)y=sinx→函數(shù)y=sin（x+φ）；y=sinx→函數(shù)y=sin（ωx）；y=sinx→函數(shù)y=Asinx的圖像，三次探究是平行的關(guān)系，都是與正弦曲線的比較，并且探究順序可以改變，但探究難度不變，最后歸納從函數(shù)y=sinx到一般函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像的變換路徑和方法.兩種比較，思路1把探究的難點進行了有序的分解，最后一般式的結(jié)論很容易得出，但改變圖像變換路徑，學(xué)生較難理解；思路2前三次探究學(xué)生容易進行，但得出一般式結(jié)論，學(xué)生的學(xué)習(xí)有一定難度，此時圖像變換的路徑的變化，學(xué)生易于理解.

（3）例題、練習(xí).

評析：例題有兩種畫簡圖的方法，“五點作圖”和“圖像變換”兩種方法；例題和練習(xí)主要熟悉這節(jié)課圖像變換的方法，且可以采取不同的路徑.

（4）課堂小結(jié).

學(xué)生總結(jié)自己親歷的探究過程，總結(jié)圖像變換的方法，明確圖像變換的本質(zhì)是對應(yīng)動點坐標(biāo)的之間的數(shù)量關(guān)系.

評析：學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程，對“直觀想像”素養(yǎng)培養(yǎng)有“整體支配”作用，通過“數(shù)學(xué)抽象”提煉圖像變換的本質(zhì)，構(gòu)建學(xué)生新認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且此結(jié)構(gòu)具有很高的開放性，便于遷移和創(chuàng)新.

2.畫圖感悟，理解性質(zhì)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）“直觀想象”核心素養(yǎng)要求：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律.

教師可以根據(jù)自己學(xué)校硬件條件和學(xué)生的實際情況，選擇動手描點法（五點作圖）或利用計算機或其他畫圖工具作圖，首先畫出正弦曲線，再讓學(xué)生畫出函數(shù)y=如果用描點法，教師提示：兩函數(shù)的周期都是2π，因而，只需要作一個周期，再進行左、右擴展即可.學(xué)生通過描點作圖可以深刻感悟兩圖像之間形態(tài)和運動規(guī)律相同，只是位置不同而已.如果是通過其他方式作圖，特別是教師演示作圖，教師要引導(dǎo)學(xué)生從形態(tài)和運動規(guī)律上觀察，再從位置上發(fā)現(xiàn)有什么不同.特別可以“放大”兩圖像中“最靠近”的一個周期圖像，這樣學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)兩圖像位置的差別.接著用同樣的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)其他兩參數(shù)ω，A對圖像的影響.

3.感受聯(lián)系，探究本質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中“直觀想象”核心素養(yǎng)要求：利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系.也就是，利用圖形感悟兩圖形位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形之間的本質(zhì)聯(lián)系.

數(shù)學(xué)知識的經(jīng)驗形態(tài)和科學(xué)形態(tài)之間存在著本質(zhì)的區(qū)別，教學(xué)中不應(yīng)該混為一談.一方面，要善于從學(xué)生的生活世界里尋找貼切的素材組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，另一方面，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)思考以進行必要的數(shù)學(xué)抽象，建構(gòu)起形式化的數(shù)學(xué)知識.［4］

教材在探究φ，ω，A對圖像的影響時，三次使用“可以發(fā)現(xiàn)”這個模糊的表達，來得出兩圖像上對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系.那么，怎么發(fā)現(xiàn)呢？此處是這一節(jié)課的難點.

圖2

通過列表描點和作圖完成的，特別是“五點法”作圖的同學(xué)，較容易在一個周期內(nèi)的兩個圖像對應(yīng)點橫坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，即正弦曲線y=sinx圖像上任意點A（x1，y1），對應(yīng)函數(shù)如果采取計算器或計算機完成作圖的同學(xué)，教師引導(dǎo)什么是對應(yīng)點，再通過計算機演示對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系.從而從本質(zhì)上理解并得到了函數(shù)的圖像可以通過正弦曲線左移而得到.反之，正弦曲線可以通過函數(shù)y=sin（ x+）的圖像右移而得到.同理，探究ω（ω>0）對圖像的影響，A（x，y）對應(yīng)點B （x ，y）；探究A（A>11110）對圖像的影響，A（x1，y1）對應(yīng)點B（x1，Ay1）.從而，容易得到兩圖像進行橫、縱方向伸縮變換的結(jié)論.

盡管課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中，對參數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響是“了解”的要求，但對于學(xué)生理解“圖像變換”是可操作事物的“現(xiàn)象”，一個周期內(nèi)，兩圖像對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系才是事物的“本質(zhì)”，這樣對學(xué)生解決一般函數(shù)的問題，才有更深入的理解.這才是核心素養(yǎng)“遷移與創(chuàng)新”水平的要求.當(dāng)然，要針對學(xué)生的認(rèn)知水平，酌情施教.其實，在不考慮一個周期的情況下，對應(yīng)點有無數(shù)個，對應(yīng)于思路1，三種變換對應(yīng)點依）（k∈Z）.隨著點A（x1，y1）在一個周期內(nèi)的運動，對于k不同的取值，可以生成完整的（x∈R）變換后的圖像.

4.總結(jié)變換，構(gòu)建模型

課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中“直觀想象”核心素養(yǎng)要求：構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生先總結(jié)三種圖像變換，那么怎么由函數(shù)y=sinx的圖像（正弦曲線），通過三種圖像變換得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像（其中A>0，ω>0）？讓同學(xué)們討論并思考多種變換路徑.方法1：畫正弦曲線?把正弦曲線向左（右）平移|φ|個單位長度（平移方向：φ>0，左移；φ<0，右移），得到函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像?使曲線上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)y=sin（ωx+φ）的圖像?把曲線上各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像；方法2：畫正弦曲線?使曲線上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)y=sin（ωx）的圖像?把正弦曲線向左（右）平移個單位長度（平移方向：φ>0，左移；φ<0，右移），得到函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像?把曲線上各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像.

通過這一過程，提高學(xué)生歸納總結(jié)的能力，提煉出初相、周期和振幅三種圖像變換模型.學(xué)生從簡單到復(fù)雜和特殊到一般解決問題的過程，深刻體會思考與解決一般問題的方法和途徑，為學(xué)生終生發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).

以上是筆者對“直觀想象”核心素養(yǎng)在一節(jié)課中如何培養(yǎng)的一點思考，期盼同仁對“核心素養(yǎng)”培養(yǎng)在課堂教學(xué)中如何實施，有全面和深刻的實踐和研究.

1.張淑梅，何雅涵，保繼光.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的統(tǒng)計分析［J］.課程·教材·教法，2017（10）.

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